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1.下列关于 $ x $ 的方程中，一定是一元二次方程的有(
①$ 2x - 3 = x^2 + 2x - 3 $；②$ ax^2 + bx + c = 0 $；③$ (x + 2)(x - 2) = (x + 1)^2 $；④$ x + \frac{1}{x} = 1 $；
⑤$ (x + 1)(x + 2) = 2x^2 - 3 $。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)。①$ 2x - 3 = x^2 + 2x - 3 $；②$ ax^2 + bx + c = 0 $；③$ (x + 2)(x - 2) = (x + 1)^2 $；④$ x + \frac{1}{x} = 1 $；
⑤$ (x + 1)(x + 2) = 2x^2 - 3 $。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.B
解析
【分析】
要判断方程是否为一元二次方程，首先明确一元二次方程的3个核心判定条件：①属于整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时先将每个方程化简，再逐一对照上述条件排除不符合的，最后统计符合要求的方程个数即可。
【解析】
我们逐个分析5个方程：
① 化简$2x - 3 = x^2 + 2x - 3$，移项合并同类项得$x^2=0$，满足一元二次方程的全部判定条件，属于一元二次方程；
② 方程$ax^2 + bx + c = 0$未限定$a≠0$，当$a=0$时方程最高次数为1，因此不一定是一元二次方程；
③ 先展开化简：左边$(x+2)(x-2)=x^2-4$，右边$(x+1)^2=x^2+2x+1$，移项合并得$-2x-5=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不属于一元二次方程；
④ 方程$x + \frac{1}{x} = 1$分母含未知数，属于分式方程，不是整式方程，因此不属于一元二次方程；
⑤ 展开化简：左边$(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$，移项合并得$-x^2+3x+5=0$，二次项系数为$-1≠0$，满足一元二次方程的全部判定条件，属于一元二次方程。
综上，符合条件的是①和⑤，共2个。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义；整式方程判定；方程化简
【点评】
本题是一元二次方程判定的基础题，易错点集中在三处：一是忽略$ax^2+bx+c=0$中$a≠0$的限定条件误判②，二是未先化简方程就直接判断次数误判③，三是忽略一元二次方程必须是整式方程误判④，牢记判定的三个核心条件即可准确解题。
【难度系数】
0.7
要判断方程是否为一元二次方程，首先明确一元二次方程的3个核心判定条件：①属于整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时先将每个方程化简，再逐一对照上述条件排除不符合的，最后统计符合要求的方程个数即可。
【解析】
我们逐个分析5个方程：
① 化简$2x - 3 = x^2 + 2x - 3$，移项合并同类项得$x^2=0$，满足一元二次方程的全部判定条件，属于一元二次方程；
② 方程$ax^2 + bx + c = 0$未限定$a≠0$，当$a=0$时方程最高次数为1，因此不一定是一元二次方程；
③ 先展开化简：左边$(x+2)(x-2)=x^2-4$，右边$(x+1)^2=x^2+2x+1$，移项合并得$-2x-5=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不属于一元二次方程；
④ 方程$x + \frac{1}{x} = 1$分母含未知数，属于分式方程，不是整式方程，因此不属于一元二次方程；
⑤ 展开化简：左边$(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$，移项合并得$-x^2+3x+5=0$，二次项系数为$-1≠0$，满足一元二次方程的全部判定条件，属于一元二次方程。
综上，符合条件的是①和⑤，共2个。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义；整式方程判定；方程化简
【点评】
本题是一元二次方程判定的基础题，易错点集中在三处：一是忽略$ax^2+bx+c=0$中$a≠0$的限定条件误判②，二是未先化简方程就直接判断次数误判③，三是忽略一元二次方程必须是整式方程误判④，牢记判定的三个核心条件即可准确解题。
【难度系数】
0.7
2.将一元二次方程$2x^2 +7=9x$化成一般形式，它的二次项系数和一次项系数分别为(
A.$2,9$
B.$2,7$
C.$2,-9$
D.$2x^2,-9x^2$
C
).A.$2,9$
B.$2,7$
C.$2,-9$
D.$2x^2,-9x^2$
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程一般形式的要求，解题思路分为两步：第一步先将给定的方程通过移项转化为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的标准一般形式，第二步再对照一般形式分别确定二次项系数和一次项系数，注意系数要包含前面的符号。
【解析】
一元二次方程的一般形式为：$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。
对原方程$2x^2 +7=9x$进行移项，把含$x$的项移到等号左侧，移项要变号，可得：
$2x^2 -9x +7=0$
对照一般形式可得：二次项系数为2，一次项系数为-9，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程的系数定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题关键是掌握一元二次方程一般形式的规范，注意移项时符号的变化，确定系数时不要遗漏符号。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程一般形式的要求，解题思路分为两步：第一步先将给定的方程通过移项转化为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的标准一般形式，第二步再对照一般形式分别确定二次项系数和一次项系数，注意系数要包含前面的符号。
【解析】
一元二次方程的一般形式为：$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。
对原方程$2x^2 +7=9x$进行移项，把含$x$的项移到等号左侧，移项要变号，可得：
$2x^2 -9x +7=0$
对照一般形式可得：二次项系数为2，一次项系数为-9，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程的系数定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题关键是掌握一元二次方程一般形式的规范，注意移项时符号的变化，确定系数时不要遗漏符号。
【难度系数】
0.9
3.已知2是关于x的一元二次方程$x^2 -4x +m=0$的一个根，则实数m的值是（
A.0
B.1
C.2
D.4
D
）.A.0
B.1
C.2
D.4
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查利用一元二次方程根的定义求参数。解题思路如下：首先明确方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知2是题给一元二次方程的根，我们只需将x=2代入原方程，就能得到仅含参数m的一元一次方程，解该方程即可求出m的取值。
【解析】
∵2是关于x的一元二次方程$x^2 -4x +m=0$的一个根
∴将x=2代入方程，等式仍然成立，可得：
$2^2 - 4×2 + m = 0$
计算化简得：$4 - 8 + m = 0$
即$m-4=0$，解得$m=4$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程根的定义
2.解一元一次方程
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础考法，核心考察对根的概念的理解，只要掌握“根代入原方程等式成立”的规律即可快速解题，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
本题考查利用一元二次方程根的定义求参数。解题思路如下：首先明确方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知2是题给一元二次方程的根，我们只需将x=2代入原方程，就能得到仅含参数m的一元一次方程，解该方程即可求出m的取值。
【解析】
∵2是关于x的一元二次方程$x^2 -4x +m=0$的一个根
∴将x=2代入方程，等式仍然成立，可得：
$2^2 - 4×2 + m = 0$
计算化简得：$4 - 8 + m = 0$
即$m-4=0$，解得$m=4$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程根的定义
2.解一元一次方程
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础考法，核心考察对根的概念的理解，只要掌握“根代入原方程等式成立”的规律即可快速解题，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
4.根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一般形式.
(1)一个群里共有$ x $个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条消息，共有756条消息，求群里好友的人数.
(2)如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14 cm，面积为24 $ \mathrm{cm}^2 $，求它的两条直角边长.
(1)一个群里共有$ x $个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条消息，共有756条消息，求群里好友的人数.
(2)如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14 cm，面积为24 $ \mathrm{cm}^2 $，求它的两条直角边长.
答案
4.(1)设有 $ x $ 个好友，根据题意可得 $ x(x-1)=756 $，整理得 $ x^2 -x -756=0 $。
(2)设较短直角边长 $ y $ cm，根据题意可得 $ \frac{1}{2}y(14-y)=24 $，整理得 $ y^2 -14y +48=0 $。
(2)设较短直角边长 $ y $ cm，根据题意可得 $ \frac{1}{2}y(14-y)=24 $，整理得 $ y^2 -14y +48=0 $。
解析
【分析】
（1）先推导总消息数的等量关系：每个好友不需要给自己发消息，因此每个好友可发送$(x-1)$条消息，总消息数等于总人数乘每人发送的消息数，代入已知的总消息数列出方程，再整理为一元二次方程的一般形式即可。
（2）先明确直角三角形面积的等量关系：设较短直角边为$y$ cm，则另一条直角边为$(14-y)$ cm，直角三角形面积等于两直角边乘积的一半，代入已知面积列出方程，再整理为一般形式即可。
【解析】
(1) 设群里共有$x$个好友，根据题意得：
$x(x-1)=756$
整理为一元二次方程一般形式：$x^2 -x -756=0$
(2) 设较短直角边长为$y$ cm，则较长直角边长为$(14-y)$ cm，根据题意得：
$\frac{1}{2}y(14-y)=24$
整理为一元二次方程一般形式：$y^2 -14y +48=0$
【答案】
(1) 方程为$x(x-1)=756$，一般形式为$\boldsymbol{x^2 -x -756=0}$；
(2) 方程为$\frac{1}{2}y(14-y)=24$，一般形式为$\boldsymbol{y^2 -14y +48=0}$。
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的一般形式；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题型，核心考查从实际场景中提取等量关系列方程、化简的能力，熟练掌握常见实际问题的等量公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
（1）先推导总消息数的等量关系：每个好友不需要给自己发消息，因此每个好友可发送$(x-1)$条消息，总消息数等于总人数乘每人发送的消息数，代入已知的总消息数列出方程，再整理为一元二次方程的一般形式即可。
（2）先明确直角三角形面积的等量关系：设较短直角边为$y$ cm，则另一条直角边为$(14-y)$ cm，直角三角形面积等于两直角边乘积的一半，代入已知面积列出方程，再整理为一般形式即可。
【解析】
(1) 设群里共有$x$个好友，根据题意得：
$x(x-1)=756$
整理为一元二次方程一般形式：$x^2 -x -756=0$
(2) 设较短直角边长为$y$ cm，则较长直角边长为$(14-y)$ cm，根据题意得：
$\frac{1}{2}y(14-y)=24$
整理为一元二次方程一般形式：$y^2 -14y +48=0$
【答案】
(1) 方程为$x(x-1)=756$，一般形式为$\boldsymbol{x^2 -x -756=0}$；
(2) 方程为$\frac{1}{2}y(14-y)=24$，一般形式为$\boldsymbol{y^2 -14y +48=0}$。
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的一般形式；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题型，核心考查从实际场景中提取等量关系列方程、化简的能力，熟练掌握常见实际问题的等量公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
5.将下列一元二次方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项.
(1) $2x^2 + 3x = x^2 - 3x - 2$.
(2) $(2x - 1)(3x + 2) = (x - 2)^2 - 2$.
(1) $2x^2 + 3x = x^2 - 3x - 2$.
(2) $(2x - 1)(3x + 2) = (x - 2)^2 - 2$.
答案
5.(1)$x^2+6x+2=0$。
二次项系数为1，一次项系数为6，常数项为2。
(2)$5x^2+5x-4=0$。
二次项系数为5，一次项系数为5，常数项为-4。
二次项系数为1，一次项系数为6，常数项为2。
(2)$5x^2+5x-4=0$。
二次项系数为5，一次项系数为5，常数项为-4。
解析
【分析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时先通过去括号、移项、合并同类项的操作，将方程整理为右侧为0、左侧按$x$降幂排列的标准形式，再对应识别各项系数即可。注意移项时要改变符号，展开多项式乘法时不要漏乘项。
【解析】
(1) 对$2x^2 + 3x = x^2 - 3x - 2$移项，将右侧所有项移到左侧，移项变号得：
$2x^2 + 3x - x^2 + 3x + 2 = 0$
合并同类项后得到一般形式：$x^2 + 6x + 2 = 0$
可得二次项系数为1，一次项系数为6，常数项为2。
(2) 先分别展开方程左右两侧的式子：
左侧多项式乘法：$(2x - 1)(3x + 2)=6x^2 + 4x - 3x - 2=6x^2 + x - 2$
右侧完全平方展开化简：$(x - 2)^2 - 2=x^2 - 4x + 4 - 2=x^2 - 4x + 2$
将右侧所有项移到左侧，移项变号得：
$6x^2 + x - 2 - x^2 + 4x - 2 = 0$
合并同类项后得到一般形式：$5x^2 + 5x - 4 = 0$
可得二次项系数为5，一次项系数为5，常数项为-4。
【答案】
(1) 一般形式为$x^2+6x+2=0$，二次项系数为1，一次项系数为6，常数项为2；
(2) 一般形式为$5x^2+5x-4=0$，二次项系数为5，一次项系数为5，常数项为-4。
【知识点】
一元二次方程一般形式，整式乘法运算，合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考查对一元二次方程一般形式的掌握，解题时要注意移项的符号变化、多项式展开的运算准确性，避免因细节失误丢分。
【难度系数】
0.8
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时先通过去括号、移项、合并同类项的操作，将方程整理为右侧为0、左侧按$x$降幂排列的标准形式，再对应识别各项系数即可。注意移项时要改变符号，展开多项式乘法时不要漏乘项。
【解析】
(1) 对$2x^2 + 3x = x^2 - 3x - 2$移项，将右侧所有项移到左侧，移项变号得：
$2x^2 + 3x - x^2 + 3x + 2 = 0$
合并同类项后得到一般形式：$x^2 + 6x + 2 = 0$
可得二次项系数为1，一次项系数为6，常数项为2。
(2) 先分别展开方程左右两侧的式子：
左侧多项式乘法：$(2x - 1)(3x + 2)=6x^2 + 4x - 3x - 2=6x^2 + x - 2$
右侧完全平方展开化简：$(x - 2)^2 - 2=x^2 - 4x + 4 - 2=x^2 - 4x + 2$
将右侧所有项移到左侧，移项变号得：
$6x^2 + x - 2 - x^2 + 4x - 2 = 0$
合并同类项后得到一般形式：$5x^2 + 5x - 4 = 0$
可得二次项系数为5，一次项系数为5，常数项为-4。
【答案】
(1) 一般形式为$x^2+6x+2=0$，二次项系数为1，一次项系数为6，常数项为2；
(2) 一般形式为$5x^2+5x-4=0$，二次项系数为5，一次项系数为5，常数项为-4。
【知识点】
一元二次方程一般形式，整式乘法运算，合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考查对一元二次方程一般形式的掌握，解题时要注意移项的符号变化、多项式展开的运算准确性，避免因细节失误丢分。
【难度系数】
0.8
