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8. 一个圆柱的底面半径是5 cm，高是14 cm，把这个圆柱放在水平桌面上，如图1-2-24。
图1-2-24
(1)如果用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得截面的形状是
(2)如果用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得截面的形状是
(3)请你求出在(2)的条件下所截得截面的最大面积。
图1-2-24
(1)如果用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得截面的形状是
圆
；(2)如果用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得截面的形状是
长方形
；(3)请你求出在(2)的条件下所截得截面的最大面积。
答案
8. 解:(1)圆 (2)长方形 (3)140 cm²。
解析
【分析】
(1) 水平方向截圆柱时，截面与圆柱的上下底面平行，圆柱的底面是圆形，因此截面形状与底面一致；
(2) 竖直方向截圆柱时，截面与底面垂直，截得的图形两组对边分别平行且有一个角是直角，符合长方形的特征；
(3) 要使竖直截得的截面面积最大，长方形的一边固定为圆柱的高，另一边需取底面最长的弦，也就是底面的直径，再根据长方形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 水平方向的截面平行于圆柱底面，圆柱底面为圆形，因此所得截面是圆；
(2) 竖直方向的截面垂直于圆柱底面，截得的图形对边平行且四个角为直角，因此所得截面是长方形；
(3) 当竖直截面过底面圆心时，截面的长最大，为圆柱底面的直径：
底面直径 $d=2r=2×5=10\ \mathrm{cm}$
截面的宽等于圆柱的高 $14\ \mathrm{cm}$，根据长方形面积公式 $S=长×宽$：
最大面积 $S=10×14=140\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) 圆；(2) 长方形；(3) $140\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 圆柱的截面特征
2. 长方形面积计算
3. 圆的直径与半径关系
【点评】
本题重点考查空间想象能力和基础几何计算能力，解题的关键是明确不同截法下截面的形状，计算最大截面面积时要理解底面最长弦为直径的特点，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
(1) 水平方向截圆柱时，截面与圆柱的上下底面平行，圆柱的底面是圆形，因此截面形状与底面一致；
(2) 竖直方向截圆柱时，截面与底面垂直，截得的图形两组对边分别平行且有一个角是直角，符合长方形的特征；
(3) 要使竖直截得的截面面积最大，长方形的一边固定为圆柱的高，另一边需取底面最长的弦，也就是底面的直径，再根据长方形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 水平方向的截面平行于圆柱底面，圆柱底面为圆形，因此所得截面是圆；
(2) 竖直方向的截面垂直于圆柱底面，截得的图形对边平行且四个角为直角，因此所得截面是长方形；
(3) 当竖直截面过底面圆心时，截面的长最大，为圆柱底面的直径：
底面直径 $d=2r=2×5=10\ \mathrm{cm}$
截面的宽等于圆柱的高 $14\ \mathrm{cm}$，根据长方形面积公式 $S=长×宽$：
最大面积 $S=10×14=140\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) 圆；(2) 长方形；(3) $140\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 圆柱的截面特征
2. 长方形面积计算
3. 圆的直径与半径关系
【点评】
本题重点考查空间想象能力和基础几何计算能力，解题的关键是明确不同截法下截面的形状，计算最大截面面积时要理解底面最长弦为直径的特点，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
9. 如图1-2-25①，一个五棱柱，它的底面边长都是4 cm，侧棱长都是6 cm。
图1-2-25
(1)这个五棱柱共有多少个面？哪些面的形状、面积完全相同？
(2)如图1-2-25②③，用一个平面去截该五棱柱，分别写出图1-2-25②③中截面的形状。用任意一个平面去截五棱柱，写出一个你认为截面不可能出现的平面图形。
图1-2-25
(1)这个五棱柱共有多少个面？哪些面的形状、面积完全相同？
(2)如图1-2-25②③，用一个平面去截该五棱柱，分别写出图1-2-25②③中截面的形状。用任意一个平面去截五棱柱，写出一个你认为截面不可能出现的平面图形。
答案
9. 解:(1)这个五棱柱共有7个面,包括2个五边形底面和5个长方形侧面,其中2个五边形底面形状、面积完全相同,5个长方形侧面形状、面积完全相同。
(2)题图1-2-25②中截面的形状为三角形,题图1-2-25③中截面的形状为五边形。用任意一个平面去截五棱柱,不可能出现圆形截面(答案不唯一)。
(2)题图1-2-25②中截面的形状为三角形,题图1-2-25③中截面的形状为五边形。用任意一个平面去截五棱柱,不可能出现圆形截面(答案不唯一)。
解析
【分析】
(1) 求解面数及相同面的问题，可先依据棱柱的结构规律：n棱柱包含2个底面、n个侧面，总面数为n+2，结合五棱柱n=5算出总面数；再根据题目给出的底面边长、侧棱长都相等的条件，判断相同的面即可。
(2) 判断截面形状的核心是：平面与几何体相交时，和几个面相交就会得到几条边的截面，据此分析两个图的截面；再结合五棱柱的面均由直线段围成的特点，判断不可能出现的截面即可。
【解析】
(1) 五棱柱的面由底面和侧面组成，底面共2个，侧面共5个，总面数：2+5=7个。
其中2个五边形底面边长全部相等，二者形状、面积完全相同；5个长方形侧面的长均为底面边长4cm，宽均为侧棱长6cm，它们的形状、面积完全相同。
(2) 观察图②：平面与五棱柱的3个面相交，得到3条交线，因此截面为三角形；
观察图③：平面与五棱柱的5个面相交，得到5条交线，因此截面为五边形；
五棱柱的所有面都是由直线段围成的平面，平面截该几何体时交线只能是直线段，不可能出现曲线，因此不可能出现圆形截面（答案不唯一）。
【答案】
(1)这个五棱柱共有7个面,包括2个五边形底面和5个长方形侧面,其中2个五边形底面形状、面积完全相同,5个长方形侧面形状、面积完全相同。
(2)题图1-2-25②中截面的形状为三角形,题图1-2-25③中截面的形状为五边形。用任意一个平面去截五棱柱,不可能出现圆形截面(答案不唯一)。
【知识点】
棱柱的特征，截面形状判断
【点评】
本题围绕棱柱的基础性质设题，考查对立体图形结构的认知和空间想象能力，解题关键是掌握棱柱的构成特点及截面形状的判断方法，属于基础题。
【难度系数】
0.8
(1) 求解面数及相同面的问题，可先依据棱柱的结构规律：n棱柱包含2个底面、n个侧面，总面数为n+2，结合五棱柱n=5算出总面数；再根据题目给出的底面边长、侧棱长都相等的条件，判断相同的面即可。
(2) 判断截面形状的核心是：平面与几何体相交时，和几个面相交就会得到几条边的截面，据此分析两个图的截面；再结合五棱柱的面均由直线段围成的特点，判断不可能出现的截面即可。
【解析】
(1) 五棱柱的面由底面和侧面组成，底面共2个，侧面共5个，总面数：2+5=7个。
其中2个五边形底面边长全部相等，二者形状、面积完全相同；5个长方形侧面的长均为底面边长4cm，宽均为侧棱长6cm，它们的形状、面积完全相同。
(2) 观察图②：平面与五棱柱的3个面相交，得到3条交线，因此截面为三角形；
观察图③：平面与五棱柱的5个面相交，得到5条交线，因此截面为五边形；
五棱柱的所有面都是由直线段围成的平面，平面截该几何体时交线只能是直线段，不可能出现曲线，因此不可能出现圆形截面（答案不唯一）。
【答案】
(1)这个五棱柱共有7个面,包括2个五边形底面和5个长方形侧面,其中2个五边形底面形状、面积完全相同,5个长方形侧面形状、面积完全相同。
(2)题图1-2-25②中截面的形状为三角形,题图1-2-25③中截面的形状为五边形。用任意一个平面去截五棱柱,不可能出现圆形截面(答案不唯一)。
【知识点】
棱柱的特征，截面形状判断
【点评】
本题围绕棱柱的基础性质设题，考查对立体图形结构的认知和空间想象能力，解题关键是掌握棱柱的构成特点及截面形状的判断方法，属于基础题。
【难度系数】
0.8
二、拓展性作业
10. 用一个平面去截一个几何体，所截出的面的形状如图1-2-26①②③④所示，共有四种形状，试猜想，该几何体可能是 。
10. 用一个平面去截一个几何体，所截出的面的形状如图1-2-26①②③④所示，共有四种形状，试猜想，该几何体可能是 。
答案
10. 圆柱
解析
【分析】
解题时可先回忆常见几何体的截面可能的形状，再逐一匹配题干给出的四种截面：首先判断哪种几何体可以同时截出圆、长方形、椭圆以及一侧为圆弧一侧为直线的图形。我们可以依次验证每个截面的截法是否能在同一个几何体上实现，最终确定符合条件的几何体。
【解析】
我们结合圆柱的特征分析不同截法对应的截面：
1. 用平面平行于圆柱的底面截取，得到的截面是圆形，对应图④；
2. 用平面垂直于圆柱的底面，且同时经过圆柱的上下两个底面截取，得到的截面是长方形，对应图③；
3. 用平面倾斜截取圆柱，且平面不与圆柱的上下底面相交，得到的截面是椭圆，对应图②；
4. 用平面倾斜截取圆柱，且平面仅经过圆柱的一个底面，得到的截面为图①的形状。
四种截面都可通过截取圆柱得到，因此该几何体为圆柱。
【答案】
圆柱
【知识点】
几何体的截面；圆柱的特征
【点评】
本题考查对常见几何体截面形状的理解，需要结合不同的截取角度推导对应几何体，能够锻炼空间想象能力。
【难度系数】
0.7
解题时可先回忆常见几何体的截面可能的形状，再逐一匹配题干给出的四种截面：首先判断哪种几何体可以同时截出圆、长方形、椭圆以及一侧为圆弧一侧为直线的图形。我们可以依次验证每个截面的截法是否能在同一个几何体上实现，最终确定符合条件的几何体。
【解析】
我们结合圆柱的特征分析不同截法对应的截面：
1. 用平面平行于圆柱的底面截取，得到的截面是圆形，对应图④；
2. 用平面垂直于圆柱的底面，且同时经过圆柱的上下两个底面截取，得到的截面是长方形，对应图③；
3. 用平面倾斜截取圆柱，且平面不与圆柱的上下底面相交，得到的截面是椭圆，对应图②；
4. 用平面倾斜截取圆柱，且平面仅经过圆柱的一个底面，得到的截面为图①的形状。
四种截面都可通过截取圆柱得到，因此该几何体为圆柱。
【答案】
圆柱
【知识点】
几何体的截面；圆柱的特征
【点评】
本题考查对常见几何体截面形状的理解，需要结合不同的截取角度推导对应几何体，能够锻炼空间想象能力。
【难度系数】
0.7
11. 如图1-2-27，用一个平面去截正方体，截掉了正方体的一个角，且截面经过原正方体三条棱的中点，则剩下几何体的表面展开图应该是(
B
)。答案
11.B
解析
【分析】
解题时首先要明确截去正方体一个角后的几何体特征：原正方体有3个相邻的面各被截去一个小直角三角形，同时新增1个正三角形的截面。判断展开图的核心是：折叠后新增的三角形截面的三条边，必须刚好和3个带斜边缺口的正方形的缺口边完全重合。我们可以逐一分析选项，通过想象折叠后的效果，排除不符合拼接要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
用平面截去正方体的一个角（截面过三条棱中点）后，剩余几何体有3个相邻的正方形面各缺一个直角小角，同时多1个正三角形的截面。展开图折叠后，该三角形截面的三条边需分别与3个带缺口的正方形的斜边完全匹配：
选项A：三角形的拼接位置错误，折叠后无法与3个缺口对应，排除；
选项B：折叠后三角形的三条边刚好和3个带缺口正方形的斜边重合，符合剩余几何体的特征；
选项C：三角形的边与正方形缺口不匹配，折叠后无法对应，排除；
选项D：三角形位置错误，折叠后不能形成截角后的几何体，排除。
【答案】
B
【知识点】
正方体的截面；立体图形展开图
【点评】
本题考查空间想象能力，解题时可先明确截后几何体的面的特征，再通过想象展开图折叠后的匹配情况判断，也可通过动手模拟折叠降低解题难度。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确截去正方体一个角后的几何体特征：原正方体有3个相邻的面各被截去一个小直角三角形，同时新增1个正三角形的截面。判断展开图的核心是：折叠后新增的三角形截面的三条边，必须刚好和3个带斜边缺口的正方形的缺口边完全重合。我们可以逐一分析选项，通过想象折叠后的效果，排除不符合拼接要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
用平面截去正方体的一个角（截面过三条棱中点）后，剩余几何体有3个相邻的正方形面各缺一个直角小角，同时多1个正三角形的截面。展开图折叠后，该三角形截面的三条边需分别与3个带缺口的正方形的斜边完全匹配：
选项A：三角形的拼接位置错误，折叠后无法与3个缺口对应，排除；
选项B：折叠后三角形的三条边刚好和3个带缺口正方形的斜边重合，符合剩余几何体的特征；
选项C：三角形的边与正方形缺口不匹配，折叠后无法对应，排除；
选项D：三角形位置错误，折叠后不能形成截角后的几何体，排除。
【答案】
B
【知识点】
正方体的截面；立体图形展开图
【点评】
本题考查空间想象能力，解题时可先明确截后几何体的面的特征，再通过想象展开图折叠后的匹配情况判断，也可通过动手模拟折叠降低解题难度。
【难度系数】
0.6
