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1. 如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AB+AD=8 cm.当BD取得最小值时,AC的最大值为
4√2
cm. 答案
1.答案 4√2
解析 设 AB = x cm,则 AD = (8-x) cm,
∵ ∠BAD = ∠BCD=90°,
∴ BD² = x²+(8-x)² = 2(x-4)²+32,
∴ 当 x=4 时,BD 取得最小值,最小值为 4√2 cm.
∵ ∠BAD=∠BCD=90°,
∴ A,B,C,D 四点在以 BD 为直径的圆上,
∴ 当 AC 为直径时,AC 取得最大值,
∴ AC 的最大值为 4√2 cm.
解析 设 AB = x cm,则 AD = (8-x) cm,
∵ ∠BAD = ∠BCD=90°,
∴ BD² = x²+(8-x)² = 2(x-4)²+32,
∴ 当 x=4 时,BD 取得最小值,最小值为 4√2 cm.
∵ ∠BAD=∠BCD=90°,
∴ A,B,C,D 四点在以 BD 为直径的圆上,
∴ 当 AC 为直径时,AC 取得最大值,
∴ AC 的最大值为 4√2 cm.
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步求BD的最小值，已知AB+AD为定值8，∠BAD=90°，可设AB=x，将AD用含x的代数式表示，结合勾股定理写出BD²关于x的函数表达式，通过配方求二次函数的最值，即可得到BD的最小值；第二步求AC的最大值，观察到∠BAD和∠BCD都是90°且均对着BD，根据圆周角定理推论可知A、B、C、D四点在以BD为直径的圆上，圆中最长的弦为直径，因此AC的最大值等于该圆的直径长，即BD的最小值。
【解析】
设AB = x cm，则AD = (8 - x) cm，
∵ ∠BAD = 90°，
∴ 由勾股定理得：$BD^2 = AB^2 + AD^2 = x^2 + (8 - x)^2$，
整理得$BD^2 = 2x^2 - 16x + 64 = 2(x - 4)^2 + 32$，
∵ 2＞0，
∴ 当x=4时，$BD^2$取得最小值32，此时BD的最小值为$\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ cm。
又
∵ ∠BAD = ∠BCD = 90°，
∴ 根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可得A、B、C、D四点在以BD为直径的同一个圆上，
∵ 圆中最长的弦是直径，
∴ 当AC为该圆的直径时，AC取得最大值，最大值等于直径BD的长度，即$4\sqrt{2}$ cm。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
勾股定理，二次函数最值，四点共圆
【点评】
本题综合考查了代数与几何的结合应用，解题的关键是先利用二次函数性质求出BD的最小值，再结合隐圆的性质得到AC的最大值，很好地体现了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为两步：第一步求BD的最小值，已知AB+AD为定值8，∠BAD=90°，可设AB=x，将AD用含x的代数式表示，结合勾股定理写出BD²关于x的函数表达式，通过配方求二次函数的最值，即可得到BD的最小值；第二步求AC的最大值，观察到∠BAD和∠BCD都是90°且均对着BD，根据圆周角定理推论可知A、B、C、D四点在以BD为直径的圆上，圆中最长的弦为直径，因此AC的最大值等于该圆的直径长，即BD的最小值。
【解析】
设AB = x cm，则AD = (8 - x) cm，
∵ ∠BAD = 90°，
∴ 由勾股定理得：$BD^2 = AB^2 + AD^2 = x^2 + (8 - x)^2$，
整理得$BD^2 = 2x^2 - 16x + 64 = 2(x - 4)^2 + 32$，
∵ 2＞0，
∴ 当x=4时，$BD^2$取得最小值32，此时BD的最小值为$\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ cm。
又
∵ ∠BAD = ∠BCD = 90°，
∴ 根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可得A、B、C、D四点在以BD为直径的同一个圆上，
∵ 圆中最长的弦是直径，
∴ 当AC为该圆的直径时，AC取得最大值，最大值等于直径BD的长度，即$4\sqrt{2}$ cm。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
勾股定理，二次函数最值，四点共圆
【点评】
本题综合考查了代数与几何的结合应用，解题的关键是先利用二次函数性质求出BD的最小值，再结合隐圆的性质得到AC的最大值，很好地体现了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.6
2.「2026浙江宁波月考」如图，已知AB = AC = AD，∠CBD = 2∠BDC，∠BAC = 42°，则∠CAD的度数为（
A.56°
B.78°
C.84°
D.112°
C
）A.56°
B.78°
C.84°
D.112°
答案
2.C
∵ AB=AC=AD,
∴ B,C,D 都在以 A 为圆心,AB 长为半径的圆上,
∵ ∠CBD = 2 ∠BDC,
∴ ⌢CD = 2 ⌢BC,
∴ ∠CAD=2∠BAC=84°.故选 C.
∵ AB=AC=AD,
∴ B,C,D 都在以 A 为圆心,AB 长为半径的圆上,
∵ ∠CBD = 2 ∠BDC,
∴ ⌢CD = 2 ⌢BC,
∴ ∠CAD=2∠BAC=84°.故选 C.
解析
【分析】
遇到共端点的多条相等线段时，可构造隐圆解题：相等线段的另一端点都在以公共端点为圆心、线段长为半径的圆上。本题中AB=AC=AD，因此B、C、D都在以A为圆心的圆上；接下来根据圆周角与所对弧的对应关系，把已知的∠CBD=2∠BDC转化为弧的倍数关系，再结合圆心角和所对弧的对应关系，即可求出∠CAD的度数。
【解析】
∵ AB=AC=AD，
∴ B、C、D三点都在以A为圆心，AB长为半径的圆上。
∵ ∠CBD和∠BDC都是该圆的圆周角，∠CBD所对的弧是$\overset{\frown}{CD}$，∠BDC所对的弧是$\overset{\frown}{BC}$，且∠CBD = 2∠BDC，
∴ $\overset{\frown}{CD}$ = 2$\overset{\frown}{BC}$。
∵ 圆心角的度数等于其所对弧的度数，∠CAD是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角，∠BAC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
∴ ∠CAD=2∠BAC。
又
∵ ∠BAC=42°，
∴ ∠CAD=2×42°=84°。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
隐圆的构造；圆周角定理；圆心角与弧的关系
【点评】
本题解题的核心是识别出共端点等线段的隐圆模型，将角的数量关系转化为弧的关系，再结合圆的基本性质求解，能有效考察学生对几何模型的识别和应用能力。
【难度系数】
0.6
遇到共端点的多条相等线段时，可构造隐圆解题：相等线段的另一端点都在以公共端点为圆心、线段长为半径的圆上。本题中AB=AC=AD，因此B、C、D都在以A为圆心的圆上；接下来根据圆周角与所对弧的对应关系，把已知的∠CBD=2∠BDC转化为弧的倍数关系，再结合圆心角和所对弧的对应关系，即可求出∠CAD的度数。
【解析】
∵ AB=AC=AD，
∴ B、C、D三点都在以A为圆心，AB长为半径的圆上。
∵ ∠CBD和∠BDC都是该圆的圆周角，∠CBD所对的弧是$\overset{\frown}{CD}$，∠BDC所对的弧是$\overset{\frown}{BC}$，且∠CBD = 2∠BDC，
∴ $\overset{\frown}{CD}$ = 2$\overset{\frown}{BC}$。
∵ 圆心角的度数等于其所对弧的度数，∠CAD是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角，∠BAC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
∴ ∠CAD=2∠BAC。
又
∵ ∠BAC=42°，
∴ ∠CAD=2×42°=84°。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
隐圆的构造；圆周角定理；圆心角与弧的关系
【点评】
本题解题的核心是识别出共端点等线段的隐圆模型，将角的数量关系转化为弧的关系，再结合圆的基本性质求解，能有效考察学生对几何模型的识别和应用能力。
【难度系数】
0.6
3.「2025安徽阜阳太和期末」如图，P是边长为2的正方形ABCD内的一个动点，且满足$∠ PDC = ∠ PCB$，则AP的最小值是（
A.$4-\sqrt{5}$
B.$1$
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{5}-1$
D
）A.$4-\sqrt{5}$
B.$1$
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{5}-1$
答案
3.D
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ ∠BCD=90°,
∴ ∠PCB+∠PCD=90°,
∵ ∠PDC=∠PCB,
∴ ∠PDC+∠PCD=90°,
∴ ∠DPC=90°,
∴ 点 P 在以 CD 为直径的圆上,
如图,取 CD 的中点 M,连接 AM,PM,则 M 是该圆的圆心,点 A 在 ⊙M 外,CM=DM=1,
∵ AP≥AM-PM,
∴ 当 A,P,M 三点共线时,AP 有最小值,此时 AP=AM-PM=√(1²+2²)-1=√5-1.故选 D.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①结合正方形内角为90°的性质，将∠PDC=∠PCB的条件进行代换，可推导出∠DPC=90°；②根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可确定动点P的运动轨迹是以CD为直径的圆；③求定点A到圆上动点P的最小距离，根据圆的性质，圆外一点到圆上点的最短距离为点到圆心的距离减去半径，因此只需计算点A到CD中点（即圆心）的距离，再减去半径即可得到AP的最小值。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠BCD=90°，CD=AD=2，
∴ ∠PCB+∠PCD=90°，
∵ ∠PDC=∠PCB，
∴ ∠PDC+∠PCD=90°，
∴ ∠DPC=180°-(∠PDC+∠PCD)=90°，
∴ 点P在以CD为直径的圆上。
取CD的中点M，则M为该圆的圆心，半径PM=DM=1，连接AM、PM。
根据三角形三边关系，AP≥AM-PM，当且仅当A、P、M三点共线时等号成立，即此时AP取得最小值。
在Rt△ADM中，AM=√(AD²+DM²)=√(2²+1²)=√5，
∴ AP的最小值为AM-PM=√5 - 1。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质、圆周角定理、最值计算
【点评】
本题是几何动点最值的典型题型，解题关键是通过角的等量关系挖掘出隐圆轨迹，将未知的线段最值问题转化为熟悉的圆外点到圆上点的最短距离问题，能够有效考察学生的几何条件转化与综合分析能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件入手：①结合正方形内角为90°的性质，将∠PDC=∠PCB的条件进行代换，可推导出∠DPC=90°；②根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可确定动点P的运动轨迹是以CD为直径的圆；③求定点A到圆上动点P的最小距离，根据圆的性质，圆外一点到圆上点的最短距离为点到圆心的距离减去半径，因此只需计算点A到CD中点（即圆心）的距离，再减去半径即可得到AP的最小值。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠BCD=90°，CD=AD=2，
∴ ∠PCB+∠PCD=90°，
∵ ∠PDC=∠PCB，
∴ ∠PDC+∠PCD=90°，
∴ ∠DPC=180°-(∠PDC+∠PCD)=90°，
∴ 点P在以CD为直径的圆上。
取CD的中点M，则M为该圆的圆心，半径PM=DM=1，连接AM、PM。
根据三角形三边关系，AP≥AM-PM，当且仅当A、P、M三点共线时等号成立，即此时AP取得最小值。
在Rt△ADM中，AM=√(AD²+DM²)=√(2²+1²)=√5，
∴ AP的最小值为AM-PM=√5 - 1。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质、圆周角定理、最值计算
【点评】
本题是几何动点最值的典型题型，解题关键是通过角的等量关系挖掘出隐圆轨迹，将未知的线段最值问题转化为熟悉的圆外点到圆上点的最短距离问题，能够有效考察学生的几何条件转化与综合分析能力。
【难度系数】
0.6
4. 如图，在△ABC中，∠BAC = 60°,AD⊥BC于点D,且AD = 4,则△ABC面积的最小值为
16√3/3
答案
4.答案 16√3/3
解析 如图,作△ABC 的外接圆⊙O,连接 OA,OB,OC,过点 O 作 OE ⊥ BC 于点 E,
∵ ∠BAC = 60°,
∴ ∠BOC=120°,
∵ OB=OC,
∴ ∠OBC=∠OCB=30°,
设⊙O 的半径为 r,则 OE = 1/2 OB = 1/2 r,BE = √3/2 OB = √3/2 r,
∴ BC=√3 r,
∵ OA+OE≥AD,
∴ r+1/2 r≥4,解得 r≥8/3,
∴ BC≥8√3/3,
∴ S△ABC = 1/2 BC · AD ≥ 1/2 × 8√3/3 ×4 = 16√3/3,
∴ △ABC 面积的最小值为16√3/3.
解析
【分析】
要计算△ABC的面积最小值，已知BC边上的高AD=4，根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD$，可将问题转化为求BC的最小值。已知∠BAC=60°为定角，我们可以构造△ABC的外接圆，利用圆周角与圆心角的关系将BC的长度用外接圆半径r表示，再结合“OA+OE≥AD”（垂线段最短，当A、O、E三点共线且O在A和E之间时等号成立）求出半径r的最小值，即可得到BC的最小值，最终算出面积的最小值。
【解析】
作△ABC的外接圆⊙O，连接OA、OB、OC，过点O作OE⊥BC于点E。
∵ ∠BAC=60°，
∴ ∠BOC=2∠BAC=120°（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），
∵ OB=OC，OE⊥BC，
∴ ∠OBC=∠OCB=30°，E为BC的中点。
设⊙O的半径为r，则OB=OC=OA=r，
在Rt△OBE中，$OE=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}r$，$BE=\sqrt{OB^2-OE^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}r$，
∴ $BC=2BE=\sqrt{3}r$。
∵ 点A到BC的距离AD=4，根据垂线段最短可得$OA+OE≥ AD$（当且仅当A、O、E三点共线，且O位于A、E之间时等号成立），
∴ $r+\frac{1}{2}r≥4$，解得$r≥\frac{8}{3}$，
∴ $BC=\sqrt{3}r≥\sqrt{3}×\frac{8}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD≥\frac{1}{2}×\frac{8\sqrt{3}}{3}×4=\frac{16\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\frac{16\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 三角形面积计算
3. 垂线段最短
【点评】
本题是典型的构造隐圆解决几何最值的题型，解题核心是将面积最值转化为边长最值，结合圆的性质和最值原理求解，考察了转化思想和对圆相关性质的灵活应用能力。
【难度系数】
0.3
要计算△ABC的面积最小值，已知BC边上的高AD=4，根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD$，可将问题转化为求BC的最小值。已知∠BAC=60°为定角，我们可以构造△ABC的外接圆，利用圆周角与圆心角的关系将BC的长度用外接圆半径r表示，再结合“OA+OE≥AD”（垂线段最短，当A、O、E三点共线且O在A和E之间时等号成立）求出半径r的最小值，即可得到BC的最小值，最终算出面积的最小值。
【解析】
作△ABC的外接圆⊙O，连接OA、OB、OC，过点O作OE⊥BC于点E。
∵ ∠BAC=60°，
∴ ∠BOC=2∠BAC=120°（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），
∵ OB=OC，OE⊥BC，
∴ ∠OBC=∠OCB=30°，E为BC的中点。
设⊙O的半径为r，则OB=OC=OA=r，
在Rt△OBE中，$OE=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}r$，$BE=\sqrt{OB^2-OE^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}r$，
∴ $BC=2BE=\sqrt{3}r$。
∵ 点A到BC的距离AD=4，根据垂线段最短可得$OA+OE≥ AD$（当且仅当A、O、E三点共线，且O位于A、E之间时等号成立），
∴ $r+\frac{1}{2}r≥4$，解得$r≥\frac{8}{3}$，
∴ $BC=\sqrt{3}r≥\sqrt{3}×\frac{8}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD≥\frac{1}{2}×\frac{8\sqrt{3}}{3}×4=\frac{16\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\frac{16\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 三角形面积计算
3. 垂线段最短
【点评】
本题是典型的构造隐圆解决几何最值的题型，解题核心是将面积最值转化为边长最值，结合圆的性质和最值原理求解，考察了转化思想和对圆相关性质的灵活应用能力。
【难度系数】
0.3
