9.“任意一个个位数字是5的自然数，平方后的末两位数（即十位数字和个位数字组成的两位数）一定是25”.这一结论可用下面的方法进行证明.
解:设个位数字是5的自然数为$10a+5$($a$为自然数),则$(10a+5)^2=100a^2+100a+25=100(a^2+a)+25$.
这说明平方后的末两位数一定是25.
请你探索下面的问题:“任意一个末两位数是25的自然数，平方后的末三位数（即依次由百位、十位和个位数字组成的三位数）一定是多少？”并给出证明.

解:平方后的末三位数一定是625.
证明:设末尾数字是25的自然数为$100a+25$($a$为自然数),则$(100a+25)^2=10000a^2+5000a+625=1000(10a^2+5a)+625.$这说明平方后的末三位数一定是625.

10.【数形结合】两个边长分别为a和b的正方形(a＞b)如图放置(图①②③)，若图①，②，③中阴影部分的面积分别记为S₁，S₂，S₃.

(1)用含a,b的式子分别表示S₁，S₂，S₃；
(2)若S₁＝1，S₃＝3，求S₂的值；
(3)若对于任意的正数a,b，都有S₁＋mS₃＝kS₂(m,k为常数)，求m,k的值.

(1)解:$S_1=(a-b)^2;S_2=(a^2+b^2)-[\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}(a+b)b]=\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^2;S_3=\frac{1}{2}ab.$
(2)当$S_1=1,S_3=3$时,$\begin{cases}(a-b)^2=1,\\\frac{1}{2}ab=3,\end{cases}$ 解得$ab=6,a^2+b^2=13. \therefore \frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2=\frac{13}{2},\frac{1}{2}ab=3,\therefore S_2=\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}ab=\frac{13}{2}-3=\frac{7}{2}.$
(3)
∵对于任意的正数$a,b$,都有$S_1 + mS_3 = kS_2$($m,k$为常数),$\therefore (a-b)^2 + m(\frac{1}{2}ab) = k(\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^2)$,整理得$2(a^2+b^2)+ab(m-4)=(a^2+b^2)k + ab(-k). \because m,k$为常数,
∴由待定系数法得$k=2,m-4=-k$,解得$m=2,k=2.$