7. 如图，O是$△ ABC$的内心，过点O作$EF// AC$，与AB、BC分别交于点E、F，则 （ ）
A. $EF＞AE+CF$
B. $EF＜AE+CF$
C. $EF=AE+CF$
D. $EF≤ AE+CF$




（第7题）
（第8题）
（第9题）
（第10题）

C

8. 如图，$\odot O$的直径$AB$为$10\ \mathrm{cm}$，$E$是$\odot O$内接三角形$ABC$的内心，$CE$的延长线交$\odot O$于点$D$，则$DE$的长为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}.$

$5\sqrt{2}$

9. 如图所示的网格由边长均为1个单位长度的小正方形组成，若点A、B、C在平面直角坐标系中的坐标分别为$(3,6)$、$(-3,3)$、$(7,-2)$，则$△ ABC$内心的坐标为______．

$(2,3)$

10. (2023·天门)如图,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的内切圆⊙O与AB、BC分别相切于点D、E,连接DE,AO的延长线交DE于点F,则∠AFD=______.

$35^{\circ}$

11. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$\odot O$是$△ ABC$的内切圆,它与$AB$、$BC$、$CA$分别相切于点$D$、$E$、$F$.
(1)求证:$BE=CE$.
(2)若$∠ A=90°$,$AB=AC=2$,求$\odot O$的半径.

(1) 证明：连接$BO$、$CO$、$OE。$ 因为$\odot O$是$\triangle ABC$的内切圆，所以$BO$、$CO$分别平分$\angle ABC$、$\angle ACB，$则$\angle OBC=\frac{1}{2}\angle ABC，$$\angle OCB=\frac{1}{2}\angle ACB。$ 又因为$AB = AC，$所以$\angle ABC = \angle ACB，$那么$\angle OBC=\angle OCB，$所以$OB = OC。$ 又因为$\odot O$与$BC$相切于点$E，$所以$OE\perp BC，$根据等腰三角形三线合一，可得$BE = CE。$ (2) 解：连接$OD$、$OF$、$OA。$ 由题意可得，四边形$ADOF$是正方形，设$OD = AD = AF = r。$ 在$\triangle ABC$中，$\angle A = 90^{\circ}，$$AB = AC = 2，$根据勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}。$ 因为$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle OAB}+S_{\triangle OBC}+S_{\triangle OAC}，$即$\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}AB\cdot OD+\frac{1}{2}BC\cdot OE+\frac{1}{2}AC\cdot OF，$也就是$\frac{1}{2}\times2\times2=\frac{1}{2}\times2r+\frac{1}{2}\times2\sqrt{2}r+\frac{1}{2}\times2r，$ $2 = r+\sqrt{2}r+r，$$2=(2 + \sqrt{2})r，$解得$r = 2-\sqrt{2}，$所以$\odot O$的半径是$2-\sqrt{2}。$ ;

12. 如图，PA是$\odot O$的切线，切点为A，AC是$\odot O$的直径，连接OP交$\odot O$于点E. 过点A作$AB⊥ OP$于点D，交$\odot O$于点B，连接BC、PB.
(1)求证：PB是$\odot O$的切线.
(2)求证：E为$△ PAB$的内心.

(1) 证明：连接$OB。$ 因为$AC$为$\odot O$的直径，所以$\angle ABC = 90^{\circ}。$ 因为$AB\perp OP，$所以$OP// BC，$则$\angle AOP = \angle C，$$\angle BOP = \angle OBC。$ 因为$OB = OC，$所以$\angle OBC = \angle C，$所以$\angle AOP = \angle BOP。$ 在$\triangle BOP$和$\triangle AOP$中，$\begin{cases}OB = OA\\\angle BOP = \angle AOP\\OP = OP\end{cases}，$所以$\triangle BOP\cong\triangle AOP(SAS)，$所以$\angle OBP = \angle OAP。$ 因为$PA$为$\odot O$的切线，所以$\angle OAP = 90^{\circ}，$所以$\angle OBP = 90^{\circ}，$所以$PB$是$\odot O$的切线。 (2) 证明：连接$AE。$ 因为$PA$为$\odot O$的切线，所以$\angle PAE+\angle OAE = 90^{\circ}。$ 因为$AD\perp ED，$所以$\angle EAD+\angle AED = 90^{\circ}。$ 因为$OE = OA，$所以$\angle OAE = \angle AED，$所以$\angle PAE = \angle DAE，$即$AE$平分$\angle PAD。$ 由
(1)得$\triangle BOP\cong\triangle AOP，$所以$\angle BPO = \angle APO，$所以$PD$平分$\angle APB，$所以$E$为$\triangle PAB$的内心。 ;