8.若$M=(x-2)(x-5),N=(x-3)(x-4),$
则$M$与$N$的大小关系为（）

A.$M＞N$
B.$M=N$
C.$M＜N$
D.由$x$的取值而定

8.C

【分析】
要比较两个多项式M和N的大小，通常采用作差法：先计算M-N的值，再判断差值与0的大小关系即可。若差值＞0，则M＞N；若差值=0，则M=N；若差值＜0，则M＜N。接下来只需要分别展开M、N的表达式，再计算差值化简就能判断结果。
【解析】
首先利用多项式乘多项式法则展开两个式子：
$M=(x-2)(x-5)=x^2 - 5x - 2x + 10 = x^2 -7x +10$
$N=(x-3)(x-4)=x^2 -4x -3x +12 = x^2 -7x +12$
再计算M-N的差值：
$M-N=(x^2 -7x +10) - (x^2 -7x +12)$
去括号合并同类项得：$M-N=x^2 -7x +10 -x^2 +7x -12 = -2$
因为$-2＜0$，所以$M-N＜0$，即$M＜N$。
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式；作差法比较大小；整式的加减
【点评】
本题考查整式运算与代数式大小比较的方法，作差法是比较代数式大小的常用基础方法，解题的关键是熟练掌握多项式乘法与整式加减的运算法则，计算时注意去括号的符号规则即可。
【难度系数】
0.8

9.如图,正方形卡片A类,B类和长方形卡片C类若干张,如果要拼一个长为$(2a+b)$,宽为$(2a+3b)$的大长方形,则需要C类卡片张数为（）


A.4
B.6
C.8
D.10

9.C

【分析】
解决本题的核心是抓住拼接前后总面积相等的原则：首先计算目标大长方形的面积，将其展开为多项式形式；再分别明确三类卡片的面积，大长方形面积展开式中对应各类卡片面积项的系数，就是需要该类卡片的张数，其中对应C类卡片面积的项是ab，找到ab项的系数即可得到C类卡片的数量。
【解析】
1. 计算长为$(2a+b)$、宽为$(2a+3b)$的大长方形的面积：
根据多项式乘多项式的运算法则展开：
$\begin{aligned}(2a+b)(2a+3b)&=2a·2a + 2a·3b + b·2a + b·3b\\&=4a^2 + 6ab + 2ab + 3b^2\\&=4a^2 + 8ab + 3b^2\end{aligned}$
2. 确定三类卡片的面积：
A类是边长为$a$的正方形，面积为$a^2$；
B类是边长为$b$的正方形，面积为$b^2$；
C类是长为$a$、宽为$b$的长方形，面积为$ab$。
3. 对应系数得卡片数量：
展开式中$ab$项的系数为8，因此需要C类卡片8张。
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式；整式的实际应用；合并同类项
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，通过总面积不变将图形问题转化为整式运算问题，既考查了多项式乘法的计算能力，也体现了数形结合的思想，计算时注意不要漏乘项，合并同类项要准确。
【难度系数】
0.7

10.已知$a^2 + a = 4$，则$a(2a + 1) - (a + 2)(a - 2)$的值是。

10.8

【分析】
这是一道代数式求值题，解题时优先采用整体代入思想，无需计算a的具体值。首先需要对所求代数式进行化简：第一步先分别计算单项式乘多项式、多项式乘多项式（可用平方差公式简化计算）；第二步去括号，注意括号前是减号时，去括号后括号内各项要变号；第三步合并同类项，观察化简后的式子，会发现其包含已知条件中的$a^2+a$整体，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
先对所求代数式进行化简：
$\begin{aligned}a(2a + 1) - (a + 2)(a - 2)&=2a^2 + a - (a^2 - 4)\\&=2a^2 + a - a^2 + 4\\&=a^2 + a + 4\end{aligned}$
已知$a^2 + a = 4$，将其代入化简后的式子：
原式$=4 + 4 = 8$
【答案】
8
【知识点】
整式的混合运算、平方差公式、整体代入求值
【点评】
本题核心考查整式乘法的运算法则和整体代入思想，解题关键是先化简再代入，能避免直接求解a值的繁琐计算，计算时要特别注意去括号的符号变化，防止因符号错误失分。
【难度系数】
0.8

11. 4个数$a,b,c,d$排列成$\begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix}$，我们称之为二阶行列式.规定它的运算法则为：$\begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix}=ad-bc$.若$\begin{vmatrix} x-2&x+3\\ x+1&x-2 \end{vmatrix}=13$，则$x=$ ______ .

11.$-\frac{3}{2}$

【分析】
解题时首先要准确理解题目给出的二阶行列式的运算法则，先将所求行列式按照规则转化为关于x的整式方程，再利用多项式乘多项式的法则展开计算，最后通过解一元一次方程求出x的值即可。
【解析】
根据二阶行列式的运算法则$\begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix}=ad-bc$，可得：
$\begin{aligned}(x-2)(x-2) - (x+3)(x+1) &= 13 \\(x^2 - 4x + 4) - (x^2 + 4x + 3) &= 13 \\x^2 -4x +4 -x^2 -4x -3 &= 13 \\-8x +1 &= 13 \\-8x &= 12 \\x &= -\frac{3}{2}\end{aligned}$
【答案】
$-\frac{3}{2}$
【知识点】
新定义运算、多项式乘多项式、解一元一次方程
【点评】
本题属于新定义类运算题，解题核心是将陌生的行列式运算转化为已学的整式运算，重点考查对多项式乘法计算规则的掌握和转化思想的应用，计算时要注意去括号的符号变化。
【难度系数】
0.7

12.已知$(x^3 + mx + n)(x^2 - 3x + 4)$展开后不含$x^2$项，并且$x^3$的系数为2，求$m,n$的值.

12. 解:原式$=x^5 -3x^4 +4x^3 +mx^3 -3mx^2 +4mx +nx^2 -3nx +4n$
$=x^5 -3x^4 +(4+m)x^3 +(n-3m)x^2 +(4m-3n)x +4n$.
$\because$将$(x^3 +mx +n)(x^2 -3x +4)$展开后不含$x^2$项,并且$x^3$的系数为2，
$\therefore \begin{cases} n-3m=0, \\ 4+m=2. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=-2, \\ n=-6. \end{cases}$

【分析】
解决本题的思路清晰明了：第一步，依据多项式乘多项式的法则，将两个多项式的每一项分别相乘，写出所有展开项；第二步，合并同类项，按x的降幂排列整理展开式，分别定位x³项和x²项的系数；第三步，理解“展开后不含x²项”的含义是x²项的系数为0，结合题目给出的x³项系数为2的条件，列出关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可求出两个参数的值。
【解析】
先根据多项式乘多项式法则展开原式：
原式$=x^3· x^2 + x^3· (-3x) + x^3·4 + mx· x^2 + mx· (-3x) + mx·4 + n· x^2 + n· (-3x) + n·4$
$=x^5 -3x^4 +4x^3 +mx^3 -3mx^2 +4mx +nx^2 -3nx +4n$
合并同类项整理得：
$=x^5 -3x^4 +(4+m)x^3 +(n-3m)x^2 +(4m-3n)x +4n$
由题意，展开后不含$x^2$项，且$x^3$的系数为2，可列方程组：
$\begin{cases} n-3m=0 \\ 4+m=2 \end{cases}$
解第二个方程得：$m=2-4=-2$
将$m=-2$代入第一个方程得：$n-3×(-2)=0$，解得$n=-6$
【答案】
$m=-2$，$n=-6$
【知识点】
多项式乘多项式、合并同类项、解二元一次方程组
【点评】
本题是整式乘法中参数求解的经典题型，核心是理解“多项式不含某一项”等价于该项的系数为0，解题时要注意准确展开多项式、正确计算同类项的系数，避免运算失误。
【难度系数】
0.7

13.小敏和小贝两人共同计算一道数学题：$(2m+a)(3m+b)$，由于小敏抄错了第一个多项式中$a$的符号，得到结果为$6m^2+11m-10$；由于小贝抄漏了第二个多项式中$m$的系数，得到的结果为$2m^2-9m+10$。
(1)求式子中$a$，$b$的值；
(2)请你计算出这道题的正确结果。

13. 解:(1)根据小敏的结果,得
$(2m-a)(3m+b)=6m^2 +(2b-3a)m -ab=6m^2 +11m -10$,
则$2b-3a=11$. ①
根据小贝的结果,得
$(2m+a)(m+b)=2m^2 +(2b+a)m +ab=2m^2 -9m +10$,
则$2b+a=-9$. ②
联立①②,得$\begin{cases} 2b-3a=11, \\ 2b+a=-9. \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-5, \\ b=-2. \end{cases}$
(2)由(1),得$(2m+a)(3m+b)=(2m-5)(3m-2)=6m^2 -19m +10$.

【分析】
首先明确两人错写后对应的多项式乘法算式：小敏抄错a的符号，即把(2m+a)写成了(2m-a)，计算式为(2m-a)(3m+b)；小贝抄漏第二个多项式中m的系数，即把(3m+b)写成了(m+b)，计算式为(2m+a)(m+b)。分别将两个错误算式展开，根据多项式相等时对应项系数相等，可得到关于a、b的两个方程，联立解二元一次方程组即可求出a、b的值。第二问将求出的a、b代入原式，按多项式乘多项式法则计算即可得到正确结果。
【解析】
(1) 小敏抄错第一个多项式中a的符号，计算的算式为：
$(2m-a)(3m+b)=6m^2+(2b-3a)m -ab已知小敏得到的结果为$6m^2+11m-10$，对应系数相等可得：$2b-3a=11$ ①小贝抄漏第二个多项式中m的系数，计算的算式为：$(2m+a)(m+b)=2m^2+(2b+a)m +ab
已知小贝得到的结果为$2m^2-9m+10$，对应系数相等可得：
$2b+a=-9$ ②
联立①②组成方程组$\begin{cases} 2b-3a=11 \\ 2b+a=-9 \end{cases}$
用②-①得：$4a=-20$，解得$a=-5$。
将$a=-5$代入②，得$2b-5=-9$，解得$b=-2$。
(2) 将$a=-5$，$b=-2$代入原式，得：
$(2m-5)(3m-2)=6m^2-4m-15m+10=6m^2-19m+10$
【答案】
(1) $\begin{cases} a=-5 \\ b=-2 \end{cases}$
(2) 正确结果为$6m^2-19m+10$
【知识点】
多项式与多项式相乘，二元一次方程组的解法，多项式相等的条件
【点评】
本题结合错解情境考查多项式乘法的应用，解题核心是根据错因准确写出错误计算对应的运算式，再利用多项式相等时对应项系数相等的性质列方程求解，既考查基础计算能力，也考查分析错因、转化问题的能力。
【难度系数】
0.65

14. 你能化简$(x-1)(x^{99}+x^{98}+\dots+x+1)$吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手.然后归纳出一些方法.
(1)分别化简下列各式:
$(x-1)(x+1)= \_\_\_\_\_\_$；
$(x-1)(x^2+x+1)= \_\_\_\_\_\_$；
$(x-1)(x^3+x^2+x+1)= \_\_\_\_\_\_$；
$\dots$
$(x-1)(x^{99}+x^{98}+\dots+x+1)= \_\_\_\_\_\_$.
(2)请你利用上面的结论计算:$2^{99}+2^{98}+\dots+2+1$.

14. 解:(1)$x^2 -1\quad x^3 -1\quad x^4 -1\quad x^{100} -1$
(2)$2^{99}+2^{98}+\dots+2+1$
$=(2-1)×(2^{99}+2^{98}+\dots+2+1)$
$=2^{100}-1$.

【分析】
解题时遵循从特殊到一般的思路：(1)先运用多项式乘多项式的运算法则，计算前几个低次的多项式乘积，观察计算结果的特征，归纳出通用规律，再利用规律直接推导高次式子的化简结果；(2)计算$2^{99}+2^{98}+\dots+2+1$时，对照(1)得到的规律，给原式乘数值为1的$(2-1)$，不改变原式大小，即可直接套用规律快速计算。
【解析】
(1) 根据多项式乘多项式法则展开计算：
① $(x-1)(x+1)=x· x + x·1 -1· x -1×1 = x^2 +x -x -1 = x^2 -1$；
② $(x-1)(x^2+x+1)=x· x^2 +x· x +x·1 -1· x^2 -1· x -1×1 = x^3 +x^2 +x -x^2 -x -1 =x^3 -1$；
③ $(x-1)(x^3+x^2+x+1)=x· x^3 +x· x^2 +x· x +x·1 -1· x^3 -1· x^2 -1· x -1×1 =x^4 +x^3 +x^2 +x -x^3 -x^2 -x -1 =x^4 -1$；
观察上述结果可归纳规律：$(x-1)(x^n +x^{n-1}+\dots+x+1)=x^{n+1}-1$，因此当$n=99$时，$(x-1)(x^{99}+x^{98}+\dots+x+1)=x^{100}-1$。
(2) 利用(1)的规律计算：
因为$2-1=1$，所以原式可变形为：
$2^{99}+2^{98}+\dots+2+1=(2-1)×(2^{99}+2^{98}+\dots+2+1)$
对照规律，此处$x=2$，$n=99$，因此结果为$2^{100}-1$。
【答案】
(1) $x^2 -1$；$x^3 -1$；$x^4 -1$；$x^{100} -1$
(2) $2^{100}-1$
【知识点】
多项式乘多项式；规律归纳探究；整式化简计算
【点评】
本题通过从简单到复杂、从特殊到一般的探究过程，引导学生先总结规律再解决复杂问题，既巩固了多项式乘法的基础运算，也锻炼了归纳推理和知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.8