8.(2025·营口月考)如图，BP是∠ABC的平分线，CP是△ACB的外角∠ACM的平分线，则∠P=°。

8.30

【分析】
解题时首先结合角平分线的定义，确定∠PBC和∠PCM的度数；再利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，找到△PBC中外角∠PCM和内角∠P、∠PBC的数量关系，代入数值计算即可得到∠P的度数。
【解析】
∵ BP是∠ABC的平分线，
∴ ∠PBC = ∠ABP = 20°，
∵ CP是△ACB的外角∠ACM的平分线，
∴ ∠PCM = ∠ACP = 50°，
∵ ∠PCM是△PBC的外角，根据三角形外角的性质可得：
∠PCM = ∠P + ∠PBC，
∴ ∠P = ∠PCM - ∠PBC = 50° - 20° = 30°。
【答案】
30
【知识点】
角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是角平分线性质和三角形外角定理的基础综合应用题，解题的关键是准确识别三角形的外角，找准角度之间的数量关系，是三角形角度计算的常见题型。
【难度系数】
0.8

9.(教材P15例4变式)如图,在△ABC中,延长AB至点D,延长BC至点E.如果∠1+∠2=230°,那么∠A=.

9.50°

【分析】
我们可以先利用平角为180°的性质，得到∠1与∠ABC互补、∠2与∠ACB互补，结合已知的∠1+∠2=230°，先求出△ABC中∠ABC与∠ACB的度数和，再根据三角形内角和为180°，即可计算出∠A的度数。
【解析】
∵ 平角的度数为180°，
∴ ∠ABC + ∠1 = 180°，∠ACB + ∠2 = 180°，
将两式相加可得：∠ABC + ∠ACB + (∠1 + ∠2) = 360°，
把∠1+∠2=230°代入上式，得：
∠ABC + ∠ACB = 360° - 230° = 130°，
又
∵ △ABC的内角和为180°，即∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°，
∴ ∠A = 180° - (∠ABC + ∠ACB) = 180° - 130° = 50°。
【答案】
50°
【知识点】
平角的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是结合平角性质和三角形内角和定理推导未知角的度数，熟练掌握基础几何定理就能快速解题。
【难度系数】
0.8

10.【新情境·生活情境】(2024·大连九中期末)如图,在综合实践课上,同学们动手制作了风筝.聪明的小贺同学将风筝的骨架图抽象成一个几何图形.如图所示,BD平分∠ABC,∠A=∠C,E是CD上的一点,连接BE,连接AD并延长交BE于点F,∠CBF=∠C,∠EDF=2∠EBD.求∠ABD的度数.

10.45°

【分析】
解决本题的思路如下：首先利用角平分线性质得到相等的角，结合已知的等角条件，通过AAS证明△ABD和△CBD全等，推出BD与AC垂直，得到直角；再结合对顶角相等和题中给出的∠EDF与∠EBD的倍数关系，最后利用三角形内角和、角的和差关系即可求出∠ABD的度数。
【解析】
设$∠ ABD=α$，$∠ EBD=β$，则$∠ EDF=2β$。
1. 因为BD平分$∠ ABC$，所以$∠ CBD=∠ ABD=α$。
2. 在$△ ABD$和$△ CBD$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ C \\∠ ABD=∠ CBD \\BD=BD\end{cases}$
所以$△ ABD≌△ CBD$（AAS），因此$∠ ADB=∠ CDB$。
由于A、D、C共线，$∠ ADB+∠ CDB=180°$，故$∠ ADB=∠ CDB=90°$。
3. $∠ EDF$与$∠ ADB$为对顶角，因此$∠ EDF=∠ ADB=90°$，即$2β=90°$，得$β=45°$。
4. 已知$∠ CBF=∠ C$，且$∠ CBD=∠ CBF+∠ EBD$，即$α=∠ C+β$；在$Rt△ CBD$中$∠ CBD+∠ C=90°$，代入得$α+∠ C=90°$。
将$∠ C=α-β$代入$α+∠ C=90°$，结合$β=45°$，解得$α=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题以风筝骨架为情境，综合考查了三角形全等、角平分线性质和内角和相关知识，解题的关键是通过全等推出垂直关系，再结合已知角的数量关系建立等式求解。
【难度系数】
0.6

11.(1)如图1,在△ABC中,点M在CB的延长线上,点N在线段AC上,连接MN交AB于点D,∠BAN和∠CMN的平分线交于点P.
①若∠C=60°,∠ADM=140°,则∠P的度数为,∠C,∠ADM和∠P之间的数量关系为;
②请写出①中∠P的度数的求解过程.
(2)如图2,在△ABC中,点M在线段CB上,点N在CA的延长线上,连接MN交AB于点D,∠BAN和∠BMN的平分线交于点P,求∠C,∠ADM和∠P之间的数量关系.

11.解:(1)①$100°$ $∠ C+∠ ADM=2∠ APM$
② 如图, 延长 $AP$ 交 $BC$ 于点 $E$.
$\because ∠ BAN$ 和 $∠ CMN$ 的平分线交于点 $P$,
$\therefore$ 设 $∠ PAB = ∠ PAC = α$, $∠ PMN = ∠ PMC = β$,
则 $∠ BAC=2α$,$∠ NMC=2β$.
$\because ∠ MNA$ 是$△ MNC$ 的一个外角,
$\therefore ∠ MNA = ∠ C + ∠ NMC = ∠ C + 2β$.
$\because ∠ ADM$ 是$△ AND$ 的一个外角,
$\therefore ∠ ADM = ∠ BAC + ∠ MNA = 2α + ∠ C + 2β = ∠ C + 2(α+β)$.
$\because ∠ PEM$ 是$△ AEC$ 的一个外角,
$\therefore ∠ PEM = ∠ C + ∠ PAC = ∠ C + α$.
$\because ∠ APM$ 是$△ PME$ 的一个外角,
$\therefore ∠ APM = ∠ PEM + ∠ PMC = ∠ C + α + β$,
$\therefore α + β = ∠ APM - ∠ C$, $\therefore ∠ ADM = ∠ C + 2(α+β) = ∠ C + 2(∠ APM - ∠ C)$,
$\therefore ∠ C + ∠ ADM = 2∠ APM$.
$\because ∠ C=60°$,$∠ ADM=140°$,
$\therefore 60°+140°=2∠ APM$,$\therefore ∠ APM=100°$.

(2)$∠ ADM - ∠ C = 2∠ P$

【分析】
本题可通过设参数结合三角形外角性质推导角度关系，解题思路如下：
1. 遇到角平分线时，设角平分线分出的两个等角为参数，将相关角均用参数和已知角表示，消去参数即可得到所求角的数量关系；
2. 推导过程中反复利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，建立不同角之间的联系；
3. 求具体角度时，将已知角代入推导得到的数量关系计算即可。
【解析】
(1)① 先推导数量关系再代入计算：
延长AP交BC于点E，设∠PAB=∠PAC=α，∠PMN=∠PMC=β。
根据三角形外角性质，依次推导得：
∠MNA=∠C+2β，∠ADM=2α+∠C+2β=∠C+2(α+β)；
∠PEM=∠C+α，∠APM=∠C+α+β，即α+β=∠APM-∠C。
将α+β代入∠ADM的表达式整理得∠C+∠ADM=2∠APM，代入∠C=60°、∠ADM=140°，计算得∠APM=100°。
② 求解过程如下：
如图，延长 $AP$ 交 $BC$ 于点 $E$。
$\because ∠ BAN$ 和 $∠ CMN$ 的平分线交于点 $P$,
$\therefore$ 设 $∠ PAB = ∠ PAC = α$, $∠ PMN = ∠ PMC = β$,
则 $∠ BAC=2α$,$∠ NMC=2β$。
$\because ∠ MNA$ 是$△ MNC$ 的一个外角,
$\therefore ∠ MNA = ∠ C + ∠ NMC = ∠ C + 2β$。
$\because ∠ ADM$ 是$△ AND$ 的一个外角,
$\therefore ∠ ADM = ∠ BAC + ∠ MNA = 2α + ∠ C + 2β = ∠ C + 2(α+β)$。
$\because ∠ PEM$ 是$△ AEC$ 的一个外角,
$\therefore ∠ PEM = ∠ C + ∠ PAC = ∠ C + α$。
$\because ∠ APM$ 是$△ PME$ 的一个外角,
$\therefore ∠ APM = ∠ PEM + ∠ PMC = ∠ C + α + β$,
$\therefore α + β = ∠ APM - ∠ C$, $\therefore ∠ ADM = ∠ C + 2(α+β) = ∠ C + 2(∠ APM - ∠ C)$,
$\therefore ∠ C + ∠ ADM = 2∠ APM$。
$\because ∠ C=60°$,$∠ ADM=140°$,
$\therefore 60°+140°=2∠ APM$,$\therefore ∠ APM=100°$。
(2) 同样设角平分线分出的等角为参数，结合三角形外角性质，逐步推导可得∠ADM与∠C、∠P的关系为∠ADM -∠C=2∠P。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{100°}$；$\boldsymbol{∠ C+∠ ADM=2∠ APM}$
②

(2)$\boldsymbol{∠ ADM - ∠ C = 2∠ P}$
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，角度和差计算
【点评】
本题是角度关系推导的典型题型，通过设参数表示等角的方法，结合三角形外角性质建立角之间的联系，能有效锻炼逻辑推导能力和角的转化能力，熟练掌握该方法可快速解决同类角度推导问题。
【难度系数】
0.6