用直接开平方法解一元二次方程
1. 根据，把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.
2. 方程 $x^2 = p$ 的根
(1) 当 $p＞0$ 时，方程有两个不相等的实数根；
(2) 当 $p=0$ 时，方程有两个相等的实数根；
(3) 当 $p＜0$ 时，方程实数根.

1. 平方根的意义
2.(1) $x_1=\sqrt{p},x_2=-\sqrt{p}$
(2) $x_1=x_2=0$
(3) 无

典例 解下列方程:
(1)$9x^2 = 25$;
(2)$6(x + 2)^2 = 48$;
(3)$9x^2 + 6x + 1 = 7$.
规律方法 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤:(1)将方程化成左边是含有未知数的完全平方式,且完全平方式的系数为1,右边是常数的形式.(2)若方程的右边是一个非负数,则可以根据平方根的意义开平方求解;若方程的右边是一个负数,则原方程无实数根.

解：
(1)
方程两边同时除以9，得
$x^2=\frac{25}{9}$
根据平方根的意义，开平方得
$x=\pm\frac{5}{3}$
即$x_1=\frac{5}{3}$，$x_2=-\frac{5}{3}$。
(2)
方程两边同时除以6，得
$(x+2)^2=8$
根据平方根的意义，开平方得
$x+2=\pm2\sqrt{2}$
移项得
$x=-2\pm2\sqrt{2}$
即$x_1=-2+2\sqrt{2}$，$x_2=-2-2\sqrt{2}$。
(3)
左边因式分解化为完全平方式，得
$(3x+1)^2=7$
根据平方根的意义，开平方得
$3x+1=\pm\sqrt{7}$
移项、系数化为1得
$x=\frac{-1\pm\sqrt{7}}{3}$
即$x_1=\frac{-1+\sqrt{7}}{3}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{7}}{3}$。

举一反三 解下列方程：
(1)$4x^2 -1=0$；
(2)$(x-3)^2=2$；
(3)$81(x-2)^2=16$.
典例解析

解 (1)移项,并将二次项系数化为1,得 $x^2=\frac{1}{4}$.
由此可得 $x=\pm \frac{1}{2}$,即 $x_1=\frac{1}{2},x_2=-\frac{1}{2}$.
(2)根据平方根的意义,得 $x-3=\pm \sqrt{2}$,
$x-3=\sqrt{2}$,或 $x-3=-\sqrt{2}$,
即 $x_1=3+\sqrt{2},x_2=3-\sqrt{2}$.
(3)整理,得$(x-2)^2=\frac{16}{81}$.
由此可得 $x-2=\pm \frac{4}{9},x-2=\frac{4}{9}$,或 $x-2=-\frac{4}{9}$,即 $x_1=\frac{22}{9},x_2=\frac{14}{9}$.