1. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 6$,$BC = 8$,$\angle ABC = 90^{\circ}$,若$P是AC$上的一个动点,连接$BP$,求$AP + BP + CP$的最小值.

$\frac{74}{5}$

在$\triangle ABC$中，$\angle ABC=90°$，$AB=6$，$BC=8$。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
因为$P$在$AC$上，所以$AP+CP=AC=10$，则$AP+BP+CP=AC+BP=10+BP$。
要使$AP+BP+CP$最小，需使$BP$最小。
根据垂线段最短，当$BP\perp AC$时，$BP$最小（即$AC$边上的高）。
$\triangle ABC$面积$S=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}×6×8=24$，
又$S=\frac{1}{2}AC\cdot BP$，即$24=\frac{1}{2}×10\cdot BP$，解得$BP=\frac{24}{5}$。
故$AP+BP+CP$的最小值为$10+\frac{24}{5}=\frac{74}{5}$。

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 8\mathrm{cm}$,$AC = 17\mathrm{cm}$,$BC = 15\mathrm{cm}$,动点$P从点B出发沿BA方向以2\mathrm{cm}/\mathrm{s}的速度运动至点A$,动点$Q从点C出发沿CB方向以6\mathrm{cm}/\mathrm{s}的速度运动至点B$,$P$,$Q$两点同时出发.
(1)求$\angle B$的度数；
(2)当$P$,$Q两点运动2\mathrm{s}$时,求$P$,$Q$两点之间的距离.

(1) 在$\triangle ABC$中，$AB=8\mathrm{cm}$，$BC=15\mathrm{cm}$，$AC=17\mathrm{cm}$。
$\because AB^2 + BC^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$，$AC^2 = 17^2 = 289$，
$\therefore AB^2 + BC^2 = AC^2$，
$\therefore \triangle ABC$是直角三角形，且$\angle B = 90°$。
(2) 当运动时间为$2\mathrm{s}$时：
动点$P$的路程：$BP = 2 × 2 = 4\mathrm{cm}$，
动点$Q$的路程：$CQ = 6 × 2 = 12\mathrm{cm}$，则$BQ = BC - CQ = 15 - 12 = 3\mathrm{cm}$。
$\because \angle B = 90°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}\triangle BPQ$中，由勾股定理得：
$PQ = \sqrt{BP^2 + BQ^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\mathrm{cm}$。
(1) $\angle B = 90°$；(2) $PQ = 5\mathrm{cm}$。

3. 如图,正方形$ABCD的边长为8$,点$M在DC$上,且$DM = 2$,$N是AC$上的一动点,连接$DN$,$MN$,求$DN + MN$的最小值.

连接BM交AC于点N，此时DN+MN最小。
∵四边形ABCD是正方形，∴点D与点B关于AC对称，∴DN=BN。
∴DN+MN=BN+MN=BM。
∵正方形边长为8，DM=2，∴MC=DC-DM=8-2=6。
在Rt△BCM中，BC=8，MC=6，∠BCM=90°，
∴BM=√(BC²+MC²)=√(8²+6²)=√100=10。
∴DN+MN的最小值为10。

4. 如图,牧童在$A$处放牛,其家在$B$处,$A$,$B处到河岸的距离AC = BD = 3\mathrm{m}$,$CD = 8\mathrm{m}$. 牧童从$A$处把牛牵到河边饮水后再回家,试问在何处饮水,所走路程最短？在图中作出该处标为点$M$,并求出最短路程.

作点$A$关于$CD$的对称点$A'$，连接$A'B$，交$CD$于点$M$，点$M$即为所求作的点。
过点$A'$作$A'E\perp BD$的延长线于点$E$。
由对称性可知$AC = A'C = 3m$，$AM = A'M$，$\angle A' = \angle A$。
因为$AC = 3m$，$BD = 3m$，所以$A'E = CD = 8m$，$BE = BD + DE = BD + AC = 6m$。
在$Rt\triangle A'EB$中，根据勾股定理$A'B=\sqrt{A'E^{2}+BE^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}} = 10m$。
因为$AM + BM = A'M + BM = A'B$，所以最短路程为$10m$。
故在$CD$上距离$C$点（通过测量或计算比例可得具体位置，理论位置为$A'$与$B$连线与$CD$交点）处为点$M$，最短路程为$10m$。

5. 如图,在等腰三角形$ACB$中,$AC = BC = 5$,$AB = 8$,$D为底边AB$上一动点(不与点$A$,$B$重合),过点$D分别作DE \perp AC$,$DF \perp BC$,垂足分别为$E$,$F$,求$DE + DF$的值.

24/5

过点C作CH⊥AB于H，
∵AC=BC=5，AB=8，
∴AH=HB=4。
在Rt△ACH中，CH²=AC² - AH²=5² - 4²=9，
∴CH=3。
S△ACB=AB·CH/2=8×3/2=12。
连接CD，
∵S△ACB=S△ACD + S△BCD，
S△ACD=AC·DE/2，S△BCD=BC·DF/2，
AC=BC=5，
∴12=(5·DE)/2 + (5·DF)/2=(5/2)(DE+DF)。
∴DE+DF=24/5。