1[中]图(1)是边长分别为a和b(a＞b)的两个等边三角形纸片ABC和C'DE叠放在一起(C与C'重合)组成的图形.
(1)操作:固定△ABC,将△C'DE绕点C按顺时针方向旋转20°,连接AD,BE,如图(2),线段BE与AD之间具有怎样的数量关系?证明你的结论.
(2)操作:若将图(1)中的△C'DE绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α(0°＜α＜180°),连接AD,BE,如图(3),线段BE与AD之间的数量关系是否仍符合(1)中的结论?若是,请证明;若不是,请直接写出BE与AD之间的数量关系.

1.【解】(1)BE=AD. 证明:
∵ △C'DE绕点C按顺时针方向旋转20°,
∴ ∠BCE = ∠ACD = 20°.
∵ △ABC与△C'DE是等边三角形,
∴ CA = CB, CE = CD,
∴ △BCE≌△ACD,
∴ BE=AD.
(2)是. 证明:
∵ △C'DE绕点C按顺时针方向旋转的角度为α,
∴ ∠BCE = ∠ACD = α.
∵ △ABC与△C'DE是等边三角形,
∴ CA = CB, CE = CD,
∴ △BCE≌△ACD,
∴ BE=AD.

2[难]正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为3和1，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转.
(1)当旋转至图(1)位置时，连接BE，DG，则线段BE和DG的关系为；
(2)连接BD，BF，DF，如图(2)，求在旋转过程中△BDF的面积的最大值；
(3)在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，求线段BE的长.

2.【解】(1)设BE交AD于点O,交DG于点J.
∵ 四边形ABCD、四边形AEFG都是正方形,
∴ ∠BAD = ∠EAG = 90°, AB = AD, AG = AE,
∴ ∠BAD+∠DAE = ∠EAG+∠DAE,
∴ ∠BAE = ∠DAG. 在△BAE和△DAG中,
$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠BAE=∠DAG, \\ AE=AG, \end{cases}$
∴ △BAE≌△DAG,
∴ BE = DG,
∠ABE = ∠ADG.
∵ ∠BOD = ∠ABE + ∠BAD = ∠ADG+∠DJO,
∴ ∠BAD = ∠DJO = 90°,
∴ BE ⊥ DG. 故答案为 BE = DG, BE ⊥ DG.
(2)如图(1),连接 AF,AC,
设AC交BD于点K.
∵ 四边形ABCD、四边形AEFG都是正方形,
∴ AB = AD = 3, ∠BAD = 90°, EA = EF = 1, ∠AEF = 90°,
∴ BD = AC = $\sqrt{3^2+3^2}$ = $3\sqrt{2}$, AF = $\sqrt{1^2+1^2}$ = $\sqrt{2}$,
∴ AK = CK = $\frac{3}{2}\sqrt{2}$.
当点F在KA的延长线上时,点F到BD的距离最大,为$\sqrt{2}+\frac{3}{2}\sqrt{2}=\frac{5}{2}\sqrt{2}$,
∴ △BDF的面积的最大值为$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×\frac{5}{2}\sqrt{2}=7.5$.
(3)如图(2),当E在线段DG上时,连接AF交DG于T.
∵ 四边形AEFG是正方形,
∴ AF ⊥ EG, AF = EG = $\sqrt{2}$,
∴ AT = FT = TG = TE = $\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴ DT = $\sqrt{AD^2-AT^2}=\sqrt{3^2-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}=\frac{\sqrt{34}}{2}$,
∴ DG = GT + DT = $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{34}}{2}$.
∵ 同(1)可得BE = DG,
∴ BE = $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{34}}{2}$.
如图(3),当G在线段DE上时,连接AF交DE于M.
∵ 四边形AEFG是正方形,
∴ AF ⊥ EG, AF = EG = $\sqrt{2}$,
∴ AM = FM = MG = ME = $\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴ DM = $\sqrt{AD^2-AM^2}=\sqrt{3^2-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}=\frac{\sqrt{34}}{2}$,
∴ DG = DM - GM = $\frac{\sqrt{34}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
∵ 同(1)易得BE = DG,
∴ BE = $\frac{\sqrt{34}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$. 综上所述,线段BE的长为$\frac{\sqrt{34}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{34}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
关键点拨
(3)注意分两种情形:如图(2),当D,E,G共线,点E在线段DG上时;如图(3),当D,E,G共线,点G在线段DE上时.

3[2026甘肃武威质检,中]如图所示,已知正方形ABCD的边长为3,E,F分别为AB,BC边上的点,且∠EDF=45°,将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM.
(1)证明:△DEF≌△DMF.
(2)若AE=1,求FM的长.

3. (1)【证明】
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AD = CD,∠A = ∠BCD = 90°. 由旋转得∠DCM = ∠A = 90°,∠EDM = 90°,DE = DM,
∴ ∠FCD+∠DCM = 180°,
∴ F,C,M三点共线.
∵ ∠EDF = 45°,
∴ ∠FDM = ∠EDM - ∠EDF = 45° = ∠EDF. 在△DEF 和 △DMF 中, $\begin{cases} DE=DM, \\ ∠EDF=∠MDF, \\ DF=DF, \end{cases}$
∴ △DEF≌△DMF(SAS).
(2)【解】由题意得AE = CM = 1,正方形ABCD的边长为3,
∴ ∠B = 90°,BE = 3-1 = 2,BM = 3+1 = 4.
∵ △DEF≌△DMF,
∴ EF = MF. 在Rt△BEF中,$BE^2+BF^2=EF^2$,
∴ $BE^2+(BM-FM)^2=FM^2$,即$2^2+(4-FM)^2=FM^2$,
∴ $FM=\frac{5}{2}$.