19. (9 分)如图,在平面直角坐标系中,点 D 的坐标为(0,3),以 D 为圆心,5 个单位长度为半径作圆,交 x 轴于点 M,N,△ABC 的边 BC 在 x 轴上,∠ACB = 90°,∠ABC = 30°,点 B 的坐标为(22,0),BC = 10,△ABC 先在 x 轴水平向左运动,当△ABC 的边第一次与⊙D 相切时,将△ABC 向上平移 3 个单位长度,继续水平向左运动,当点 B 运动到⊙D 上时,停止运动。已知整个运动过程中△ABC 的运动速度始终为每秒 2 个单位长度。设运动时间为 t 秒。
(1)当 t 为何值时,△ABC 的边第一次与⊙D 相切？
(2)当△ABC 的边第二次与⊙D 相切时,求 t 的值及△ABC 与⊙D 公共部分的面积；
(3)在△ABC 整个运动过程中,当△ABC 的边与⊙D 有两个公共点时,直接写出 t 的取值范围。
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（1）$t=3.5$秒时，$\triangle ABC$的边第一次与$\odot D$相切；（2）$t=7.5$秒，面积为$\frac{25\pi}{4}$；（3）当$\triangle ABC$的边与$\odot D$有两个公共点时，$t$的取值范围为$5＜ t＜7.5$.

20. (9 分)已知：A,B 为⊙O 上两定点,点 C 在该圆上,∠C 为$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角。
【知识回顾】
(1)如图(1),在⊙O 中,B,C 位于直线 AO 异侧,∠AOB + ∠C = 135°。
① 求∠C 的度数；② 若⊙O 的半径为 5,AC = 8,求 BC 的长。
【逆向思考】
(2)如图(2),P 为圆内一点,且∠APB ＜ 120°,PA = PB,∠APB = 2∠C。求证：P 为该圆的圆心。
【拓展应用】
(3)如图(3),在(2)的条件下,若∠APB = 90°,点 C 在⊙P 位于直线 AP 上方部分的圆弧上运动。点 D 在⊙P 上,满足 CD = $\sqrt{2}$CB - CA 的所有点 D 中,必有一个点的位置始终不变。请证明。
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（1）①$45^{\circ}$；②$7\sqrt{2}$；（2）证明：延长$AP$交圆于点$N$，则$\angle C=\angle N$.$\because$ $\angle APB=2\angle C$，$\therefore$ $\angle APB=2\angle N$.$\because$ $\angle APB=\angle N+\angle PBN$， $\therefore$ $\angle N=\angle PBN$，$\therefore$ $PN=PB$.$\because$ $PA=PB$，$\therefore$ $PA=PB=PN$，$\therefore$ $P$为该圆的圆心.（3）证明：过点$B$作$BC$的垂线交$CA$的延长线于点$E$，连接$AB$，延长$AP$交圆于点$F$，连接$CF$，$FB$.$\because$ $\angle APB=90^{\circ}$，$\angle C=45^{\circ}$，$\therefore$ $\triangle BCE$是等腰直角三角形，$\therefore$ $BE=BC$.$\because$ $BP\perp AF$，$PA=PF$，$\therefore$ $BA=BF$.$\because$ $AF$是直径，$\therefore$ $\angle ABF=90^{\circ}$，$\therefore$ $\angle EBC=\angle ABF=90^{\circ}$，$\therefore$ $\angle EBA=\angle CBF$，$\therefore$ $\triangle EBA\cong\triangle CBF$（SAS），$\therefore$ $AE=CF$.$\because$ $CD=\sqrt{2}CB-CA=CE-CA=AE$， $\therefore$ $CD=CF$，$\therefore$ 必有一个点$D$的位置始终不变，点$F$即为所求.