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7.「2026河北保定月考改编，★☆」若方程$x^2 -12x -5=0$用配方法可配成$(x+p)^2=q$的形式，则直线$y=px+q$不经过（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
移项,得 $x^2-12x=5$,配方,得 $x^2-12x+36=5+36$,
$\therefore (x-6)^2=41$,$\therefore p=-6＜0,q=41＞0$,
$\therefore$ 直线 $y=px+q$ 经过第一、二、四象限,不经过第三象限.
故选 C.
$\therefore (x-6)^2=41$,$\therefore p=-6＜0,q=41＞0$,
$\therefore$ 直线 $y=px+q$ 经过第一、二、四象限,不经过第三象限.
故选 C.
解析
【分析】
要解决这道题需分两步思考：第一步先利用配方法对给定的一元二次方程变形，得到$(x+p)^2=q$的形式，从而求出p、q的值；第二步将p、q代入一次函数解析式，根据一次函数的图象与系数的关系，判断直线经过的象限，即可得出答案。配方法的核心是将方程左边凑成完全平方式，需注意移项要变号，等式两边要同时加相同的数；一次函数的象限由一次项系数（即本题的p）和常数项（即本题的q）的符号共同决定。
【解析】
首先对一元二次方程$x^2 -12x -5=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：$x^2-12x=5$
2. 配方：一次项系数为$-12$，其一半的平方为$(-6)^2=36$，在等式两边同时加36，得$x^2-12x+36=5+36$
3. 整理为完全平方式：$(x-6)^2=41$
对比$(x+p)^2=q$，可得$p=-6$，$q=41$。
将p、q代入直线解析式得$y=-6x+41$，其中一次项系数$k=-6＜0$，直线呈下降趋势；常数项$b=41＞0$，直线与y轴交于正半轴，因此直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
【答案】
C
【知识点】
配方法的应用；一次函数的图象与性质
【点评】
本题是代数基础综合题，将一元二次方程的配方法和一次函数的图象性质结合考查，难度不大，解题的关键是熟练掌握配方法的操作步骤，以及一次函数中k、b的符号对图象经过象限的影响，属于常见的基础考点。
【难度系数】
0.75
要解决这道题需分两步思考：第一步先利用配方法对给定的一元二次方程变形，得到$(x+p)^2=q$的形式，从而求出p、q的值；第二步将p、q代入一次函数解析式，根据一次函数的图象与系数的关系，判断直线经过的象限，即可得出答案。配方法的核心是将方程左边凑成完全平方式，需注意移项要变号，等式两边要同时加相同的数；一次函数的象限由一次项系数（即本题的p）和常数项（即本题的q）的符号共同决定。
【解析】
首先对一元二次方程$x^2 -12x -5=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：$x^2-12x=5$
2. 配方：一次项系数为$-12$，其一半的平方为$(-6)^2=36$，在等式两边同时加36，得$x^2-12x+36=5+36$
3. 整理为完全平方式：$(x-6)^2=41$
对比$(x+p)^2=q$，可得$p=-6$，$q=41$。
将p、q代入直线解析式得$y=-6x+41$，其中一次项系数$k=-6＜0$，直线呈下降趋势；常数项$b=41＞0$，直线与y轴交于正半轴，因此直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
【答案】
C
【知识点】
配方法的应用；一次函数的图象与性质
【点评】
本题是代数基础综合题，将一元二次方程的配方法和一次函数的图象性质结合考查，难度不大，解题的关键是熟练掌握配方法的操作步骤，以及一次函数中k、b的符号对图象经过象限的影响，属于常见的基础考点。
【难度系数】
0.75
8.「2025江苏南京中考，★☆」设方程$x^2 + 2x -9=0$的正根介于整数$m$与$m+1$之间，则$m=$
2
.答案
2
解析 移项,得 $x^2+2x=9$,配方,得 $x^2+2x+1=9+1$,即 $(x+1)^2=10$,两边开平方,得 $x+1=± \sqrt{10}$,解得 $x_1=\sqrt{10}-1,x_2=-\sqrt{10}-1$,$\because 9＜10＜16$,$\therefore 3＜\sqrt{10}＜4$,$\therefore 2＜\sqrt{10}-1＜3$,$\therefore m=2$.故答案为 2.
解析 移项,得 $x^2+2x=9$,配方,得 $x^2+2x+1=9+1$,即 $(x+1)^2=10$,两边开平方,得 $x+1=± \sqrt{10}$,解得 $x_1=\sqrt{10}-1,x_2=-\sqrt{10}-1$,$\because 9＜10＜16$,$\therefore 3＜\sqrt{10}＜4$,$\therefore 2＜\sqrt{10}-1＜3$,$\therefore m=2$.故答案为 2.
解析
【分析】
解题可按三步思考：①首先需要求解给定的一元二次方程，得到两个实数根；②筛选出方程的正根，发现正根包含无理数$\sqrt{10}$；③通过夹逼法估算$\sqrt{10}$的取值范围，进而推导出正根所在的整数区间，即可确定$m$的值。
【解析】
首先解方程$x^2 + 2x -9=0$：
1. 移项得：$x^2+2x=9$
2. 配方，等式两边同时加1得：$x^2+2x+1=9+1$，即$(x+1)^2=10$
3. 两边开平方得：$x+1=\pm\sqrt{10}$
4. 解得两根：$x_1=\sqrt{10}-1$，$x_2=-\sqrt{10}-1$
其中$x_2=-\sqrt{10}-1$为负根，舍去，正根为$\sqrt{10}-1$。
接下来估算正根的范围：
因为$9＜10＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$，
不等式三边同时减1得：$2＜\sqrt{10}-1＜3$，
即正根介于整数2和3之间，因此$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
1.配方法解一元二次方程
2.无理数的估算
3.平方根运算
【点评】
本题属于基础题，结合了一元二次方程求解与无理数估算两个考点，解题的关键是先正确求出方程的正根，再通过夹逼法估算无理数的取值范围，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题可按三步思考：①首先需要求解给定的一元二次方程，得到两个实数根；②筛选出方程的正根，发现正根包含无理数$\sqrt{10}$；③通过夹逼法估算$\sqrt{10}$的取值范围，进而推导出正根所在的整数区间，即可确定$m$的值。
【解析】
首先解方程$x^2 + 2x -9=0$：
1. 移项得：$x^2+2x=9$
2. 配方，等式两边同时加1得：$x^2+2x+1=9+1$，即$(x+1)^2=10$
3. 两边开平方得：$x+1=\pm\sqrt{10}$
4. 解得两根：$x_1=\sqrt{10}-1$，$x_2=-\sqrt{10}-1$
其中$x_2=-\sqrt{10}-1$为负根，舍去，正根为$\sqrt{10}-1$。
接下来估算正根的范围：
因为$9＜10＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$，
不等式三边同时减1得：$2＜\sqrt{10}-1＜3$，
即正根介于整数2和3之间，因此$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
1.配方法解一元二次方程
2.无理数的估算
3.平方根运算
【点评】
本题属于基础题，结合了一元二次方程求解与无理数估算两个考点，解题的关键是先正确求出方程的正根，再通过夹逼法估算无理数的取值范围，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
9.「2026江苏宜兴期中，★☆」在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：$a☆b=a^2+b^2$，$a★b=\frac{ab}{2}$，则方程$2☆x=x★10$的解为
$x_1=1,x_2=4$
。答案
$x_1=1,x_2=4$
解析 由题意,得 $2☆x=2^2+x^2$,$x★10=5x$,$\because 2☆x=x★10$,$\therefore 2^2+x^2=5x$,整理,得 $x^2-5x+4=0$,移项,得 $x^2-5x=-4$,配方,得 $x^2-5x+(-\frac{5}{2})^2=-4+(-\frac{5}{2})^2$,即 $(x-\frac{5}{2})^2=\frac{9}{4}$,两边开平方,得 $x-\frac{5}{2}=±\frac{3}{2}$,$\therefore x_1=1$,$x_2=4$.
解析 由题意,得 $2☆x=2^2+x^2$,$x★10=5x$,$\because 2☆x=x★10$,$\therefore 2^2+x^2=5x$,整理,得 $x^2-5x+4=0$,移项,得 $x^2-5x=-4$,配方,得 $x^2-5x+(-\frac{5}{2})^2=-4+(-\frac{5}{2})^2$,即 $(x-\frac{5}{2})^2=\frac{9}{4}$,两边开平方,得 $x-\frac{5}{2}=±\frac{3}{2}$,$\therefore x_1=1$,$x_2=4$.
解析
【分析】
解题时首先要准确理解题目给出的两种新运算的规则，将方程中含有新运算的部分转化为常规代数式：先把等号左侧的$2☆x$按照$a☆b=a^2+b^2$的规则展开，再把等号右侧的$x★10$按照$a★b=\frac{ab}{2}$的规则展开，即可得到关于$x$的一元二次方程，最后用配方法求解该方程即可得到答案。
【解析】
根据新运算规则可得：
$2☆x=2^2+x^2=4+x^2$
$x★10=\frac{x×10}{2}=5x$
$\because 2☆x=x★10$
$\therefore 4+x^2=5x$
整理得：$x^2-5x+4=0$
移项得：$x^2-5x=-4$
配方，两边同时加上$(\frac{5}{2})^2$得：
$x^2-5x+(\frac{5}{2})^2=-4+(\frac{5}{2})^2$
即$(x-\frac{5}{2})^2=\frac{9}{4}$
两边开平方得：$x-\frac{5}{2}=\pm\frac{3}{2}$
当$x-\frac{5}{2}=\frac{3}{2}$时，$x=\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=4$
当$x-\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}$时，$x=-\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=1$
$\therefore x_1=1,x_2=4$
【答案】
$x_1=1,x_2=4$
【知识点】
新定义运算；配方法解一元二次方程
【点评】
本题是新定义类基础题型，核心是正确将新运算转化为常规代数运算，重点考查配方法解一元二次方程的步骤掌握情况，计算时注意配方时等式两边需同时加一次项系数一半的平方，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先要准确理解题目给出的两种新运算的规则，将方程中含有新运算的部分转化为常规代数式：先把等号左侧的$2☆x$按照$a☆b=a^2+b^2$的规则展开，再把等号右侧的$x★10$按照$a★b=\frac{ab}{2}$的规则展开，即可得到关于$x$的一元二次方程，最后用配方法求解该方程即可得到答案。
【解析】
根据新运算规则可得：
$2☆x=2^2+x^2=4+x^2$
$x★10=\frac{x×10}{2}=5x$
$\because 2☆x=x★10$
$\therefore 4+x^2=5x$
整理得：$x^2-5x+4=0$
移项得：$x^2-5x=-4$
配方，两边同时加上$(\frac{5}{2})^2$得：
$x^2-5x+(\frac{5}{2})^2=-4+(\frac{5}{2})^2$
即$(x-\frac{5}{2})^2=\frac{9}{4}$
两边开平方得：$x-\frac{5}{2}=\pm\frac{3}{2}$
当$x-\frac{5}{2}=\frac{3}{2}$时，$x=\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=4$
当$x-\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}$时，$x=-\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=1$
$\therefore x_1=1,x_2=4$
【答案】
$x_1=1,x_2=4$
【知识点】
新定义运算；配方法解一元二次方程
【点评】
本题是新定义类基础题型，核心是正确将新运算转化为常规代数运算，重点考查配方法解一元二次方程的步骤掌握情况，计算时注意配方时等式两边需同时加一次项系数一半的平方，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
10. 学科特色教材变式「2026辽宁鞍山期中，★☆」如图,在一块长为12 m,宽为8 m的长方形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与长方形的一条边平行),剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积为77 m²,则道路的宽为
1
m.答案
1
解析 设道路的宽为 x m,由题意,得 $(12-x)(8-x)=77$,整理,得 $x^2-20x+19=0$,移项、配方,得 $x^2-20x+100=-19+100$,即 $(x-10)^2=81$,两边开平方,得 $x-10=±9$,解得 $x_1=1$,$x_2=19$(不符合题意,舍去),$\therefore$ 道路的宽为 1 m.
解析 设道路的宽为 x m,由题意,得 $(12-x)(8-x)=77$,整理,得 $x^2-20x+19=0$,移项、配方,得 $x^2-20x+100=-19+100$,即 $(x-10)^2=81$,两边开平方,得 $x-10=±9$,解得 $x_1=1$,$x_2=19$(不符合题意,舍去),$\therefore$ 道路的宽为 1 m.
解析
【分析】
解决本题可利用平移法简化计算：将两条互相垂直的道路平移到长方形空地的边缘，剩余栽种花草的区域可拼接为一个规则的新长方形，其长为原长方形长减去道路宽，宽为原长方形宽减去道路宽。我们设道路的宽为x m，结合已知的栽种面积列出一元二次方程，求解后根据实际情况舍去不符合题意的根，即可得到道路的宽度。
【解析】
设道路的宽为$ x \, \mathrm{m} $，根据题意可得平移后栽种花草区域的长为$ (12-x) \, \mathrm{m} $，宽为$ (8-x) \, \mathrm{m} $，列方程得：
$(12-x)(8-x)=77$
展开并整理方程：
$x^2 - 20x + 96 = 77$
$x^2 - 20x + 19 = 0$
用配方法解方程，移项得：
$x^2 - 20x = -19$
两边同时加上一次项系数一半的平方100：
$x^2 - 20x + 100 = -19 + 100$
即：
$(x-10)^2 = 81$
两边开平方得：
$x - 10 = \pm 9$
解得：$ x_1 = 1 $，$ x_2 = 19 $。
由于道路宽度不可能超过长方形的长和宽，$ x_2=19 $不符合实际意义，故舍去。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程的应用；配方法解一元二次方程；矩形面积计算
【点评】
本题是典型的一元二次方程实际应用中的面积问题，核心技巧是通过平移将分散的种植区域整合为规则矩形，大幅降低列式难度，同时要注意求解一元二次方程后，必须检验根是否符合实际场景的限制条件。
【难度系数】
0.7
解决本题可利用平移法简化计算：将两条互相垂直的道路平移到长方形空地的边缘，剩余栽种花草的区域可拼接为一个规则的新长方形，其长为原长方形长减去道路宽，宽为原长方形宽减去道路宽。我们设道路的宽为x m，结合已知的栽种面积列出一元二次方程，求解后根据实际情况舍去不符合题意的根，即可得到道路的宽度。
【解析】
设道路的宽为$ x \, \mathrm{m} $，根据题意可得平移后栽种花草区域的长为$ (12-x) \, \mathrm{m} $，宽为$ (8-x) \, \mathrm{m} $，列方程得：
$(12-x)(8-x)=77$
展开并整理方程：
$x^2 - 20x + 96 = 77$
$x^2 - 20x + 19 = 0$
用配方法解方程，移项得：
$x^2 - 20x = -19$
两边同时加上一次项系数一半的平方100：
$x^2 - 20x + 100 = -19 + 100$
即：
$(x-10)^2 = 81$
两边开平方得：
$x - 10 = \pm 9$
解得：$ x_1 = 1 $，$ x_2 = 19 $。
由于道路宽度不可能超过长方形的长和宽，$ x_2=19 $不符合实际意义，故舍去。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程的应用；配方法解一元二次方程；矩形面积计算
【点评】
本题是典型的一元二次方程实际应用中的面积问题，核心技巧是通过平移将分散的种植区域整合为规则矩形，大幅降低列式难度，同时要注意求解一元二次方程后，必须检验根是否符合实际场景的限制条件。
【难度系数】
0.7
11.「2025河北石家庄期末，★☆」已知关于$x$的一元二次方程$(a-3)x^2 -8x +a^2 -1=0$.
(1)若方程有一个根为0,求实数$a$的值.
(2)当$a=4$时,等腰$△ ABC$的底边长和腰长分别是一元二次方程$(a-3)x^2 -8x +a^2 -1=0$的两个根.请用配方法解方程,并求出$△ ABC$的周长.
(1)若方程有一个根为0,求实数$a$的值.
(2)当$a=4$时,等腰$△ ABC$的底边长和腰长分别是一元二次方程$(a-3)x^2 -8x +a^2 -1=0$的两个根.请用配方法解方程,并求出$△ ABC$的周长.
答案
(1)
∵ 方程有一个根为 0,
$\therefore a^2-1=0$,$\therefore a^2=1$,$\therefore a=1$ 或 $a=-1$.
(2)当 $a=4$ 时,方程为 $x^2-8x+15=0$,
配方,得 $(x-4)^2=1$,
两边开平方,得 $x-4=±1$,
解得 $x_1=3,x_2=5$.
当$△ABC$的底边长为 3 时,该三角形的三边长为 3,5,5,其周长为 $3+5+5=13$;
当$△ABC$的底边长为 5 时,该三角形的三边长为 5,3,3,其周长为 $5+3+3=11$.
综上所述,$△ABC$的周长为 13 或 11.
∵ 方程有一个根为 0,
$\therefore a^2-1=0$,$\therefore a^2=1$,$\therefore a=1$ 或 $a=-1$.
(2)当 $a=4$ 时,方程为 $x^2-8x+15=0$,
配方,得 $(x-4)^2=1$,
两边开平方,得 $x-4=±1$,
解得 $x_1=3,x_2=5$.
当$△ABC$的底边长为 3 时,该三角形的三边长为 3,5,5,其周长为 $3+5+5=13$;
当$△ABC$的底边长为 5 时,该三角形的三边长为 5,3,3,其周长为 $5+3+3=11$.
综上所述,$△ABC$的周长为 13 或 11.
解析
【分析】
（1）根据方程根的定义，将x=0代入原一元二次方程，即可得到关于a的方程求解，注意原方程是一元二次方程，二次项系数不能为0，所得解需满足该隐含条件。
（2）先将a=4代入原方程得到具体的一元二次方程，再按配方法步骤：移项、两边加一次项系数一半的平方配方、开平方求解方程的根；再结合等腰三角形的性质分两种情况讨论边长，分别验证是否满足三角形三边关系后计算周长即可。
【解析】
(1)
∵ 方程有一个根为0，将x=0代入原方程得：
$a^2-1=0$
解得$a^2=1$，即$a=1$或$a=-1$。
又
∵ 原方程为一元二次方程，二次项系数$a-3≠0$，即$a≠3$，$a=1$和$a=-1$均符合要求。
(2) 当$a=4$时，代入原方程得：
$(4-3)x^2-8x+4^2-1=0$，化简为$x^2-8x+15=0$
配方：移项得$x^2-8x=-15$
两边同时加16（一次项系数-8的一半的平方）得：$x^2-8x+16=-15+16$
即$(x-4)^2=1$
两边开平方得：$x-4=±1$
解得$x_1=3$，$x_2=5$。
∵ 等腰$△ ABC$的底边长和腰长是方程的两个根，分两种情况讨论：
① 底边长为3，腰长为5时，三边长为3、5、5，满足$5+5＞3$，符合三角形三边关系，周长为$3+5+5=13$；
② 底边长为5，腰长为3时，三边长为5、3、3，满足$3+3＞5$，符合三角形三边关系，周长为$5+3+3=11$。
综上，$△ ABC$的周长为11或13。
【答案】
(1) $a=1$或$a=-1$
(2) 方程的解为$x_1=3$，$x_2=5$；$△ ABC$的周长为11或13
【知识点】
一元二次方程根的定义；配方法解一元二次方程；等腰三角形的性质
【点评】
本题是一元二次方程与三角形结合的基础综合题，解题时需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，涉及等腰三角形边长问题时要分类讨论，同时需验证三边是否满足三角形三边关系，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
（1）根据方程根的定义，将x=0代入原一元二次方程，即可得到关于a的方程求解，注意原方程是一元二次方程，二次项系数不能为0，所得解需满足该隐含条件。
（2）先将a=4代入原方程得到具体的一元二次方程，再按配方法步骤：移项、两边加一次项系数一半的平方配方、开平方求解方程的根；再结合等腰三角形的性质分两种情况讨论边长，分别验证是否满足三角形三边关系后计算周长即可。
【解析】
(1)
∵ 方程有一个根为0，将x=0代入原方程得：
$a^2-1=0$
解得$a^2=1$，即$a=1$或$a=-1$。
又
∵ 原方程为一元二次方程，二次项系数$a-3≠0$，即$a≠3$，$a=1$和$a=-1$均符合要求。
(2) 当$a=4$时，代入原方程得：
$(4-3)x^2-8x+4^2-1=0$，化简为$x^2-8x+15=0$
配方：移项得$x^2-8x=-15$
两边同时加16（一次项系数-8的一半的平方）得：$x^2-8x+16=-15+16$
即$(x-4)^2=1$
两边开平方得：$x-4=±1$
解得$x_1=3$，$x_2=5$。
∵ 等腰$△ ABC$的底边长和腰长是方程的两个根，分两种情况讨论：
① 底边长为3，腰长为5时，三边长为3、5、5，满足$5+5＞3$，符合三角形三边关系，周长为$3+5+5=13$；
② 底边长为5，腰长为3时，三边长为5、3、3，满足$3+3＞5$，符合三角形三边关系，周长为$5+3+3=11$。
综上，$△ ABC$的周长为11或13。
【答案】
(1) $a=1$或$a=-1$
(2) 方程的解为$x_1=3$，$x_2=5$；$△ ABC$的周长为11或13
【知识点】
一元二次方程根的定义；配方法解一元二次方程；等腰三角形的性质
【点评】
本题是一元二次方程与三角形结合的基础综合题，解题时需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，涉及等腰三角形边长问题时要分类讨论，同时需验证三边是否满足三角形三边关系，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
12.核心素养创新意识 聚焦中考直接经验学习 「2026广东惠州崇雅中学月考」
课题探究
课题探究
答案
(1)$5;1;x_1=-1,x_2=-9$.
详解:根据题中方法解该方程可得,
$[(x+5)-1][(x+5)+1]=15$,
$\therefore (x+5)^2-1^2=15$,
移项,得 $(x+5)^2=16$,
两边开平方,得 $x+5=±4$,
解得 $x_1=-1,x_2=-9$.
(2)①原方程可变形为 $[(x+1)+2][(x+1)-2]=5$,
$\therefore (x+1)^2-2^2=5$,
移项,得 $(x+1)^2=9$,
两边开平方,得 $x+1=±3$,
解得 $x_1=2,x_2=-4$.
②原方程可化简为 $(x-50)(x-20)=351$,
变形,得 $[(x-35)-15][(x-35)+15]=351$,
$\therefore (x-35)^2-15^2=351$,
移项,得 $(x-35)^2=576$,
两边开平方,得 $x-35=±24$,
解得 $x_1=59,x_2=11$.
详解:根据题中方法解该方程可得,
$[(x+5)-1][(x+5)+1]=15$,
$\therefore (x+5)^2-1^2=15$,
移项,得 $(x+5)^2=16$,
两边开平方,得 $x+5=±4$,
解得 $x_1=-1,x_2=-9$.
(2)①原方程可变形为 $[(x+1)+2][(x+1)-2]=5$,
$\therefore (x+1)^2-2^2=5$,
移项,得 $(x+1)^2=9$,
两边开平方,得 $x+1=±3$,
解得 $x_1=2,x_2=-4$.
②原方程可化简为 $(x-50)(x-20)=351$,
变形,得 $[(x-35)-15][(x-35)+15]=351$,
$\therefore (x-35)^2-15^2=351$,
移项,得 $(x-35)^2=576$,
两边开平方,得 $x-35=±24$,
解得 $x_1=59,x_2=11$.
解析
【分析】
本题考查新定义“平均数法”解一元二次方程，核心是利用平方差公式将方程转化为可直接开平方的形式，解题思路如下：
1. 理解方法本质：对于$(x+a)(x+b)=c$型的方程，先计算$a$和$b$的平均数$m=\frac{a+b}{2}$，再计算$a$和$m$的差的绝对值$n$，即可将原式改写为$[(x+m)-n][(x+m)+n]=c$，利用平方差公式化简后就能用直接开平方法求解。
2. 求解第一问：找到方程$(x+4)(x+6)=15$中$a=4,b=6$，按上述方法计算$m$和$n$，再逐步求解即可。
3. 求解第二问：第①题直接套用方法即可；第②题需要先整理方程，将二次项系数化为1，转化为$(x+a)(x+b)=c$的形式后再套用方法求解。
【解析】
(1) 对于方程$(x+4)(x+6)=15$，两个括号内的常数项为4和6，平均数为$\frac{4+6}{2}=5$，即$\boxed{□=5}$；常数项与平均数的差为$6-5=1$，即$\boxed{○=1}$。
原方程变形为：$[(x+5)-1][(x+5)+1]=15$
由平方差公式得：$(x+5)^2 -1^2=15$
移项得：$(x+5)^2=16$
两边开平方得：$x+5=\pm4$
解得：$x_1=-1,x_2=-9$。
(2) ①解方程$(x+3)(x-1)=5$：
两个括号内的常数项为3和-1，平均数为$\frac{3+(-1)}{2}=1$，与平均数的差为$3-1=2$，
原方程可变形为：$[(x+1)+2][(x+1)-2]=5$
由平方差公式得：$(x+1)^2 -2^2=5$
移项得：$(x+1)^2=9$
两边开平方得：$x+1=\pm3$
解得：$x_1=2,x_2=-4$。
②解方程$(50-x)(40-2x)=702$：
先整理方程，两边同时除以2得：$(50-x)(20-x)=351$，即$(x-50)(x-20)=351$
两个括号内的常数项为-50和-20，平均数为$\frac{-50+(-20)}{2}=-35$，与平均数的差为$-20-(-35)=15$，
方程变形为：$[(x-35)-15][(x-35)+15]=351$
由平方差公式得：$(x-35)^2 -15^2=351$
移项得：$(x-35)^2=351+225=576$
两边开平方得：$x-35=\pm24$
解得：$x_1=59,x_2=11$。
【答案】
(1)$5$；$1$；$x_1=-1,x_2=-9$
(2)①$x_1=2,x_2=-4$；②$x_1=59,x_2=11$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 直接开平方法解一元二次方程
3. 新定义运算应用
【点评】
本题属于新定义类题型，通过介绍“平均数法”拓展了一元二次方程的解法，本质是平方差公式和直接开平方法的结合运用，既考查了学生对基础知识的掌握程度，也考查了对新知识的理解迁移和灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
本题考查新定义“平均数法”解一元二次方程，核心是利用平方差公式将方程转化为可直接开平方的形式，解题思路如下：
1. 理解方法本质：对于$(x+a)(x+b)=c$型的方程，先计算$a$和$b$的平均数$m=\frac{a+b}{2}$，再计算$a$和$m$的差的绝对值$n$，即可将原式改写为$[(x+m)-n][(x+m)+n]=c$，利用平方差公式化简后就能用直接开平方法求解。
2. 求解第一问：找到方程$(x+4)(x+6)=15$中$a=4,b=6$，按上述方法计算$m$和$n$，再逐步求解即可。
3. 求解第二问：第①题直接套用方法即可；第②题需要先整理方程，将二次项系数化为1，转化为$(x+a)(x+b)=c$的形式后再套用方法求解。
【解析】
(1) 对于方程$(x+4)(x+6)=15$，两个括号内的常数项为4和6，平均数为$\frac{4+6}{2}=5$，即$\boxed{□=5}$；常数项与平均数的差为$6-5=1$，即$\boxed{○=1}$。
原方程变形为：$[(x+5)-1][(x+5)+1]=15$
由平方差公式得：$(x+5)^2 -1^2=15$
移项得：$(x+5)^2=16$
两边开平方得：$x+5=\pm4$
解得：$x_1=-1,x_2=-9$。
(2) ①解方程$(x+3)(x-1)=5$：
两个括号内的常数项为3和-1，平均数为$\frac{3+(-1)}{2}=1$，与平均数的差为$3-1=2$，
原方程可变形为：$[(x+1)+2][(x+1)-2]=5$
由平方差公式得：$(x+1)^2 -2^2=5$
移项得：$(x+1)^2=9$
两边开平方得：$x+1=\pm3$
解得：$x_1=2,x_2=-4$。
②解方程$(50-x)(40-2x)=702$：
先整理方程，两边同时除以2得：$(50-x)(20-x)=351$，即$(x-50)(x-20)=351$
两个括号内的常数项为-50和-20，平均数为$\frac{-50+(-20)}{2}=-35$，与平均数的差为$-20-(-35)=15$，
方程变形为：$[(x-35)-15][(x-35)+15]=351$
由平方差公式得：$(x-35)^2 -15^2=351$
移项得：$(x-35)^2=351+225=576$
两边开平方得：$x-35=\pm24$
解得：$x_1=59,x_2=11$。
【答案】
(1)$5$；$1$；$x_1=-1,x_2=-9$
(2)①$x_1=2,x_2=-4$；②$x_1=59,x_2=11$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 直接开平方法解一元二次方程
3. 新定义运算应用
【点评】
本题属于新定义类题型，通过介绍“平均数法”拓展了一元二次方程的解法，本质是平方差公式和直接开平方法的结合运用，既考查了学生对基础知识的掌握程度，也考查了对新知识的理解迁移和灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
