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11. 如图是反比例函数$y=\frac{m-5}{x}$图象的一支. 根据图象, 回答下列问题:
（1）图象的另一支位于哪个象限? 常数$m$的取值范围是什么?
（2）在这个函数图象的某一支上任取点$A(x_1, y_1)$和点$B(x_2, y_2)$, 如果$x_1＞x_2$, 那么$y_1$和$y_2$有怎样的大小关系?
（1）图象的另一支位于哪个象限? 常数$m$的取值范围是什么?
（2）在这个函数图象的某一支上任取点$A(x_1, y_1)$和点$B(x_2, y_2)$, 如果$x_1＞x_2$, 那么$y_1$和$y_2$有怎样的大小关系?
答案
11. (1) 第三象限，$m＞5$ (2) $y_1＜y_2$
解析
【分析】
解答本题需结合反比例函数的图象与性质逐步推导：（1）首先回忆反比例函数图象的对称性和分布规律：反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象是双曲线，当$k＞0$时，两支分别位于第一、三象限；当$k＜0$时，两支分别位于第二、四象限。已知图象的一支在第一象限，可推出$k＞0$，进而得到另一支的位置和$m$的取值范围。（2）再根据$k＞0$时反比例函数的增减性：同一象限内$y$随$x$的增大而减小，结合$x_1＞x_2$的条件即可判断$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
（1）反比例函数的图象是关于原点对称的双曲线，已知该函数图象的一支位于第一象限，因此另一支位于第三象限。
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，当图象分布在第一、三象限时，比例系数$k＞0$，本题中$k=m-5$，因此列不等式：
$m-5＞0$
解得$m＞5$。
（2）由（1）可知$m-5＞0$，因此在该反比例函数图象的每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
因为点$A$、$B$在图象的同一支上，且$x_1＞x_2$，所以$y_1＜y_2$。
【答案】
(1) 第三象限，$m＞5$ (2) $y_1＜y_2$
【知识点】
反比例函数图象性质、反比例函数增减性、一元一次不等式解法
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题的关键是明确反比例函数中比例系数$k$的正负对图象分布、函数增减性的影响，注意讨论增减性时要限定在同一象限内，避免跨象限判断出错。
【难度系数】
0.8
解答本题需结合反比例函数的图象与性质逐步推导：（1）首先回忆反比例函数图象的对称性和分布规律：反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象是双曲线，当$k＞0$时，两支分别位于第一、三象限；当$k＜0$时，两支分别位于第二、四象限。已知图象的一支在第一象限，可推出$k＞0$，进而得到另一支的位置和$m$的取值范围。（2）再根据$k＞0$时反比例函数的增减性：同一象限内$y$随$x$的增大而减小，结合$x_1＞x_2$的条件即可判断$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
（1）反比例函数的图象是关于原点对称的双曲线，已知该函数图象的一支位于第一象限，因此另一支位于第三象限。
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，当图象分布在第一、三象限时，比例系数$k＞0$，本题中$k=m-5$，因此列不等式：
$m-5＞0$
解得$m＞5$。
（2）由（1）可知$m-5＞0$，因此在该反比例函数图象的每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
因为点$A$、$B$在图象的同一支上，且$x_1＞x_2$，所以$y_1＜y_2$。
【答案】
(1) 第三象限，$m＞5$ (2) $y_1＜y_2$
【知识点】
反比例函数图象性质、反比例函数增减性、一元一次不等式解法
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题的关键是明确反比例函数中比例系数$k$的正负对图象分布、函数增减性的影响，注意讨论增减性时要限定在同一象限内，避免跨象限判断出错。
【难度系数】
0.8
12. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点$A(-3, -4)$。
（1）求它的表达式。
（2）当自变量$x$从2增大到4时，函数值$y$是怎样变化的？
（3）当函数值$y ＞ -2$时，$x$的取值范围是什么？
（1）求它的表达式。
（2）当自变量$x$从2增大到4时，函数值$y$是怎样变化的？
（3）当函数值$y ＞ -2$时，$x$的取值范围是什么？
答案
12. (1) $y=\frac{12}{x}$ (2) 根据函数的变化趋势，$y$的值随$x$值的增大而减小. 当$x=2$时，$y=6$；当$x=4$时，$y=3$，所以当自变量$x$从2增大到4时，函数值$y$从6减小到3 (3) $x＜-6$或$x＞0$
解析
【分析】
（1）求反比例函数表达式，首先回忆反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），已知函数图象过点$A(-3,-4)$，将点的坐标代入一般式即可求出$k$的值，进而得到函数表达式。
（2）判断$x$从2增大到4时$y$的变化，先根据$k$的正负确定反比例函数的增减性：当$k＞0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，2和4都在$x＞0$的范围（第一象限），再分别计算$x=2$和$x=4$对应的$y$值，即可得到函数值的变化情况。
（3）求$y＞-2$时$x$的取值范围，需结合反比例函数的图象分象限讨论：该函数图象在第一、三象限，第一象限内$y$恒为正，必然满足$y＞-2$；第三象限内$y$为负，此时解不等式$\frac{12}{x}＞-2$，注意第三象限$x＜0$，乘负数不等号方向要改变，最后合并两种情况的取值范围即可。
【解析】
（1）设该反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}$（$k\ne0$），
将点$A(-3,-4)$代入表达式，得$-4=\frac{k}{-3}$，
解得$k=(-3)×(-4)=12$，
因此反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$。
（2）$\because k=12＞0$，
$\therefore$在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，
当$x=2$时，$y=\frac{12}{2}=6$；当$x=4$时，$y=\frac{12}{4}=3$，
$\therefore$当自变量$x$从2增大到4时，函数值$y$从6减小到3。
（3）分两种情况讨论：
①当$x＞0$时，$y=\frac{12}{x}＞0$，显然满足$y＞-2$；
②当$x＜0$时，解不等式$\frac{12}{x}＞-2$，
两边同时乘$x$（$x＜0$，不等号方向改变），得$12＜-2x$，
两边同时除以$-2$（不等号方向再次改变），得$x＜-6$。
综上，当$y＞-2$时，$x$的取值范围是$x＜-6$或$x＞0$。
【答案】
(1) $y=\frac{12}{x}$ (2) 当自变量$x$从2增大到4时，函数值$y$从6减小到3 (3) $x＜-6$或$x＞0$
【知识点】
反比例函数解析式求解，反比例函数的增减性，反比例函数与不等式
【点评】
本题是反比例函数的基础常规题型，依次考查了解析式确定、增减性应用、结合图象解不等式，解题时要注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，解含负数分母的不等式时要注意不等号方向的变化，分情况讨论避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）求反比例函数表达式，首先回忆反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），已知函数图象过点$A(-3,-4)$，将点的坐标代入一般式即可求出$k$的值，进而得到函数表达式。
（2）判断$x$从2增大到4时$y$的变化，先根据$k$的正负确定反比例函数的增减性：当$k＞0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，2和4都在$x＞0$的范围（第一象限），再分别计算$x=2$和$x=4$对应的$y$值，即可得到函数值的变化情况。
（3）求$y＞-2$时$x$的取值范围，需结合反比例函数的图象分象限讨论：该函数图象在第一、三象限，第一象限内$y$恒为正，必然满足$y＞-2$；第三象限内$y$为负，此时解不等式$\frac{12}{x}＞-2$，注意第三象限$x＜0$，乘负数不等号方向要改变，最后合并两种情况的取值范围即可。
【解析】
（1）设该反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}$（$k\ne0$），
将点$A(-3,-4)$代入表达式，得$-4=\frac{k}{-3}$，
解得$k=(-3)×(-4)=12$，
因此反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$。
（2）$\because k=12＞0$，
$\therefore$在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，
当$x=2$时，$y=\frac{12}{2}=6$；当$x=4$时，$y=\frac{12}{4}=3$，
$\therefore$当自变量$x$从2增大到4时，函数值$y$从6减小到3。
（3）分两种情况讨论：
①当$x＞0$时，$y=\frac{12}{x}＞0$，显然满足$y＞-2$；
②当$x＜0$时，解不等式$\frac{12}{x}＞-2$，
两边同时乘$x$（$x＜0$，不等号方向改变），得$12＜-2x$，
两边同时除以$-2$（不等号方向再次改变），得$x＜-6$。
综上，当$y＞-2$时，$x$的取值范围是$x＜-6$或$x＞0$。
【答案】
(1) $y=\frac{12}{x}$ (2) 当自变量$x$从2增大到4时，函数值$y$从6减小到3 (3) $x＜-6$或$x＞0$
【知识点】
反比例函数解析式求解，反比例函数的增减性，反比例函数与不等式
【点评】
本题是反比例函数的基础常规题型，依次考查了解析式确定、增减性应用、结合图象解不等式，解题时要注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，解含负数分母的不等式时要注意不等号方向的变化，分情况讨论避免漏解。
【难度系数】
0.7
13. 我们可以用推理的方式说明反比例函数的性质，请完成下列问题.
性质：反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象是中心对称图形，对称中心是原点.
（1）证明：在函数上任取一点 $A(x,\dfrac{3}{x})$，则点 $A$ 关于原点对称的点 $B$ 为 ______，
$\because \_\_\_\_\_\_$，
$\therefore$ 点 $B$ 也在反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象上，
$\because$ 点 $A$ 是反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象上，
$\therefore$ 反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象是中心对称图形，对称中心是原点.
（2）证明：对于反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$，当 $x＞0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小.
性质：反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象是中心对称图形，对称中心是原点.
（1）证明：在函数上任取一点 $A(x,\dfrac{3}{x})$，则点 $A$ 关于原点对称的点 $B$ 为 ______，
$\because \_\_\_\_\_\_$，
$\therefore$ 点 $B$ 也在反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象上，
$\because$ 点 $A$ 是反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象上，
$\therefore$ 反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象是中心对称图形，对称中心是原点.
（2）证明：对于反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$，当 $x＞0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小.
答案
13. (1) $(-x,-\frac{3}{x}),-\frac{3}{x}=\frac{3}{-x}$ (2) 证明：在 $y=\frac{3}{x}$ 上任取两点 $A(x_1,\frac{3}{x_1}),B(x_2,\frac{3}{x_2})(0＜x_1＜x_2)$，$\because \frac{3}{x_1}-\frac{3}{x_2}=\frac{3x_2-3x_1}{x_1x_2},x_1x_2＞0,3x_2-3x_1＞0,\therefore \frac{3}{x_1}-\frac{3}{x_2}＞0,\therefore$ 当 $x＞0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小
解析
【分析】
（1）要证明反比例函数图象是中心对称图形，首先回忆关于原点对称的点的坐标特征：两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数，据此可写出点A关于原点对称的点B的坐标；再验证点B的坐标满足反比例函数解析式，即可说明点B在函数图象上。
（2）要证明反比例函数在$x＞0$时$y$随$x$的增大而减小，需使用函数增减性的常规证明方法：在指定区间内任取两个自变量$x_1$、$x_2$，设$x_1＜x_2$，通过作差法比较对应的函数值$y_1$、$y_2$的大小，若$y_1＞y_2$则可说明$y$随$x$的增大而减小。
【解析】
（1）根据关于原点对称的点的坐标特征，点$A(x,\dfrac{3}{x})$关于原点对称的点$B$的坐标为$(-x,-\dfrac{3}{x})$；
将点$B$的横坐标$-x$代入反比例函数解析式，得$y=\dfrac{3}{-x}=-\dfrac{3}{x}$，与点$B$的纵坐标相等，因此第二个空填$-\dfrac{3}{x}=\dfrac{3}{-x}$。
（2）在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的$x＞0$分支上任取两点$A(x_1,\dfrac{3}{x_1})$、$B(x_2,\dfrac{3}{x_2})$，设$0＜x_1＜x_2$，
计算函数值的差：$\dfrac{3}{x_1}-\dfrac{3}{x_2}=\dfrac{3x_2-3x_1}{x_1x_2}$，
$\because 0＜x_1＜x_2$，$\therefore x_1x_2＞0$，$3x_2-3x_1=3(x_2-x_1)＞0$，
$\therefore \dfrac{3x_2-3x_1}{x_1x_2}＞0$，即$\dfrac{3}{x_1}-\dfrac{3}{x_2}＞0$，可得$y_1＞y_2$，即可证明增减性结论。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(-x,-\dfrac{3}{x})}$；$\boldsymbol{-\dfrac{3}{x}=\dfrac{3}{-x}}$
（2）证明：在$y=\dfrac{3}{x}$上任取两点$A(x_1,\dfrac{3}{x_1}),B(x_2,\dfrac{3}{x_2})(0＜x_1＜x_2)$，$\because \dfrac{3}{x_1}-\dfrac{3}{x_2}=\dfrac{3x_2-3x_1}{x_1x_2},x_1x_2＞0,3x_2-3x_1＞0,\therefore \dfrac{3}{x_1}-\dfrac{3}{x_2}＞0,\therefore$ 当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小
【知识点】
反比例函数的性质；关于原点对称的点的坐标特征；作差法比较大小
【点评】
本题从推理角度出发考查反比例函数的核心性质，避免了对性质的机械记忆，能够帮助理解性质的推导逻辑，有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证明反比例函数图象是中心对称图形，首先回忆关于原点对称的点的坐标特征：两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数，据此可写出点A关于原点对称的点B的坐标；再验证点B的坐标满足反比例函数解析式，即可说明点B在函数图象上。
（2）要证明反比例函数在$x＞0$时$y$随$x$的增大而减小，需使用函数增减性的常规证明方法：在指定区间内任取两个自变量$x_1$、$x_2$，设$x_1＜x_2$，通过作差法比较对应的函数值$y_1$、$y_2$的大小，若$y_1＞y_2$则可说明$y$随$x$的增大而减小。
【解析】
（1）根据关于原点对称的点的坐标特征，点$A(x,\dfrac{3}{x})$关于原点对称的点$B$的坐标为$(-x,-\dfrac{3}{x})$；
将点$B$的横坐标$-x$代入反比例函数解析式，得$y=\dfrac{3}{-x}=-\dfrac{3}{x}$，与点$B$的纵坐标相等，因此第二个空填$-\dfrac{3}{x}=\dfrac{3}{-x}$。
（2）在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的$x＞0$分支上任取两点$A(x_1,\dfrac{3}{x_1})$、$B(x_2,\dfrac{3}{x_2})$，设$0＜x_1＜x_2$，
计算函数值的差：$\dfrac{3}{x_1}-\dfrac{3}{x_2}=\dfrac{3x_2-3x_1}{x_1x_2}$，
$\because 0＜x_1＜x_2$，$\therefore x_1x_2＞0$，$3x_2-3x_1=3(x_2-x_1)＞0$，
$\therefore \dfrac{3x_2-3x_1}{x_1x_2}＞0$，即$\dfrac{3}{x_1}-\dfrac{3}{x_2}＞0$，可得$y_1＞y_2$，即可证明增减性结论。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(-x,-\dfrac{3}{x})}$；$\boldsymbol{-\dfrac{3}{x}=\dfrac{3}{-x}}$
（2）证明：在$y=\dfrac{3}{x}$上任取两点$A(x_1,\dfrac{3}{x_1}),B(x_2,\dfrac{3}{x_2})(0＜x_1＜x_2)$，$\because \dfrac{3}{x_1}-\dfrac{3}{x_2}=\dfrac{3x_2-3x_1}{x_1x_2},x_1x_2＞0,3x_2-3x_1＞0,\therefore \dfrac{3}{x_1}-\dfrac{3}{x_2}＞0,\therefore$ 当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小
【知识点】
反比例函数的性质；关于原点对称的点的坐标特征；作差法比较大小
【点评】
本题从推理角度出发考查反比例函数的核心性质，避免了对性质的机械记忆，能够帮助理解性质的推导逻辑，有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
