1 在平面内有$∠ AOB=60°$，$∠ AOC=40°$，OD是$∠ AOB$的平分线，OE是$∠ AOC$的平分线，求$∠ DOE$的度数.(请作图解答)

如图(1), $\because ∠ AOB = 60°, ∠ AOC = 40°$, OD 是$∠ AOB$ 的平分线,OE 是$∠ AOC$ 的平分线.
$\therefore ∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOC=20°,∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB=30°$,
$\therefore ∠ DOE=∠ AOE+∠ AOD=50°$.
如图(2), $\because ∠ AOB = 60°, ∠ AOC = 40°$, OD 是$∠ AOB$ 的平分线,OE 是$∠ AOC$ 的平分线,
$\therefore ∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOC=20°,∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB=30°$,
$\therefore ∠ DOE=∠ AOD-∠ AOE=10°$.
综上所述,$∠ DOE$ 的度数为 $50°$或 $10°$.

2 中考新考法 新定义问题 新定义:若α的度数是β的度数的n倍,则α叫做β的n倍角.
(1)若∠M=10°21',请直接写出∠M的3倍角的度数;
(2)如图(1),若∠AOB=∠BOC=∠COD,请直接写出图中∠AOB的所有2倍角;
(3)如图(2),若∠AOC是∠AOB的3倍角,∠COD是∠AOB的4倍角,且∠BOD=90°,求∠BOC的度数.

(1)$\because ∠ M=10°21',\therefore 3∠ M=3×10°21'=31°3'$.
(2)图中$∠ AOB$ 的所有 2 倍角有$∠ AOC,∠ BOD$.
(3)$\because ∠ AOC$ 是$∠ AOB$ 的 3 倍角,$∠ COD$ 是$∠ AOB$的 4 倍角,
$\therefore$ 设$∠ AOB=α$,则$∠ AOC=3α,∠ COD=4α$,
$\therefore ∠ BOC=∠ AOC-∠ AOB=2α$,
$\therefore ∠ BOD=∠ BOC+∠ COD=6α=90°$,
$\therefore ∠ BOC=2α=30°$.

3 (2024·四川成都邛崃期末)(1)如图(1),已知点M,N是线段CD上两点,且$CD=6CM=4DN$,点E和点F分别是线段CN和线段DM的中点.若线段$CD=24\ \mathrm{cm}$,分别求线段CM,DN,EF的长；(2)已知OM,ON是从$∠ COD$的顶点发出的两条射线,$∠ COD=6∠ COM$且$∠ COD=144°$,射线OE和射线OF分别平分$∠ CON,∠ DOM$.①如图(2),若OM,ON均为$∠ CON$内的两条射线,且$∠ COD=4∠ DON$,求$∠ EOF$的度数；②如图(3),若OM为$∠ COD$外的一条射线,且$∠ EOF=18°$,则$∠ DON=$.

(1)$CD=24\ \mathrm{cm},CD=6CM=4DN$.
$\therefore CM=\frac{1}{6}CD=4\ \mathrm{cm},DN=\frac{1}{4}CD=6\ \mathrm{cm}$,
$\therefore CN=CD-DN=24-6=18(\mathrm{cm}),DM=CD-CM=24-4=20(\mathrm{cm})$.
$\because$ 点 E 和点 F 分别是线段 CN 和线段 DM 的中点,
$\therefore CE=\frac{1}{2}CN=9\ \mathrm{cm},DF=\frac{1}{2}DM=10\ \mathrm{cm}$,
$\therefore EF=CD-CE-DF=24-9-10=5(\mathrm{cm})$.
(2)①$\because ∠ COD=144°,∠ COD=6∠ COM,∠ COD=4∠ DON$,
$\therefore ∠ COM=\frac{1}{6}∠ COD=24°,∠ DON=\frac{1}{4}∠ COD=36°$,
$\therefore ∠ CON=∠ COD-∠ DON=108°,∠ DOM=∠ COD-∠ COM=120°$.
$\because$ 射线 OE 和射线 OF 分别平分$∠ CON,∠ DOM$,
$\therefore ∠ COE=\frac{1}{2}∠ CON=54°,∠ DOF=\frac{1}{2}∠ DOM=60°$,
$\therefore ∠ EOF=∠ COD-∠ COE-∠ DOF=30°$.
②$12°$或 $60°$