登录
10.若$y=(a+1)x^{|a|}+(b+2)$是关于$x$的正比例函数，则$(a+b)^{2027}$的值是
$-1$
。答案
$-1$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确正比例函数的定义要求：正比例函数需满足三个条件：①自变量x的次数为1；②x的系数（即比例系数）不为0；③常数项为0。我们可以根据这三个条件分别列出关于a、b的等式和不等式，求解得到a、b的值后，代入$(a+b)^{2027}$计算即可。
【解析】
根据正比例函数的定义，可得：
1. 自变量x的次数为1：$|a|=1$，解得$a=1$或$a=-1$；
2. 一次项系数不为0：$a+1≠0$，即$a≠-1$，结合上一步结果可得$a=1$；
3. 常数项为0：$b+2=0$，解得$b=-2$。
将$a=1$，$b=-2$代入式子计算：
$a+b=1+(-2)=-1$
则$(a+b)^{2027}=(-1)^{2027}=-1$（负数的奇次幂为负数，2027是奇数）
【答案】
$-1$
【知识点】
正比例函数的定义；绝对值的性质；有理数乘方运算
【点评】
本题核心考查正比例函数定义的应用，解题时需注意不要遗漏“比例系数不为0”“常数项为0”这两个隐含条件，计算乘方时要先判断指数的奇偶性，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确正比例函数的定义要求：正比例函数需满足三个条件：①自变量x的次数为1；②x的系数（即比例系数）不为0；③常数项为0。我们可以根据这三个条件分别列出关于a、b的等式和不等式，求解得到a、b的值后，代入$(a+b)^{2027}$计算即可。
【解析】
根据正比例函数的定义，可得：
1. 自变量x的次数为1：$|a|=1$，解得$a=1$或$a=-1$；
2. 一次项系数不为0：$a+1≠0$，即$a≠-1$，结合上一步结果可得$a=1$；
3. 常数项为0：$b+2=0$，解得$b=-2$。
将$a=1$，$b=-2$代入式子计算：
$a+b=1+(-2)=-1$
则$(a+b)^{2027}=(-1)^{2027}=-1$（负数的奇次幂为负数，2027是奇数）
【答案】
$-1$
【知识点】
正比例函数的定义；绝对值的性质；有理数乘方运算
【点评】
本题核心考查正比例函数定义的应用，解题时需注意不要遗漏“比例系数不为0”“常数项为0”这两个隐含条件，计算乘方时要先判断指数的奇偶性，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
11.(淮南市寿县期末)点$A(a,y_1)$，$B(a+1,y_2)$都在直线$y=-\frac{1}{2}x$上，则$y_1$与$y_2$的大小关系是（
A.$y_1=y_2$
B.$y_1＜y_2$
C.$y_1＞y_2$
D.与$a$值有关
C
）A.$y_1=y_2$
B.$y_1＜y_2$
C.$y_1＞y_2$
D.与$a$值有关
答案
C
解析
【分析】
要判断$y_1$与$y_2$的大小关系，有两种常用思路：思路一，先根据正比例函数的解析式判断函数的增减性，再比较两个点横坐标的大小，结合增减性即可得出y值的大小关系；思路二，将两个点的横坐标分别代入函数解析式，求出$y_1$、$y_2$的表达式，再作差比较大小即可。
【解析】
方法一：利用正比例函数的增减性判断
∵ 直线$y=-\frac{1}{2}x$是正比例函数，其中$k=-\frac{1}{2}＜0$，
∴ y随x的增大而减小，
又
∵ 点A、B的横坐标满足$a ＜ a+1$，
∴ 横坐标越小，对应的y值越大，即$y_1 ＞ y_2$。
方法二：代入求值作差比较
将点$A(a,y_1)$代入$y=-\frac{1}{2}x$，得$y_1=-\frac{1}{2}a$，
将点$B(a+1,y_2)$代入$y=-\frac{1}{2}x$，得$y_2=-\frac{1}{2}(a+1)=-\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}$，
则$y_1 - y_2 = (-\frac{1}{2}a) - (-\frac{1}{2}a - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} ＞ 0$，
∴ $y_1 ＞ y_2$。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的性质；代数式大小比较
【点评】
本题是正比例函数性质的基础应用题，解题核心是掌握正比例函数中k的符号与函数增减性的对应关系，也可通过代入计算的方式直接比较，是函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
要判断$y_1$与$y_2$的大小关系，有两种常用思路：思路一，先根据正比例函数的解析式判断函数的增减性，再比较两个点横坐标的大小，结合增减性即可得出y值的大小关系；思路二，将两个点的横坐标分别代入函数解析式，求出$y_1$、$y_2$的表达式，再作差比较大小即可。
【解析】
方法一：利用正比例函数的增减性判断
∵ 直线$y=-\frac{1}{2}x$是正比例函数，其中$k=-\frac{1}{2}＜0$，
∴ y随x的增大而减小，
又
∵ 点A、B的横坐标满足$a ＜ a+1$，
∴ 横坐标越小，对应的y值越大，即$y_1 ＞ y_2$。
方法二：代入求值作差比较
将点$A(a,y_1)$代入$y=-\frac{1}{2}x$，得$y_1=-\frac{1}{2}a$，
将点$B(a+1,y_2)$代入$y=-\frac{1}{2}x$，得$y_2=-\frac{1}{2}(a+1)=-\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}$，
则$y_1 - y_2 = (-\frac{1}{2}a) - (-\frac{1}{2}a - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} ＞ 0$，
∴ $y_1 ＞ y_2$。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的性质；代数式大小比较
【点评】
本题是正比例函数性质的基础应用题，解题核心是掌握正比例函数中k的符号与函数增减性的对应关系，也可通过代入计算的方式直接比较，是函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
12.【易错题】对于正比例函数$y=-3x$，当自变量$x$的值增加1时，函数$y$的值增加（
A.$\frac{1}{3}$
B.$-\frac{1}{3}$
C.$3$
D.$-3$
D
）A.$\frac{1}{3}$
B.$-\frac{1}{3}$
C.$3$
D.$-3$
答案
D
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以先表示出自变量x变化前后对应的函数值，再通过作差求出y的变化量即可。首先设x的初始值，代入正比例函数解析式得到初始y值；再计算x增加1后的自变量取值，代入解析式得到新的y值；最后用新的y值减去初始y值，得到的结果就是y的增加量，注意增加量为负数时表示实际是减少。
【解析】
设自变量x的初始取值为$x_1$，对应的函数值为$y_1$，代入正比例函数解析式得：
$y_1=-3x_1$
当x的值增加1时，新的自变量取值为$x_1+1$，对应的新函数值为$y_2$，代入解析式得：
$y_2=-3(x_1+1)=-3x_1-3$
则y的增加量为：
$y_2-y_1=(-3x_1-3)-(-3x_1)=-3$
即当x的值增加1时，y的值增加$-3$。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的性质、函数值的计算
【点评】
本题是正比例函数的基础易错题，易错点是忽略正比例函数系数的负号，错误认为增加量为正数。解题的核心是通过作差法准确计算函数的变化量，避免凭直觉判断符号出错。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以先表示出自变量x变化前后对应的函数值，再通过作差求出y的变化量即可。首先设x的初始值，代入正比例函数解析式得到初始y值；再计算x增加1后的自变量取值，代入解析式得到新的y值；最后用新的y值减去初始y值，得到的结果就是y的增加量，注意增加量为负数时表示实际是减少。
【解析】
设自变量x的初始取值为$x_1$，对应的函数值为$y_1$，代入正比例函数解析式得：
$y_1=-3x_1$
当x的值增加1时，新的自变量取值为$x_1+1$，对应的新函数值为$y_2$，代入解析式得：
$y_2=-3(x_1+1)=-3x_1-3$
则y的增加量为：
$y_2-y_1=(-3x_1-3)-(-3x_1)=-3$
即当x的值增加1时，y的值增加$-3$。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的性质、函数值的计算
【点评】
本题是正比例函数的基础易错题，易错点是忽略正比例函数系数的负号，错误认为增加量为正数。解题的核心是通过作差法准确计算函数的变化量，避免凭直觉判断符号出错。
【难度系数】
0.7
13. 如图，正比例函数 $ y=k_1x, y=k_2x, y=k_3x, y=k_4x $ 的图象分别是 $ l_1, l_2, l_3, l_4 $，则下列关系正确的是 （
A.$ k_1 ＜ k_2 ＜ k_3 ＜ k_4 $
B.$ k_2 ＜ k_1 ＜ k_4 ＜ k_3 $
C.$ k_1 ＜ k_2 ＜ k_4 ＜ k_3 $
D.$ k_2 ＜ k_1 ＜ k_3 ＜ k_4 $
B
）A.$ k_1 ＜ k_2 ＜ k_3 ＜ k_4 $
B.$ k_2 ＜ k_1 ＜ k_4 ＜ k_3 $
C.$ k_1 ＜ k_2 ＜ k_4 ＜ k_3 $
D.$ k_2 ＜ k_1 ＜ k_3 ＜ k_4 $
答案
B
解析
【分析】
解题需结合正比例函数$y=kx$的图象性质思考：首先$k$的正负决定直线经过的象限，$k＞0$时直线过一、三象限，$k＜0$时直线过二、四象限，因此可先区分$k$的正负，负数一定小于正数；其次$|k|$的大小决定直线的倾斜程度，$|k|$越大直线越陡，再结合正负数比较大小的规则，就能推出四个$k$的大小关系。
【解析】
1. 判断$k$的正负：
直线$l_1$、$l_2$经过第二、四象限，因此$k_1＜0$，$k_2＜0$；直线$l_3$、$l_4$经过第一、三象限，因此$k_3＞0$，$k_4＞0$，可得$k_1$、$k_2$均小于$k_3$、$k_4$。
2. 比较两个负系数的大小：
$l_2$比$l_1$倾斜程度更大（更陡），说明$|k_2|＞|k_1|$，负数的绝对值越大数值越小，因此$k_2＜k_1＜0$。
3. 比较两个正系数的大小：
$l_3$比$l_4$倾斜程度更大（更陡），说明$|k_3|＞|k_4|$，正数的绝对值越大数值越大，因此$0＜k_4＜k_3$。
综上可得$k_2＜k_1＜k_4＜k_3$。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的图象与性质
【点评】
本题是正比例函数的基础考题，核心考查$y=kx$中$k$的几何意义，只要掌握$k$的正负、$|k|$的大小分别对图象的影响，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题需结合正比例函数$y=kx$的图象性质思考：首先$k$的正负决定直线经过的象限，$k＞0$时直线过一、三象限，$k＜0$时直线过二、四象限，因此可先区分$k$的正负，负数一定小于正数；其次$|k|$的大小决定直线的倾斜程度，$|k|$越大直线越陡，再结合正负数比较大小的规则，就能推出四个$k$的大小关系。
【解析】
1. 判断$k$的正负：
直线$l_1$、$l_2$经过第二、四象限，因此$k_1＜0$，$k_2＜0$；直线$l_3$、$l_4$经过第一、三象限，因此$k_3＞0$，$k_4＞0$，可得$k_1$、$k_2$均小于$k_3$、$k_4$。
2. 比较两个负系数的大小：
$l_2$比$l_1$倾斜程度更大（更陡），说明$|k_2|＞|k_1|$，负数的绝对值越大数值越小，因此$k_2＜k_1＜0$。
3. 比较两个正系数的大小：
$l_3$比$l_4$倾斜程度更大（更陡），说明$|k_3|＞|k_4|$，正数的绝对值越大数值越大，因此$0＜k_4＜k_3$。
综上可得$k_2＜k_1＜k_4＜k_3$。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的图象与性质
【点评】
本题是正比例函数的基础考题，核心考查$y=kx$中$k$的几何意义，只要掌握$k$的正负、$|k|$的大小分别对图象的影响，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
14.定义$[p,q]$为一次函数$y=px+q$的特征数，若特征数为$[t,t+3]$的一次函数为正比例函数，则这个正比例函数的表达式为
$y=-3x$
。答案
$y=-3x$
解析
【分析】
首先理解题目给出的“特征数”的新定义，根据定义写出对应一次函数的表达式；再结合正比例函数的定义分析：正比例函数形式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$），即不含常数项且一次项系数不为0，因此只需让特征数对应一次函数的常数项等于0，求出参数$t$的值，验证一次项系数符合要求后，代入即可得到正比例函数的表达式。
【解析】
1. 根据特征数的定义，特征数为$[t,t+3]$的一次函数表达式为：$y = tx + (t+3)$；
2. 因为该函数是正比例函数，根据正比例函数的定义，常数项必须为0，且一次项系数$t≠0$，因此列等式：
$t+3=0$，解得$t=-3$；
3. 验证：$t=-3≠0$，符合正比例函数一次项系数不为0的要求；
4. 将$t=-3$代入函数表达式，得$y=-3x$。
【答案】
$y=-3x$
【知识点】
正比例函数的定义；新定义问题处理
【点评】
本题结合新定义考查正比例函数的基础概念，解题核心是明确正比例函数“常数项为0、一次项系数不为0”的特征，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
首先理解题目给出的“特征数”的新定义，根据定义写出对应一次函数的表达式；再结合正比例函数的定义分析：正比例函数形式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$），即不含常数项且一次项系数不为0，因此只需让特征数对应一次函数的常数项等于0，求出参数$t$的值，验证一次项系数符合要求后，代入即可得到正比例函数的表达式。
【解析】
1. 根据特征数的定义，特征数为$[t,t+3]$的一次函数表达式为：$y = tx + (t+3)$；
2. 因为该函数是正比例函数，根据正比例函数的定义，常数项必须为0，且一次项系数$t≠0$，因此列等式：
$t+3=0$，解得$t=-3$；
3. 验证：$t=-3≠0$，符合正比例函数一次项系数不为0的要求；
4. 将$t=-3$代入函数表达式，得$y=-3x$。
【答案】
$y=-3x$
【知识点】
正比例函数的定义；新定义问题处理
【点评】
本题结合新定义考查正比例函数的基础概念，解题核心是明确正比例函数“常数项为0、一次项系数不为0”的特征，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
15.如图，将$2×2$的正方形网格放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1个单位长度，正方形$ABCD$的顶点都在格点上。若直线$y=kx(k≠0)$与正方形$ABCD$有公共点，则$k$的取值范围是
$\dfrac{1}{2}≤ k≤ 2$
。答案
$\dfrac{1}{2}≤ k≤ 2$
解析
【分析】
要确定直线$y=kx$与正方形$ABCD$有公共点时$k$的取值范围，首先明确正比例函数图象是过原点的直线，$k$的大小决定直线的倾斜程度：$k$越大，直线越陡。我们只需要找到直线刚好经过正方形顶点时的边界$k$值即可：先从图中读取正方形的两个临界顶点坐标，分别代入解析式算出对应的$k$值，再结合直线倾斜规律就能得到$k$的取值范围。
【解析】
解：由图可知正方形$ABCD$的顶点$A$坐标为$(1,2)$，顶点$C$坐标为$(2,1)$。
①当直线$y=kx$经过点$A(1,2)$时，将$x=1,y=2$代入解析式：
$2=k×1$，解得$k=2$，此时$k$为最大值；
②当直线$y=kx$经过点$C(2,1)$时，将$x=2,y=1$代入解析式：
$1=k×2$，解得$k=\frac{1}{2}$，此时$k$为最小值；
结合正比例函数图象的倾斜规律可得，当$\frac{1}{2}≤ k≤2$时，直线与正方形$ABCD$有公共点。
【答案】
$\dfrac{1}{2}≤ k≤ 2$
【知识点】
正比例函数性质，函数与几何交点，坐标与图形
【点评】
本题属于数形结合的基础题型，解题关键是找到直线与正方形相交的边界情况，结合$k$与正比例函数倾斜程度的关系求解，考查了从图象中提取坐标信息、代入计算的能力。
【难度系数】
0.7
要确定直线$y=kx$与正方形$ABCD$有公共点时$k$的取值范围，首先明确正比例函数图象是过原点的直线，$k$的大小决定直线的倾斜程度：$k$越大，直线越陡。我们只需要找到直线刚好经过正方形顶点时的边界$k$值即可：先从图中读取正方形的两个临界顶点坐标，分别代入解析式算出对应的$k$值，再结合直线倾斜规律就能得到$k$的取值范围。
【解析】
解：由图可知正方形$ABCD$的顶点$A$坐标为$(1,2)$，顶点$C$坐标为$(2,1)$。
①当直线$y=kx$经过点$A(1,2)$时，将$x=1,y=2$代入解析式：
$2=k×1$，解得$k=2$，此时$k$为最大值；
②当直线$y=kx$经过点$C(2,1)$时，将$x=2,y=1$代入解析式：
$1=k×2$，解得$k=\frac{1}{2}$，此时$k$为最小值；
结合正比例函数图象的倾斜规律可得，当$\frac{1}{2}≤ k≤2$时，直线与正方形$ABCD$有公共点。
【答案】
$\dfrac{1}{2}≤ k≤ 2$
【知识点】
正比例函数性质，函数与几何交点，坐标与图形
【点评】
本题属于数形结合的基础题型，解题关键是找到直线与正方形相交的边界情况，结合$k$与正比例函数倾斜程度的关系求解，考查了从图象中提取坐标信息、代入计算的能力。
【难度系数】
0.7
16. 已知正比例函数$y=(3m-2)x^{3-|m|}$的图象经过第一、三象限.
(1)求$m$的值；
(2)当$-\dfrac{3}{4}≤ x≤2$时，求$y$的最小值.
(1)求$m$的值；
(2)当$-\dfrac{3}{4}≤ x≤2$时，求$y$的最小值.
答案
(1)解:由正比例函数$y=(3m-2)x^{3-|m|}$的图象经过第一、三象限,可得$3m-2＞0,3-|m|=1$,解得$m=2$.
(2)由(1)知$m=2$,$\therefore$ 正比例函数的解析式为$y=4x$.$\because 4＞0$,$\therefore y$随$x$的增大而增大.故在$-\dfrac{3}{4}≤ x≤ 2$范围内,当$x=-\dfrac{3}{4}$时,$y$有最小值,此时$y=-3$,即$y$的最小值是$-3$.
(2)由(1)知$m=2$,$\therefore$ 正比例函数的解析式为$y=4x$.$\because 4＞0$,$\therefore y$随$x$的增大而增大.故在$-\dfrac{3}{4}≤ x≤ 2$范围内,当$x=-\dfrac{3}{4}$时,$y$有最小值,此时$y=-3$,即$y$的最小值是$-3$.
解析
【分析】
第(1)问求m的值，需要结合两个条件：一是正比例函数的定义，要求自变量x的次数为1，且x的系数不为0；二是图象经过第一、三象限，说明正比例函数的比例系数大于0，联立这两个条件列方程和不等式，即可求解m的值。
第(2)问求y的最小值，先将第(1)问求出的m代入原式得到正比例函数解析式，再根据正比例函数的增减性判断：当比例系数大于0时，y随x的增大而增大，因此在给定的x取值范围内，x取最小值时对应的y就是最小值，代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) 已知函数$y=(3m-2)x^{3-|m|}$是正比例函数，且图象经过第一、三象限，根据正比例函数的定义和性质可得：
$\begin{cases}3 - |m| = 1 \\ 3m - 2 ＞ 0\end{cases}$
解方程$3 - |m| = 1$，得$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$；
解不等式$3m - 2 ＞ 0$，得$m ＞ \frac{2}{3}$；
综上可得$m=2$。
(2) 把$m=2$代入函数解析式，得$y=(3×2 - 2)x = 4x$。
因为$k=4＞0$，所以$y$随$x$的增大而增大。
已知$-\dfrac{3}{4}≤ x≤2$，所以当$x$取最小值$-\dfrac{3}{4}$时，$y$取得最小值，代入计算得：
$y=4×(-\dfrac{3}{4})=-3$
【答案】
(1) $m=2$；(2) $y$的最小值是$-3$
【知识点】
正比例函数的定义，正比例函数的图象与性质
【点评】
本题侧重考查正比例函数的基础概念和性质，解题时需先根据定义和图象特征确定参数值，再结合函数增减性求解区间最值，是正比例函数部分的典型基础题。
【难度系数】
0.8
第(1)问求m的值，需要结合两个条件：一是正比例函数的定义，要求自变量x的次数为1，且x的系数不为0；二是图象经过第一、三象限，说明正比例函数的比例系数大于0，联立这两个条件列方程和不等式，即可求解m的值。
第(2)问求y的最小值，先将第(1)问求出的m代入原式得到正比例函数解析式，再根据正比例函数的增减性判断：当比例系数大于0时，y随x的增大而增大，因此在给定的x取值范围内，x取最小值时对应的y就是最小值，代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) 已知函数$y=(3m-2)x^{3-|m|}$是正比例函数，且图象经过第一、三象限，根据正比例函数的定义和性质可得：
$\begin{cases}3 - |m| = 1 \\ 3m - 2 ＞ 0\end{cases}$
解方程$3 - |m| = 1$，得$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$；
解不等式$3m - 2 ＞ 0$，得$m ＞ \frac{2}{3}$；
综上可得$m=2$。
(2) 把$m=2$代入函数解析式，得$y=(3×2 - 2)x = 4x$。
因为$k=4＞0$，所以$y$随$x$的增大而增大。
已知$-\dfrac{3}{4}≤ x≤2$，所以当$x$取最小值$-\dfrac{3}{4}$时，$y$取得最小值，代入计算得：
$y=4×(-\dfrac{3}{4})=-3$
【答案】
(1) $m=2$；(2) $y$的最小值是$-3$
【知识点】
正比例函数的定义，正比例函数的图象与性质
【点评】
本题侧重考查正比例函数的基础概念和性质，解题时需先根据定义和图象特征确定参数值，再结合函数增减性求解区间最值，是正比例函数部分的典型基础题。
【难度系数】
0.8
17.【新考法·操作探究】
(1)在同一平面直角坐标系内画出正比例函数 $y_1=-2x$ 与 $y_2=\frac{1}{2}x$ 的图象.
(2)请你用量角器度量一下(1)中这两条直线的夹角,你发现这两条直线的位置关系是
(3)在平面直角坐标系中,直线 $y=\frac{2}{3}x$ 与直线 $y=-\frac{3}{2}x$ 的位置关系是
(4)若直线 $y=(m-1)x$($m$ 为常数)与直线 $y=-3x$ 互相垂直,求 $m$ 的值.
(1)在同一平面直角坐标系内画出正比例函数 $y_1=-2x$ 与 $y_2=\frac{1}{2}x$ 的图象.
(2)请你用量角器度量一下(1)中这两条直线的夹角,你发现这两条直线的位置关系是
互相垂直
.(3)在平面直角坐标系中,直线 $y=\frac{2}{3}x$ 与直线 $y=-\frac{3}{2}x$ 的位置关系是
互相垂直
.(4)若直线 $y=(m-1)x$($m$ 为常数)与直线 $y=-3x$ 互相垂直,求 $m$ 的值.
答案
(1)解:如图
.(2)互相垂直
(3)互相垂直
(4)由题意,得$-3(m-1)=-1$,解得$m=\dfrac{4}{3}$.
解析
【分析】
解题时按照问题顺序逐步思考：1. 画正比例函数图象：正比例函数图象是过原点的直线，因此只需再找一个满足函数解析式的非原点的点，过两点连线即可画出图象；2. 度量夹角可直接得出两条直线垂直的结论；3. 观察前一问垂直的两个正比例函数的比例系数乘积，发现规律：互相垂直的正比例函数比例系数乘积为-1，据此判断第三问两条直线的位置关系；4. 应用上述规律列方程求解m的值即可。
【解析】
(1) 对于正比例函数$y_1=-2x$，当$x=1$时，$y=-2$，得到点$(1,-2)$，过原点$(0,0)$和点$(1,-2)$画直线，即为$y_1=-2x$的图象；对于$y_2=\frac{1}{2}x$，当$x=2$时，$y=1$，得到点$(2,1)$，过原点$(0,0)$和点$(2,1)$画直线，即为$y_2=\frac{1}{2}x$的图象。
(2) 用量角器度量两条直线的夹角为$90°$，因此两条直线互相垂直。
(3) 观察(2)中互相垂直的两个函数的比例系数：$-2×\frac{1}{2}=-1$，即互相垂直的正比例函数比例系数乘积为$-1$。本题中$\frac{2}{3}×(-\frac{3}{2})=-1$，因此两条直线互相垂直。
(4) 根据“互相垂直的正比例函数比例系数乘积为$-1$”的规律，可得：
$-3(m-1)=-1$
方程两边同时除以$-3$，得：
$m-1=\frac{1}{3}$
移项解得：
$m=\frac{4}{3}$
【答案】
(1)解:如图.
(2)互相垂直
(3)互相垂直
(4)由题意,得$-3(m-1)=-1$,解得$m=\dfrac{4}{3}$.
【知识点】
正比例函数图象画法，正比例函数性质，解一元一次方程
【点评】
本题以操作探究的形式展开，从画图、测量到总结规律再到应用规律，逐步引导学生掌握正比例函数垂直时比例系数的关系，既考查了动手操作能力，也考查了规律归纳与迁移应用的能力，有助于培养数形结合的思维习惯。
【难度系数】
0.7
解题时按照问题顺序逐步思考：1. 画正比例函数图象：正比例函数图象是过原点的直线，因此只需再找一个满足函数解析式的非原点的点，过两点连线即可画出图象；2. 度量夹角可直接得出两条直线垂直的结论；3. 观察前一问垂直的两个正比例函数的比例系数乘积，发现规律：互相垂直的正比例函数比例系数乘积为-1，据此判断第三问两条直线的位置关系；4. 应用上述规律列方程求解m的值即可。
【解析】
(1) 对于正比例函数$y_1=-2x$，当$x=1$时，$y=-2$，得到点$(1,-2)$，过原点$(0,0)$和点$(1,-2)$画直线，即为$y_1=-2x$的图象；对于$y_2=\frac{1}{2}x$，当$x=2$时，$y=1$，得到点$(2,1)$，过原点$(0,0)$和点$(2,1)$画直线，即为$y_2=\frac{1}{2}x$的图象。
(2) 用量角器度量两条直线的夹角为$90°$，因此两条直线互相垂直。
(3) 观察(2)中互相垂直的两个函数的比例系数：$-2×\frac{1}{2}=-1$，即互相垂直的正比例函数比例系数乘积为$-1$。本题中$\frac{2}{3}×(-\frac{3}{2})=-1$，因此两条直线互相垂直。
(4) 根据“互相垂直的正比例函数比例系数乘积为$-1$”的规律，可得：
$-3(m-1)=-1$
方程两边同时除以$-3$，得：
$m-1=\frac{1}{3}$
移项解得：
$m=\frac{4}{3}$
【答案】
(1)解:如图
.(2)互相垂直
(3)互相垂直
(4)由题意,得$-3(m-1)=-1$,解得$m=\dfrac{4}{3}$.
【知识点】
正比例函数图象画法，正比例函数性质，解一元一次方程
【点评】
本题以操作探究的形式展开，从画图、测量到总结规律再到应用规律，逐步引导学生掌握正比例函数垂直时比例系数的关系，既考查了动手操作能力，也考查了规律归纳与迁移应用的能力，有助于培养数形结合的思维习惯。
【难度系数】
0.7
