1[2026北京西城区质检]西周数学家商高总结了用“矩”(如图(1))测量物高的方法:把“矩”水平放置在如图(2)所示的位置,从“矩”的一端A(人眼)望点E,使视线通过点C,记人站立的位置为点B,量出BG长,即可算得物高EG.令BG=x m,EG=y m,若a=30 cm,b=60 cm,AB=1.6 m,则y关于x的函数表达式为 ()

A.$y=\frac{1}{2}x$
B.$y=\frac{1}{2}x+1.6$
C.$y=2x+1.6$
D.$y=\frac{180}{x}+1.6$

B

过点A作AH⊥EG于H，由题意可知四边形ABGH为矩形，因此AH=BG=x m，HG=AB=1.6 m。将单位换算：a=30 cm=0.3 m，b=60 cm=0.6 m。由CD//EH可得△ACD∽△AEH，根据相似三角形对应边成比例有$\frac{CD}{EH}=\frac{AD}{AH}$，代入数值得$\frac{0.3}{EH}=\frac{0.6}{x}$，解得$EH=\frac{1}{2}x$。结合$EG=EH+HG$，可得$y=\frac{1}{2}x+1.6$。

2 [2026 浙江杭州期末]如图，为了估算河的宽度，先在河的一岸选定点B和C，再在河的对岸选定一个目标点A，使AB⊥BC，然后再选定点E，使EC⊥BC，用视线确定BC与AE的交点D。此时，测得BD=100米，DC=50米，EC=40米，则河的宽度AB大致是米。

$\boldsymbol{80}$

解：
∵ $AB ⊥ BC$，$EC ⊥ BC$，
∴ $∠ B = ∠ C = 90°$，
又∵ $∠ ADB = ∠ EDC$，
∴ $△ ABD ∽ △ ECD$，
∴ $\frac{AB}{EC} = \frac{BD}{CD}$，
将$BD=100$米，$DC=50$米，$EC=40$米代入得：
$\frac{AB}{40} = \frac{100}{50}$，
解得$AB=80$米。
最终

3[2025浙江温州期末]在学习了“相似三角形”之后，学生们积极进行实践活动，小丽和小颖所在的数学兴趣小组准备测量旗杆的高度AB，有以下两种方案：
方案一：如图(1)，在距离旗杆底端B 30 m远的D处竖立一根高2 m的标杆CD，小丽在F处站立，她的眼睛所在位置E、标杆的顶端C和旗杆顶端A在一条直线上。已知小丽的眼睛到地面的距离EF=1.5 m，DF=1.5 m，AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，点F，D，B在同一直线上。
方案二：如图(2)，小颖拿着一根长为16 cm的木棒KP站在离旗杆30 m远的地方(即点M到AB的距离为30 m)。她把手臂向前伸并使木棒KP//AB，当观察到木棒两端恰好遮住旗杆(即M，K，A在一条直线上，M，P，B在一条直线上)时，点M到木棒KP的距离为40 cm。
请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求旗杆的高度AB。

选择方案一求解：
解：过点E作$EG ⊥ AB$，垂足为G，交CD于点H。
$\because AB ⊥ BF$，$CD ⊥ BF$，$EF ⊥ BF$，
$\therefore$ 四边形$EFDH$、四边形$EFBG$均为矩形，
$\therefore EH = DF = 1.5\ \mathrm{m}$，$EG = DF + BD = 1.5 + 30 = 31.5\ \mathrm{m}$，
$CH = CD - EF = 2 - 1.5 = 0.5\ \mathrm{m}$，$BG = EF = 1.5\ \mathrm{m}$。
$\because CD // AB$，
$\therefore △ ECH ∽ △ EAG$，
$\therefore \frac{CH}{AG}=\frac{EH}{EG}$，
代入数据得 $\frac{0.5}{AG}=\frac{1.5}{31.5}$，
解得 $AG = 10.5\ \mathrm{m}$，
$\therefore AB = AG + BG = 10.5 + 1.5 = 12\ \mathrm{m}$。
答：旗杆的高度$AB$为$12\ \mathrm{m}$。
---
若选择方案二求解：
解：设点M到AB的垂线段长度为$h_1$，点M到KP的垂线段长度为$h_2$，
由题意得 $KP // AB$，$h_1=30\ \mathrm{m}$，$KP=16\ \mathrm{cm}=0.16\ \mathrm{m}$，$h_2=40\ \mathrm{cm}=0.4\ \mathrm{m}$。
$\because KP // AB$，
$\therefore △ MKP ∽ △ MAB$，
$\therefore \frac{KP}{AB}=\frac{h_2}{h_1}$，
代入数据得 $\frac{0.16}{AB}=\frac{0.4}{30}$，
解得 $AB=12\ \mathrm{m}$。
答：旗杆的高度$AB$为$12\ \mathrm{m}$。

4[2025浙江宁波质检]如图是长方体箱子沿着斜面向上运动的纵截面,箱高$AB=1.2\ \mathrm{m}$.当$BC=2.5\ \mathrm{m}$时,点B到地面的距离$BE=1.5\ \mathrm{m}$,则点A到地面的距离AD为 ()


A.2.6 m
B.2.5 m
C.2.46 m
D.2.22 m

(第4题图)
(第5题图)

C

1. 首先在$Rt△ BCE$中，由勾股定理计算$CE$：
$CE=\sqrt{BC^2-BE^2}=\sqrt{2.5^2-1.5^2}=2\ \mathrm{m}$。
2. 过点$B$作$BG⊥ AD$，垂足为$G$，可得四边形$DEBG$是矩形，因此$DG=BE=1.5\ \mathrm{m}$。
3. 由$∠ AGB=∠ BEC=90°$，$∠ ABG+∠ GBE=90°$，$∠ CBE+∠ GBE=90°$，推出$∠ ABG=∠ CBE$，因此$△ ABG ∽ △ CBE$。
4. 根据相似三角形对应边成比例：$\frac{AG}{CE}=\frac{AB}{CB}$，代入数值$\frac{AG}{2}=\frac{1.2}{2.5}$，解得$AG=0.96\ \mathrm{m}$。
5. 最终计算$AD=AG+DG=0.96+1.5=2.46\ \mathrm{m}$。

5[2025浙江宁波调研]如图是一个常见的铁夹的剖面示意图，OA，OB表示铁夹的剖面的两条边，点C是转动轴的位置，$CD ⊥ OA$，垂足为D，$DA=15\ \mathrm{mm}$，$DO=24\ \mathrm{mm}$，$DC=10\ \mathrm{mm}$，且铁夹的剖面示意图是轴对称图形，则A，B两点间的距离为.

$\boldsymbol{30\ \mathrm{mm}}$

解：连接AB，延长OC交AB于点E。
∵铁夹的剖面示意图是轴对称图形，
∴OE为图形的对称轴，OE⊥AB，AE=BE。
∵CD⊥OA，
∴∠ODC=∠OEA=90°，
又∵∠COD=∠AOE，
∴△OCD∽△OAE。
在Rt△ODC中，$OC=\sqrt{OD^2+DC^2}=\sqrt{24^2+10^2}=26\ \mathrm{mm}$。
∵$OA=OD+DA=24+15=39\ \mathrm{mm}$，
由相似三角形性质得：$\frac{CD}{AE}=\frac{OC}{OA}$，
即$\frac{10}{AE}=\frac{26}{39}$，
解得$AE=15\ \mathrm{mm}$，
∴$AB=2AE=30\ \mathrm{mm}$。
最终