8 计算$|1-\sqrt{5}| + |3-\sqrt{5}| - |3.14 - π|$的结果是（）

A.$0.86 - 2\sqrt{5} + π$
B.$5.14 - π$
C.$2\sqrt{5} -7.14 + π$
D.$-1.14 + π$

B

【分析】
解决含绝对值的实数运算问题，核心思路是先利用绝对值的性质去绝对值符号：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。首先我们需要结合常见无理数的近似大小（$\sqrt{5}\approx2.236$，$π\approx3.14159$），判断每个绝对值内算式的正负性，再去绝对值，最后合并同类项计算出结果即可。
【解析】
第一步：判断各绝对值内式子的正负
$\because \sqrt{5}\approx2.236$，$\therefore 1-\sqrt{5}＜0$，$3-\sqrt{5}＞0$
$\because π\approx3.14159$，$\therefore 3.14-π＜0$
第二步：根据绝对值的性质去绝对值符号
$|1-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-1$，$|3-\sqrt{5}|=3-\sqrt{5}$，$|3.14-π|=π-3.14$
第三步：代入原式计算
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{5}-1)+(3-\sqrt{5})-(π-3.14)\\&=\sqrt{5}-1+3-\sqrt{5}-π+3.14\\&=(\sqrt{5}-\sqrt{5})+(-1+3+3.14)-π\\&=5.14-π\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
绝对值的性质；实数大小比较；实数的运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查绝对值的化简和实数的加减运算，只要掌握绝对值的性质，记住常见无理数的近似大小，就能顺利化简计算，不易出错。
【难度系数】
0.8

9 借助计算器判断，下列实数中，最小的正数是（）

A.$10 - 3\sqrt{11}$
B.$3\sqrt{11} - 10$
C.$51 - 10\sqrt{26}$
D.$18 - 5\sqrt{13}$

C

【分析】
要找到最小的正数，首先利用“正数大于所有负数”的性质排除负数选项，再对剩余的正数分别计算近似值，比较大小后即可确定最小的正数。解题步骤：①先用计算器估算出各算术平方根的近似值；②逐个计算四个选项的结果，筛选出其中的正数；③比较正数的大小，最小的即为所求。
【解析】
借助计算器可得各算术平方根的近似值：$\sqrt{11}\approx3.3166$，$\sqrt{13}\approx3.6056$，$\sqrt{26}\approx5.0990$。
逐个计算各选项的值：
A. $10 - 3\sqrt{11}\approx10 - 3×3.3166=10 - 9.9498=0.0502$，是正数；
B. $3\sqrt{11} - 10\approx9.9498 - 10=-0.0502$，是负数，排除；
C. $51 - 10\sqrt{26}\approx51 - 10×5.0990=51 - 50.990=0.010$，是正数；
D. $18 - 5\sqrt{13}\approx18 - 5×3.6056=18 - 18.028=-0.028$，是负数，排除。
比较剩余正数的大小：$0.010＜0.0502$，因此最小的正数是C选项对应的数。
【答案】
C
【知识点】
实数运算，实数大小比较，无理数估算
【点评】
本题考查借助计算器完成实数的运算与大小判断，解题时先通过正负性筛选选项可有效减少计算量，计算近似值时注意保留足够的小数位数，避免因精度不足导致判断错误。
【难度系数】
0.7

10 数轴上点A表示的数为1，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等.已知点B到原点的距离为$\sqrt{2}$，则点C表示的数是.

$2-\sqrt{2}$或$2+\sqrt{2}$ 解析:因为点B到原点的距离为$\sqrt{2}$,所以点B表示的数是$\pm\sqrt{2}$.当点B在点A的右侧时,因为点A表示的数为1,所以点B表示的数为$\sqrt{2}$.所以$AB=\sqrt{2}-1$.因为点B,C到点A的距离相等,所以$AC=AB=\sqrt{2}-1$.所以当点B表示的数是$\sqrt{2}$时,点C表示的数是$1-(\sqrt{2}-1)=1-\sqrt{2}+1=2-\sqrt{2}$.当点B在点A的左侧时,因为点A表示的数为1,所以点B表示的数是$-\sqrt{2}$.所以$AB=1-(-\sqrt{2})=1+\sqrt{2}$.所以$AC=AB=1+\sqrt{2}$.所以点C表示的数是$1+(1+\sqrt{2})=1+1+\sqrt{2}=2+\sqrt{2}$.综上所述,点C表示的数为$2-\sqrt{2}$或$2+\sqrt{2}$.

【分析】
解题时首先根据“数轴上点到原点的距离等于该点所表示数的绝对值”确定点B的所有可能取值；再结合点B、C位于点A两侧且到A距离相等的条件，分点B在点A左侧、点B在点A右侧两种情况分别计算，利用两点间距离公式求出点C对应的数即可，注意不要漏解。
【解析】
∵ 点B到原点的距离为$\sqrt{2}$，
∴ 点B表示的数为$\sqrt{2}$或$-\sqrt{2}$。
① 当点B在点A的右侧时：
此时点B表示的数为$\sqrt{2}$，已知点A表示的数为1，
则AB的距离为$\sqrt{2}-1$，
∵ 点B、C到点A的距离相等且位于A两侧，
∴ 点C在点A的左侧，AC的距离也为$\sqrt{2}-1$，
∴ 点C表示的数为$1-(\sqrt{2}-1)=2-\sqrt{2}$。
② 当点B在点A的左侧时：
此时点B表示的数为$-\sqrt{2}$，已知点A表示的数为1，
则AB的距离为$1-(-\sqrt{2})=1+\sqrt{2}$，
∵ 点B、C到点A的距离相等且位于A两侧，
∴ 点C在点A的右侧，AC的距离也为$1+\sqrt{2}$，
∴ 点C表示的数为$1+(1+\sqrt{2})=2+\sqrt{2}$。
综上，点C表示的数为$2-\sqrt{2}$或$2+\sqrt{2}$。
【答案】
$2-\sqrt{2}$或$2+\sqrt{2}$
【知识点】
1. 数轴的概念
2. 数轴两点间距离计算
3. 实数加减运算
【点评】
本题重点考查数轴上点的位置与距离的关系，解题的关键是掌握分类讨论的思想，考虑到点B的两种可能位置，避免因漏考虑情况导致少解，同时要结合两点的位置关系正确计算对应点表示的数。
【难度系数】
0.6

11 教材P94作业题T5变式 用计算器计算：$5 - 2×(\sqrt{3} - 2) - 3×(\sqrt{2} + 1)$（精确到0.01）。

-1.71

【分析】
解这道题首先要遵循实数的运算顺序：先算乘除，后算加减，有括号先处理括号部分。第一步先用乘法分配律去掉括号，注意括号前是负号时，括号内各项要变号；第二步合并算式中的常数项；第三步代入常用无理数√3≈1.732、√2≈1.414的近似值（计算时可比要求的精确度多保留1位，避免误差）；最后按运算规则计算后将结果精确到0.01即可。
【解析】
解：先去括号，再合并常数项：
原式=5 - 2√3 + 4 - 3√2 - 3
= (5+4-3) - 2√3 - 3√2
= 6 - 2√3 - 3√2
代入√3≈1.732，√2≈1.414计算：
2√3≈2×1.732=3.464，3√2≈3×1.414=4.242
原式≈6 - 3.464 - 4.242 = -1.706
精确到0.01，四舍五入得-1.71
【答案】
-1.71
【知识点】
实数的混合运算、无理数近似计算、近似数取值
【点评】
本题核心考查实数运算规则与近似计算能力，运算时需注意去括号的符号变化，代入无理数近似值时可多保留一位小数运算，能有效减少最终结果的误差，最后按要求的精确度对结果四舍五入即可。
【难度系数】
0.7

12 跳伞运动员跳离飞机，在未打开降落伞前，下降的高度$d(\mathrm{m})$与下降的时间$t(\mathrm{s})$之间的关系式为$t=\sqrt{\frac{d}{5}}$（不计空气阻力，结果精确到0.01 s）。
（1）请完成下表：

（2）如果共下降1000 m，那么前一个500 m与后一个500 m所用的时间，哪个多？请说明理由。

(1) 填表如下：
| 下降高度 $d/\mathrm{m}$ | 100 | 200 | 300 | 400 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 下降时间 $t/\mathrm{s}$ | 4.47 | 6.32 | 7.75 | 8.94 |
(2) 前500 m所用的时间多 理由:前500 m用的时间为$\sqrt{\dfrac{500}{5}}=10(\mathrm{s})$;下降1000 m用的时间为$\sqrt{\dfrac{1000}{5}}≈14.14(\mathrm{s})$,所以后500 m用的时间为$14.14-10=4.14(\mathrm{s})$.因为$4.14＜10$,所以前500 m所用的时间比后500 m所用的时间多.

【分析】
（1）要完成表格，只需将表格中对应的下降高度$d$的值代入关系式$t=\sqrt{\frac{d}{5}}$，计算出算术平方根的近似值，结果保留两位小数即可。
（2）要比较前500m和后500m的用时，先代入公式计算下降500m的时间，再计算下降1000m的总时间，用总时间减去前500m的时间得到后500m的用时，最后比较两个时间的大小就能得出结论。
【解析】
（1）将$d$的值分别代入$t=\sqrt{\frac{d}{5}}$计算：
当$d=100$时，$t=\sqrt{\frac{100}{5}}=\sqrt{20}\approx4.47$；
当$d=200$时，$t=\sqrt{\frac{200}{5}}=\sqrt{40}\approx6.32$；
当$d=300$时，$t=\sqrt{\frac{300}{5}}=\sqrt{60}\approx7.75$；
当$d=400$时，$t=\sqrt{\frac{400}{5}}=\sqrt{80}\approx8.94$。
（2）前500m所用的时间多，理由如下：
下降前500m的时间：$t_1=\sqrt{\frac{500}{5}}=\sqrt{100}=10(\mathrm{s})$；
下降1000m的总时间：$t_{\mathrm{总}}=\sqrt{\frac{1000}{5}}=\sqrt{200}\approx14.14(\mathrm{s})$；
则后500m所用的时间：$t_2=t_{\mathrm{总}}-t_1\approx14.14-10=4.14(\mathrm{s})$。
因为$10＞4.14$，所以前500m所用的时间更多。
【答案】
(1) 表格对应下降时间依次为：$\boxed{4.47}$、$\boxed{6.32}$、$\boxed{7.75}$、$\boxed{8.94}$；
(2) 前500m所用的时间多，理由：前500m用时为10s，后500m用时约为4.14s，$10＞4.14$，因此前500m用时更多。
【知识点】
算术平方根计算、代数式求值、实数大小比较
【点评】
本题结合跳伞的实际场景考查算术平方根的应用，解题核心是准确代入给定公式计算，需注意结果的精确度要求；第二问计算后段路程用时要通过总时间减前段用时得到，避免直接代入500m计算的错误。
【难度系数】
0.7

13 [2026金华期中]对于任意实数$a,b$,定义一种新运算$\oplus$:$a\oplus b=(a+1)^2+(b+1)^2$,例如:$1\oplus 2=(1+1)^2+(2+1)^2=13$.
(1)$(-2)\oplus 3=$.
(2)求$2\oplus [(-1)\oplus (-3)]$的平方根.
(3)我们知道,实数的加法运算和乘法运算都满足交换律,试问实数$a,b$的这种新运算$\oplus$是否也满足交换律?请说明理由.

(1) 17
(2) 原式$=2\oplus[(-1+1)^2+(-3+1)^2]=2\oplus4=(2+1)^2+(4+1)^2=9+25=34$,则34的平方根是$\pm\sqrt{34}$
(3) 满足交换律 理由:因为$a\oplus b=(a+1)^2+(b+1)^2$,$b\oplus a=(b+1)^2+(a+1)^2=(a+1)^2+(b+1)^2$,所以$a\oplus b=b\oplus a$.所以实数$a,b$的这种新运算$\oplus$满足交换律.

【分析】
本题是新定义运算类题目，解题核心是准确理解新运算$\oplus$的规则：$a\oplus b$等于$a$加1的平方与$b$加1的平方之和。解题思路如下：(1)直接将$a=-2$，$b=3$代入新运算公式计算即可；(2)嵌套运算需遵循先算括号内的顺序，先计算$(-1)\oplus (-3)$的结果，再将该结果作为新运算的一个元素，计算2与它的$\oplus$运算结果，最后求这个结果的平方根，注意正数的平方根有两个，互为相反数；(3)验证交换律只需将$a$和$b$交换位置，分别写出$a\oplus b$和$b\oplus a$的表达式，对比两个表达式是否相等即可判断。
【解析】
(1) 根据新运算规则，代入$a=-2$，$b=3$：
$(-2)\oplus 3=(-2+1)^2+(3+1)^2=(-1)^2+4^2=1+16=17$
(2) 先计算括号内的$(-1)\oplus (-3)$：
$(-1)\oplus (-3)=(-1+1)^2+(-3+1)^2=0^2+(-2)^2=0+4=4$
再计算$2\oplus 4$：
$2\oplus 4=(2+1)^2+(4+1)^2=3^2+5^2=9+25=34$
正数的平方根有两个，因此34的平方根为$\pm\sqrt{34}$。
(3) 该新运算满足交换律，理由如下：
根据新运算规则，$a\oplus b=(a+1)^2+(b+1)^2$
将$a$、$b$交换位置得：$b\oplus a=(b+1)^2+(a+1)^2$
由加法交换律可知，$(a+1)^2+(b+1)^2=(b+1)^2+(a+1)^2$，即$a\oplus b=b\oplus a$，因此该运算满足交换律。
【答案】
(1) $\boxed{17}$
(2) $\boxed{\pm\sqrt{34}}$
(3) 满足交换律，理由见解析
【知识点】
新定义运算、实数运算、平方根
【点评】
本题以新定义运算为载体，综合考查了对新规则的应用能力、实数的混合运算能力以及对运算律的理解，解题时只要紧扣新运算规则，按运算顺序逐步计算即可，注重基础能力的考查。
【难度系数】
0.8

14 解决以下问题：
（1）利用计算器计算（精确到0.01）：
① $\sqrt{2} × \sqrt{3}$与$\sqrt{2 × 3}$；
② $\sqrt{\frac{5}{3}} × \sqrt{7}$与$\sqrt{\frac{5}{3} × 7}$。
（2）已知$a ≥ 0, b ≥ 0$，观察（1）中的计算结果，由此你能得出$\sqrt{a} × \sqrt{b}$与$\sqrt{a × b}$之间的关系吗？写出你发现的规律，并利用你发现的规律计算：
① $\sqrt{2} × \sqrt{8}$；
② $\sqrt{5} × \sqrt{\frac{49}{5}}$。

(1) ① $\sqrt{2} × \sqrt{3} ≈ 2.45$，$\sqrt{2×3} ≈ 2.45$ ② $\sqrt{\dfrac{5}{3}} × \sqrt{7} ≈ 3.42$，$\sqrt{\dfrac{5}{3}×7} ≈ 3.42$
(2) 能 $\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{a×b} \ (a≥0,b≥0)$
① $\sqrt{2} × \sqrt{8} = \sqrt{2×8} = \sqrt{16} = 4$
② $\sqrt{5} × \sqrt{\dfrac{49}{5}} = \sqrt{5×\dfrac{49}{5}} = \sqrt{49} = 7$

【分析】
本题分为两个部分，第一部分需要借助计算器分别计算两组式子的近似值，对比结果判断大小关系；第二部分需要从（1）的特殊运算结果中归纳出二次根式乘法的一般规律，再运用该规律简化计算后续式子，无需进行近似计算，直接化简开方即可。解题时先按要求完成近似计算，再通过观察对比总结规律，最后应用规律完成运算。
【解析】
（1）① 计算$\sqrt{2}×\sqrt{3}$：$\sqrt{2}≈1.414$，$\sqrt{3}≈1.732$，因此$\sqrt{2}×\sqrt{3}≈1.414×1.732≈2.45$；
再计算$\sqrt{2×3}=\sqrt{6}≈2.45$。
② 计算$\sqrt{\frac{5}{3}}×\sqrt{7}$：$\sqrt{\frac{5}{3}}≈1.291$，$\sqrt{7}≈2.646$，因此$\sqrt{\frac{5}{3}}×\sqrt{7}≈1.291×2.646≈3.42$；
再计算$\sqrt{\frac{5}{3}×7}=\sqrt{\frac{35}{3}}≈\sqrt{11.6667}≈3.42$。
（2）观察（1）的计算结果，两组式子的计算结果均相等，可得出规律：当$a≥0,b≥0$时，$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{a×b}$。
① 运用规律计算：$\sqrt{2}×\sqrt{8}=\sqrt{2×8}=\sqrt{16}=4$；
② 运用规律计算：$\sqrt{5}×\sqrt{\frac{49}{5}}=\sqrt{5×\frac{49}{5}}=\sqrt{49}=7$。
【答案】
(1) ① $\sqrt{2} × \sqrt{3} ≈ 2.45$，$\sqrt{2×3} ≈ 2.45$ ② $\sqrt{\dfrac{5}{3}} × \sqrt{7} ≈ 3.42$，$\sqrt{\dfrac{5}{3}×7} ≈ 3.42$
(2) 能 $\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{a×b} \ (a≥0,b≥0)$
① $\sqrt{2} × \sqrt{8} = \sqrt{2×8} = \sqrt{16} = 4$
② $\sqrt{5} × \sqrt{\dfrac{49}{5}} = \sqrt{5×\dfrac{49}{5}} = \sqrt{49} = 7$
【知识点】
二次根式乘法运算、实数近似计算、规律探究
【点评】
本题通过特殊运算推导一般规律，再将规律应用到运算中，既考查了学生的动手计算能力，也锻炼了归纳总结与知识应用能力，掌握二次根式乘法法则能大幅简化相关运算，是实数运算的重要基础。
【难度系数】
0.85