8.如图,在菱形ABCD中,P是BC边上一动点,点P和点C不重合,连接AP,AP的垂直平分线交BD于点G,交AP于点E,在点P由点B到点C的运动过程中,∠APG的大小变化情况是 ()

A.变大
B.先变大后变小
C.先变小后变大
D.不变

8.D

9.(2025·榆阳区模拟)【问题探究】
(1)如图①,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,若∠C=100°,则∠A的度数为°.
(2)如图②,在四边形ABCD中,AD=6,AB=8,BC=11,∠BAD=∠ABC=90°,点P在四边形ABCD内运动,且满足∠BPD=∠BAD,求CP的最小值.
【问题解决】
(3)如图③,某地拟修建一形如正方形ABCD的“探秘湿地”综合实践活动区,其中AB=6千米,点E,F分别在线段BC,CD上,CF=4千米,CE=2千米,M,N分别是线段AB,AD上的动点,现要沿MF修建一条笔直的绿色生态走廊,点P在线段MF上,点P为活动区内一观景台,沿EP修建笔直的观赏步道,沿NP修建一条笔直的植物标本采集通道(宽度均忽略不计),根据设计要求,始终满足∠PEB=∠PFC,为节省成本,要求植物标本采集通道NP的长度尽可能的短,请问NP是否存在最小值?若存在,请求出NP的最小值;若不存在,请说明理由.

9.(1)80
(2)解:如答图①,连接BD,以BD为直径作⊙O.
∵∠BPD=∠BAD=90°,
∴点P在四边形ABCD内的⊙O上运动.

连接CO,交⊙O于点P',
∵CP≥OC−OP,
∴当点P与点P'重合时,CP取最小值.
在直角三角形ABD中,AD=6,AB=8,
由勾股定理,得BD=√(AB²+AD²)=10,
∴OP'=OB=5.
过点O作OG⊥AB于点G,OH⊥BC于点H,
∴∠OGB=∠OHB=90°,BG=1/2 AB=4.
又∠ABC=90°,
∴四边形OGBH是矩形,
∴OH=BG=4.
在直角三角形BOH中,根据勾股定理,
得BH=√(OB²−OH²)=3,
∴CH=BC−BH=8.
在直角三角形OHC中,由勾股定理,得
OC=√(OH²+CH²)=4√5,
∴CP'=OC−OP'=4√5−5,
∴CP的最小值为4√5−5.
(3)解:NP存在最小值.
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠BCD=90°.
∵∠PEB=∠PFC,∠PEC+∠PEB=180°,
∴∠PEC+∠PFC=180°,
∴∠EPF=360°−180°−90°=90°.
如答图②,连接EF,以EF为直径作⊙O,则点P在正方形内部的⊙O上(不与端点重合)运动.
∵PN≥ON−OP,OP为定值,
∴当ON最小,且O,P,N三点共线时,PN最小,
即当ON与AD垂直时,ON最小.
过点O作OH⊥BC于点H,延长HO交⊙O于点P',交AD于点N',故点P与点P'重合,点N与点N'重合时,PN取最小值.
∵OH⊥BC,CE=2千米,
∴EH=1/2 CE=1千米.
∵∠ECF=90°,CF=4千米,
∴EF=√(CE²+CF²)=2√5千米,
∴OP'=OE=√5千米.
∵∠OHE=90°,
∴OH=√(OE²−EH²)=2千米,
∴ON'=HN'−OH=CD−OH=6−2=4(千米),
∴P'N'=ON'−OP'=(4−√5)千米.
故NP存在最小值,最小值为(4−√5)千米.