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12.「2025山西中考，★☆」如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别以点B,C为圆心,BC的长为半径画弧,与BA,CA的延长线分别交于点D,E.若BC=4,则图中阴影部分的面积为（
A.2π−4
B.4π−4
C.8π−8
D.4π−8
D
）A.2π−4
B.4π−4
C.8π−8
D.4π−8
答案
12.D
∵$∠BAC=90°,AB=AC$,
∴$∠ABC=∠ACB=45°$,
∵BC=4,
∴$S_{\mathrm{扇形}CBE}=S_{\mathrm{扇形}BCD}=\frac{45×π×4^2}{360}=2π$,$AB=AC=2\sqrt{2}$.
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$,
∴$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}CBE}+S_{\mathrm{扇形}BCD}-2S_{△ABC}=2π+2π-8=4π-8$.故选D.
∵$∠BAC=90°,AB=AC$,
∴$∠ABC=∠ACB=45°$,
∵BC=4,
∴$S_{\mathrm{扇形}CBE}=S_{\mathrm{扇形}BCD}=\frac{45×π×4^2}{360}=2π$,$AB=AC=2\sqrt{2}$.
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$,
∴$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}CBE}+S_{\mathrm{扇形}BCD}-2S_{△ABC}=2π+2π-8=4π-8$.故选D.
解析
【分析】
解题时采用“和差法”计算阴影面积，首先观察图形构成：两个扇形分别以B、C为圆心，BC长为半径，圆心角为等腰直角△ABC的底角。阴影面积可转化为两个扇形的面积之和减去2倍△ABC的面积。第一步先根据等腰直角三角形的性质求出扇形的圆心角度数；第二步分别计算单个扇形面积和△ABC的面积；最后代入和差关系即可求出阴影面积。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
已知BC=4，即两个扇形的半径$r=4$，圆心角$n=45°$，
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$，可得：
$S_{扇形CBE}=S_{扇形BCD}=\frac{45×π×4^2}{360}=2π$
在等腰Rt△ABC中，斜边BC=4，根据勾股定理得：
$AB=AC=\sqrt{\frac{BC^2}{2}}=2\sqrt{2}$
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$
观察图形可知，阴影部分面积为两个扇形面积之和减去2个△ABC的面积：
$S_{阴影}=S_{扇形CBE}+S_{扇形BCD}-2S_{△ ABC}=2π+2π-2×4=4π-8$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
扇形面积计算，等腰直角三角形性质，割补法求面积
【点评】
本题为典型的组合图形面积计算题，核心是将不规则的阴影面积转化为规则图形的面积和差，解题时需准确识别扇形的圆心角、半径，明确各图形的重叠关系，代入对应公式计算即可。
【难度系数】
0.7
解题时采用“和差法”计算阴影面积，首先观察图形构成：两个扇形分别以B、C为圆心，BC长为半径，圆心角为等腰直角△ABC的底角。阴影面积可转化为两个扇形的面积之和减去2倍△ABC的面积。第一步先根据等腰直角三角形的性质求出扇形的圆心角度数；第二步分别计算单个扇形面积和△ABC的面积；最后代入和差关系即可求出阴影面积。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
已知BC=4，即两个扇形的半径$r=4$，圆心角$n=45°$，
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$，可得：
$S_{扇形CBE}=S_{扇形BCD}=\frac{45×π×4^2}{360}=2π$
在等腰Rt△ABC中，斜边BC=4，根据勾股定理得：
$AB=AC=\sqrt{\frac{BC^2}{2}}=2\sqrt{2}$
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$
观察图形可知，阴影部分面积为两个扇形面积之和减去2个△ABC的面积：
$S_{阴影}=S_{扇形CBE}+S_{扇形BCD}-2S_{△ ABC}=2π+2π-2×4=4π-8$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
扇形面积计算，等腰直角三角形性质，割补法求面积
【点评】
本题为典型的组合图形面积计算题，核心是将不规则的阴影面积转化为规则图形的面积和差，解题时需准确识别扇形的圆心角、半径，明确各图形的重叠关系，代入对应公式计算即可。
【难度系数】
0.7
13.聚焦 中考 尺规作图 「2025浙江中考，★☆」如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ A=35°$，$CD$是斜边$AB$上的中线，以点$C$为圆心，$CD$长为半径作弧，与$AB$的另一个交点为$E$。若$AB=2$，则$\overset{\frown}{DE}$的长为（
A.$\frac{1}{9}π$
B.$\frac{2}{9}π$
C.$\frac{11}{36}π$
D.$\frac{7}{18}π$
B
）A.$\frac{1}{9}π$
B.$\frac{2}{9}π$
C.$\frac{11}{36}π$
D.$\frac{7}{18}π$
答案
13.B 连接CE(图略),
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,
∴$CD=\frac{1}{2}AB=AD=1$,
∴$∠DCA=∠A=35°$,
∴$∠CDB=∠DCA+∠A=70°$.
∵CD=CE,
∴$∠CED=∠CDE=70°$,
∴$∠DCE=180°-2×70°=40°$,
∴$\overset{\frown}{DE}$的长=$\frac{40×π×1}{180}=\frac{2}{9}π$.
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,
∴$CD=\frac{1}{2}AB=AD=1$,
∴$∠DCA=∠A=35°$,
∴$∠CDB=∠DCA+∠A=70°$.
∵CD=CE,
∴$∠CED=∠CDE=70°$,
∴$∠DCE=180°-2×70°=40°$,
∴$\overset{\frown}{DE}$的长=$\frac{40×π×1}{180}=\frac{2}{9}π$.
解析
【分析】
要求弧$\overset{\frown}{DE}$的长，需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，因此要先确定弧对应的圆心角$∠ DCE$的度数，以及圆的半径$CD$的长度。首先根据直角三角形斜边中线的性质求出$CD$的长度，再结合等腰三角形的性质、三角形外角和内角和定理逐步求出$∠ DCE$的度数，最后代入公式计算即可。
【解析】
解：连接$CE$，
∵ $CD$是$Rt△ ABC$斜边$AB$上的中线，
∴ $CD=\frac{1}{2}AB=AD=BD=\frac{1}{2}×2=1$，
∴ $△ ACD$为等腰三角形，$∠ DCA=∠ A=35°$，
由三角形外角的性质可得，$∠ CDB=∠ DCA+∠ A=35°+35°=70°$，
∵ $CD$、$CE$均为圆$C$的半径，
∴ $CD=CE$，即$△ CDE$为等腰三角形，
∴ $∠ CED=∠ CDE=70°$，
由三角形内角和为$180°$可得，$∠ DCE=180°-70°×2=40°$，
代入弧长公式得$\overset{\frown}{DE}$的长$=\frac{40×π×1}{180}=\frac{2}{9}π$。
【答案】B
【知识点】直角三角形斜边中线性质；等腰三角形性质；弧长计算
【点评】本题是基础几何计算题，解题的核心是熟练掌握特殊三角形的性质，准确找到弧长计算所需的圆心角和半径两个核心量，是弧长相关计算的典型考法。
【难度系数】
0.7
要求弧$\overset{\frown}{DE}$的长，需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，因此要先确定弧对应的圆心角$∠ DCE$的度数，以及圆的半径$CD$的长度。首先根据直角三角形斜边中线的性质求出$CD$的长度，再结合等腰三角形的性质、三角形外角和内角和定理逐步求出$∠ DCE$的度数，最后代入公式计算即可。
【解析】
解：连接$CE$，
∵ $CD$是$Rt△ ABC$斜边$AB$上的中线，
∴ $CD=\frac{1}{2}AB=AD=BD=\frac{1}{2}×2=1$，
∴ $△ ACD$为等腰三角形，$∠ DCA=∠ A=35°$，
由三角形外角的性质可得，$∠ CDB=∠ DCA+∠ A=35°+35°=70°$，
∵ $CD$、$CE$均为圆$C$的半径，
∴ $CD=CE$，即$△ CDE$为等腰三角形，
∴ $∠ CED=∠ CDE=70°$，
由三角形内角和为$180°$可得，$∠ DCE=180°-70°×2=40°$，
代入弧长公式得$\overset{\frown}{DE}$的长$=\frac{40×π×1}{180}=\frac{2}{9}π$。
【答案】B
【知识点】直角三角形斜边中线性质；等腰三角形性质；弧长计算
【点评】本题是基础几何计算题，解题的核心是熟练掌握特殊三角形的性质，准确找到弧长计算所需的圆心角和半径两个核心量，是弧长相关计算的典型考法。
【难度系数】
0.7
14.「★☆」如图，半径为5的扇形AOB中，$∠ AOB = 90°$，C是$\overset{\frown}{AB}$上一点，$CD ⊥ OA$，$CE ⊥ OB$，垂足分别为D，E，若$CD = CE$，则图中阴影部分的面积为（
A.$\frac{25π}{16}$
B.$\frac{25π}{8}$
C.$\frac{25π}{6}$
D.$\frac{25π}{4}$
B
）A.$\frac{25π}{16}$
B.$\frac{25π}{8}$
C.$\frac{25π}{6}$
D.$\frac{25π}{4}$
答案
14.B 如图所示,连接OC,
∵$CD⊥OA,CE⊥OB,∠AOB=90°$,
∴四边形CDOE是矩形,
∵CD=CE,
∴四边形CDOE是正方形,
∴$S_{△CDE}=S_{△OCE},∠COE=45°$,
∴图中阴影部分面积=$S_{\mathrm{扇形}BOC}=\frac{45}{360}π×5^2=\frac{25}{8}π$,
故选B.
解析
【分析】
求解不规则阴影部分的面积，优先考虑通过等积转化为规则图形计算。首先根据已知的垂直关系和∠AOB=90°可判定四边形CDOE的形状，结合CD=CE可确定它是正方形，借助正方形的性质可将阴影部分面积转化为扇形BOC的面积，再求出扇形的圆心角度数，代入扇形面积公式即可得出结果。
【解析】
解：如图所示，连接OC，
∵$CD⊥OA$，$CE⊥OB$，$∠AOB=90°$，
∴四边形CDOE是矩形（有三个角为直角的四边形是矩形），
又
∵$CD=CE$，
∴矩形CDOE是正方形（邻边相等的矩形是正方形），
∴$S_{△CDE}=S_{△OCE}$，$∠COE=45°$，
因此阴影部分的面积等价于扇形BOC的面积，
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπr^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），代入$n=45$，$r=5$得：
$S_{阴影}=S_{扇形BOC}=\frac{45}{360}π×5^2=\frac{25π}{8}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
扇形面积计算，正方形的判定，等积转化求面积
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型基础题，解题核心是通过添加辅助线OC，利用正方形的性质实现等积转化，将不规则面积问题转化为熟悉的扇形面积计算问题，解题思路清晰，是平面几何中常见的考点。
【难度系数】
0.7
求解不规则阴影部分的面积，优先考虑通过等积转化为规则图形计算。首先根据已知的垂直关系和∠AOB=90°可判定四边形CDOE的形状，结合CD=CE可确定它是正方形，借助正方形的性质可将阴影部分面积转化为扇形BOC的面积，再求出扇形的圆心角度数，代入扇形面积公式即可得出结果。
【解析】
解：如图所示，连接OC，
∵$CD⊥OA$，$CE⊥OB$，$∠AOB=90°$，
∴四边形CDOE是矩形（有三个角为直角的四边形是矩形），
又
∵$CD=CE$，
∴矩形CDOE是正方形（邻边相等的矩形是正方形），
∴$S_{△CDE}=S_{△OCE}$，$∠COE=45°$，
因此阴影部分的面积等价于扇形BOC的面积，
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπr^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），代入$n=45$，$r=5$得：
$S_{阴影}=S_{扇形BOC}=\frac{45}{360}π×5^2=\frac{25π}{8}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
扇形面积计算，正方形的判定，等积转化求面积
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型基础题，解题核心是通过添加辅助线OC，利用正方形的性质实现等积转化，将不规则面积问题转化为熟悉的扇形面积计算问题，解题思路清晰，是平面几何中常见的考点。
【难度系数】
0.7
15.「2024吉林长春中考，★☆」一块含$30°$角的直角三角尺ABC按如图所示的方式摆放，边AB在直线l上，AB=12 cm.现将该三角尺绕点B顺时针旋转，使点C的对应点$C'$落在直线l上，则点A经过的路径长至少为
8π
cm.（结果保留$π$）答案
15.答案 $8π$
解析 由题意得,点A经过的路径是以B为圆心的弧$AA'$.
∵$∠CAB=30°,∠C=90°$,
∴$∠ABC=60°$,
∴$∠A'BC'=60°$,
∴$∠ABA'=120°$,
∴弧$AA'$的长度为$\frac{120×π×12}{180}=8π$(cm).
解析 由题意得,点A经过的路径是以B为圆心的弧$AA'$.
∵$∠CAB=30°,∠C=90°$,
∴$∠ABC=60°$,
∴$∠A'BC'=60°$,
∴$∠ABA'=120°$,
∴弧$AA'$的长度为$\frac{120×π×12}{180}=8π$(cm).
解析
【分析】
要解决本题，首先明确点A旋转的路径是以点B为圆心、AB长为半径的圆弧，需先求出这段圆弧对应的圆心角（即旋转角）的度数，再代入弧长公式计算路径长。第一步先根据含30°角的直角三角尺的内角特征求出∠ABC的度数，第二步结合平角的定义求出旋转角∠ABA'的度数，第三步代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
解：由旋转的性质可知，点A经过的路径是以B为圆心，AB长为半径的弧$\overset{\frown}{AA'}$。
∵ 在$Rt△ ABC$中，$∠ CAB=30°$，$∠ C=90°$，
∴ $∠ ABC=180°-90°-30°=60°$，
由旋转的性质可得$∠ A'BC'=∠ ABC=60°$，
∵ 点A、B、$C'$在直线$l$上，
∴ $∠ ABA'=180°-∠ A'BC'=180°-60°=120°$，
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径），代入$n=120$，$r=AB=12\mathrm{cm}$得：
$\overset{\frown}{AA'}$的长度$=\frac{120×π×12}{180}=8π(\mathrm{cm})$。
【答案】
$8π$
【知识点】
弧长计算，旋转的性质，直角三角形内角和
【点评】
本题结合三角尺旋转场景考查弧长的计算，解题核心是准确确定旋转路径的圆心、半径以及对应圆心角的度数，属于基础题型，熟练掌握弧长公式即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先明确点A旋转的路径是以点B为圆心、AB长为半径的圆弧，需先求出这段圆弧对应的圆心角（即旋转角）的度数，再代入弧长公式计算路径长。第一步先根据含30°角的直角三角尺的内角特征求出∠ABC的度数，第二步结合平角的定义求出旋转角∠ABA'的度数，第三步代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
解：由旋转的性质可知，点A经过的路径是以B为圆心，AB长为半径的弧$\overset{\frown}{AA'}$。
∵ 在$Rt△ ABC$中，$∠ CAB=30°$，$∠ C=90°$，
∴ $∠ ABC=180°-90°-30°=60°$，
由旋转的性质可得$∠ A'BC'=∠ ABC=60°$，
∵ 点A、B、$C'$在直线$l$上，
∴ $∠ ABA'=180°-∠ A'BC'=180°-60°=120°$，
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径），代入$n=120$，$r=AB=12\mathrm{cm}$得：
$\overset{\frown}{AA'}$的长度$=\frac{120×π×12}{180}=8π(\mathrm{cm})$。
【答案】
$8π$
【知识点】
弧长计算，旋转的性质，直角三角形内角和
【点评】
本题结合三角尺旋转场景考查弧长的计算，解题核心是准确确定旋转路径的圆心、半径以及对应圆心角的度数，属于基础题型，熟练掌握弧长公式即可快速解答。
【难度系数】
0.8
16.「2025山东青岛中考，★☆」如图，在扇形AOB中，∠AOB=30°，OA=2√3，点C在OB上，且OC=AC。延长CB到D，使CD=CA。以CA，CD为邻边作平行四边形ACDE，则图中阴影部分的面积为
3√3−π
（结果保留π）。答案
16.答案 $3\sqrt{3}-π$
解析 如图,过点A作$AH⊥OD$于点H,
∵$∠AOB=30°,OA=2\sqrt{3}$,
∴$AH=\frac{1}{2}OA=\sqrt{3}$,
∵$OC=AC$,
∴$∠OAC=∠AOB=30°$,
∴$∠ACB=60°$,
∴$∠CAH=30°$,
∴$AC=2CH$.
在Rt△ACH中,$CH^2+AH^2=AC^2$,
∴$CH=1,AC=2$,
∴$CD=CA=OC=2$,
∴$S_{\mathrm{阴影部分}}=S_{△AOC}+S_{▱ACDE}-S_{\mathrm{扇形}OAB}$
$=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}+2×\sqrt{3}-\frac{30π×(2\sqrt{3})^2}{360}$
$=3\sqrt{3}-π$.
解析
【分析】
要求阴影部分的不规则图形面积，可采用割补法将其转化为规则图形面积的和差计算。第一步先作辅助线$AH⊥OD$，利用含30°角的直角三角形性质求出$AH$的长度；第二步根据$OC=AC$得到等腰三角形，推导角度求出$AC$、$CD$的长度；第三步分别计算$△ AOC$、平行四边形$ACDE$、扇形$OAB$的面积，最后用$△ AOC$面积加平行四边形面积减去扇形面积即可得到阴影面积。
【解析】
过点A作$AH⊥OD$于点H，
∵$∠AOB=30°$，$OA=2\sqrt{3}$，
∴在$Rt△ AOH$中，$AH=\frac{1}{2}OA=\sqrt{3}$，
∵$OC=AC$，
∴$∠OAC=∠AOB=30°$，
∴$∠ACB=∠O+∠OAC=60°$，
在$Rt△ ACH$中，$∠CAH=90°-∠ACB=30°$，
∴$AC=2CH$，
由勾股定理得$CH^2+AH^2=AC^2$，代入$AH=\sqrt{3}$、$AC=2CH$，
解得$CH=1$，$AC=2$，
∴$CD=CA=OC=2$，
则阴影部分面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ AOC}+S_{□ ACDE}-S_{\mathrm{扇形}OAB}$
$=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}+2×\sqrt{3}-\frac{30π×(2\sqrt{3})^2}{360}$
$=\sqrt{3}+2\sqrt{3}-π$
$=3\sqrt{3}-π$
【答案】
$3\sqrt{3}-π$
【知识点】
扇形面积计算、平行四边形面积计算、含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题考查不规则图形的面积求解，核心思路是通过割补法将不规则面积转化为规则图形面积的和差运算，解题时需要结合等腰三角形性质、直角三角形的特殊性质求出所需边长，对学生的图形转化能力和基础公式应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的不规则图形面积，可采用割补法将其转化为规则图形面积的和差计算。第一步先作辅助线$AH⊥OD$，利用含30°角的直角三角形性质求出$AH$的长度；第二步根据$OC=AC$得到等腰三角形，推导角度求出$AC$、$CD$的长度；第三步分别计算$△ AOC$、平行四边形$ACDE$、扇形$OAB$的面积，最后用$△ AOC$面积加平行四边形面积减去扇形面积即可得到阴影面积。
【解析】
过点A作$AH⊥OD$于点H，
∵$∠AOB=30°$，$OA=2\sqrt{3}$，
∴在$Rt△ AOH$中，$AH=\frac{1}{2}OA=\sqrt{3}$，
∵$OC=AC$，
∴$∠OAC=∠AOB=30°$，
∴$∠ACB=∠O+∠OAC=60°$，
在$Rt△ ACH$中，$∠CAH=90°-∠ACB=30°$，
∴$AC=2CH$，
由勾股定理得$CH^2+AH^2=AC^2$，代入$AH=\sqrt{3}$、$AC=2CH$，
解得$CH=1$，$AC=2$，
∴$CD=CA=OC=2$，
则阴影部分面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ AOC}+S_{□ ACDE}-S_{\mathrm{扇形}OAB}$
$=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}+2×\sqrt{3}-\frac{30π×(2\sqrt{3})^2}{360}$
$=\sqrt{3}+2\sqrt{3}-π$
$=3\sqrt{3}-π$
【答案】
$3\sqrt{3}-π$
【知识点】
扇形面积计算、平行四边形面积计算、含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题考查不规则图形的面积求解，核心思路是通过割补法将不规则面积转化为规则图形面积的和差运算，解题时需要结合等腰三角形性质、直角三角形的特殊性质求出所需边长，对学生的图形转化能力和基础公式应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
17.「★☆」一副三角尺ABC和DEF中，∠ACB = ∠CDE = 90°, ∠ABC = 30°, ∠DEC=45°, BC=EF=12.将它们叠合在一起，边BC与EF重合，CD与AB相交于点G（如图1），此时线段CG的长是
6√6−6√2
。现将△DEF绕点C(F)按顺时针方向旋转（如图2），边EF与AB相交于点H，连接DH，在旋转0°到60°的过程中，线段DH扫过的面积是18+12π−18√3
。答案
17.答案 $6\sqrt{6}-6\sqrt{2}$ ;$18+12π-18\sqrt{3}$
解析 如图1,作$GN⊥CB$于点N,则△CNG是等腰直角三角形,△GNB是含30°角的直角三角形.设CN=x,则GN=x,$NB=\sqrt{3}x$.
∴$x+\sqrt{3}x=12$,
∴$x=6\sqrt{3}-6$,
∴$CG=6\sqrt{6}-6\sqrt{2}$.如图2,易得$CD=BD=6\sqrt{2}$,$D'H'=CH'=6$,$BH'=6\sqrt{3}$,
∴扫过的面积=$S_{\mathrm{扇形}DCD'}+S_{△BCD}-(S_{△CD'H'}+S_{△BCH'})=\frac{60π×(6\sqrt{2})^2}{360}+\frac{1}{2}×(6\sqrt{2})^2-(\frac{1}{2}×6^2+\frac{1}{2}×6×6\sqrt{3})=12π+36-(18+18\sqrt{3})=12π+18-18\sqrt{3}$.
解析
【分析】
第一问求CG的长：已知三角尺中∠GCB=45°，∠ABC=30°，BC=12，可过G作GN⊥BC于点N，将△CGB拆分为等腰直角△CNG和含30°角的Rt△GNB，设CN=x，用含x的式子表示BN，结合BC的长度列方程求解x，再根据等腰直角三角形的三边关系即可求出CG。第二问求DH扫过的面积：首先明确△DEF绕点C顺时针旋转0°到60°的过程中，点D的运动轨迹是以C为圆心、CD长为半径、圆心角为60°的扇形，再分别计算扇形面积、对应三角形的面积，通过图形面积的和差关系即可求出DH扫过的面积。
【解析】
求CG的长
如图1，过点G作$GN⊥CB$于点N。
∵△CDE是等腰直角三角形，$∠ CDE=90°$，$∠ DEC=45°$，
∴$∠ GCN=45°$，即△CNG是等腰直角三角形，故$CN=GN$。
设$CN=x$，则$GN=x$。在$Rt△ GNB$中，$∠ ABC=30°$，
∴$BN=\frac{GN}{\tan30°}=\sqrt{3}x$。
由$BC=CN+BN=12$，得$x+\sqrt{3}x=12$，解得$x=6\sqrt{3}-6$。
在等腰$Rt△ CNG$中，$CG=\sqrt{2}CN=\sqrt{2}×(6\sqrt{3}-6)=6\sqrt{6}-6\sqrt{2}$。
求DH扫过的面积
首先计算CD的长度：在等腰$Rt△ CDE$中，$EF=CE=BC=12$，
∴$CD=CE·\sin45°=12×\frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$。
△DEF绕点C顺时针旋转60°时，点D旋转至$D'$，$∠ DCD'=60°$，点D的运动轨迹为扇形$DCD'$。
扇形$DCD'$的面积：$S_{扇形DCD'}=\frac{60π×(6\sqrt{2})^2}{360}=12π$。
旋转60°时，$∠ H'CB=60°$，$∠ ABC=30°$，故$∠ CH'B=90°$，得$CH'=BC·\sin30°=6$，$BH'=BC·\cos30°=6\sqrt{3}$。
面积和差计算：$S_{扫过}=S_{扇形DCD'}+S_{△ BCD}-(S_{△ CD'H'}+S_{△ BCH'})$，代入数值：
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×(6\sqrt{2})^2=36$，$S_{△ CD'H'}=\frac{1}{2}×6^2=18$，$S_{△ BCH'}=\frac{1}{2}×6×6\sqrt{3}=18\sqrt{3}$，
∴$S_{扫过}=12π+36-(18+18\sqrt{3})=12π+18-18\sqrt{3}$。
【答案】
$6\sqrt{6}-6\sqrt{2}$ ;$18+12π-18\sqrt{3}$
【知识点】
解直角三角形，扇形面积计算，旋转的性质
【点评】
本题结合三角板的旋转场景，综合考查了几何图形的性质与面积计算，解题的关键是准确拆分直角三角形求解线段长度，明确旋转过程中点的运动轨迹，通过面积和差计算不规则图形的面积，是几何综合类的典型题型。
【难度系数】
0.55
第一问求CG的长：已知三角尺中∠GCB=45°，∠ABC=30°，BC=12，可过G作GN⊥BC于点N，将△CGB拆分为等腰直角△CNG和含30°角的Rt△GNB，设CN=x，用含x的式子表示BN，结合BC的长度列方程求解x，再根据等腰直角三角形的三边关系即可求出CG。第二问求DH扫过的面积：首先明确△DEF绕点C顺时针旋转0°到60°的过程中，点D的运动轨迹是以C为圆心、CD长为半径、圆心角为60°的扇形，再分别计算扇形面积、对应三角形的面积，通过图形面积的和差关系即可求出DH扫过的面积。
【解析】
求CG的长
如图1，过点G作$GN⊥CB$于点N。
∵△CDE是等腰直角三角形，$∠ CDE=90°$，$∠ DEC=45°$，
∴$∠ GCN=45°$，即△CNG是等腰直角三角形，故$CN=GN$。
设$CN=x$，则$GN=x$。在$Rt△ GNB$中，$∠ ABC=30°$，
∴$BN=\frac{GN}{\tan30°}=\sqrt{3}x$。
由$BC=CN+BN=12$，得$x+\sqrt{3}x=12$，解得$x=6\sqrt{3}-6$。
在等腰$Rt△ CNG$中，$CG=\sqrt{2}CN=\sqrt{2}×(6\sqrt{3}-6)=6\sqrt{6}-6\sqrt{2}$。
求DH扫过的面积
首先计算CD的长度：在等腰$Rt△ CDE$中，$EF=CE=BC=12$，
∴$CD=CE·\sin45°=12×\frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$。
△DEF绕点C顺时针旋转60°时，点D旋转至$D'$，$∠ DCD'=60°$，点D的运动轨迹为扇形$DCD'$。
扇形$DCD'$的面积：$S_{扇形DCD'}=\frac{60π×(6\sqrt{2})^2}{360}=12π$。
旋转60°时，$∠ H'CB=60°$，$∠ ABC=30°$，故$∠ CH'B=90°$，得$CH'=BC·\sin30°=6$，$BH'=BC·\cos30°=6\sqrt{3}$。
面积和差计算：$S_{扫过}=S_{扇形DCD'}+S_{△ BCD}-(S_{△ CD'H'}+S_{△ BCH'})$，代入数值：
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×(6\sqrt{2})^2=36$，$S_{△ CD'H'}=\frac{1}{2}×6^2=18$，$S_{△ BCH'}=\frac{1}{2}×6×6\sqrt{3}=18\sqrt{3}$，
∴$S_{扫过}=12π+36-(18+18\sqrt{3})=12π+18-18\sqrt{3}$。
【答案】
$6\sqrt{6}-6\sqrt{2}$ ;$18+12π-18\sqrt{3}$
【知识点】
解直角三角形，扇形面积计算，旋转的性质
【点评】
本题结合三角板的旋转场景，综合考查了几何图形的性质与面积计算，解题的关键是准确拆分直角三角形求解线段长度，明确旋转过程中点的运动轨迹，通过面积和差计算不规则图形的面积，是几何综合类的典型题型。
【难度系数】
0.55
18. 核心素养 推理能力 学科特色 动点最值问题 如图,在扇形AOB中,∠AOB=60°,OD平分∠AOB交$\overset{\frown}{AB}$于点D,点C是半径OB上一动点,若OA=1,则阴影部分周长的最小值为 (
A.$\sqrt{2}+\frac{π}{6}$
B.$\sqrt{2}+\frac{π}{3}$
C.$2\sqrt{2}+\frac{π}{6}$
D.$2\sqrt{2}+\frac{π}{3}$
A
)A.$\sqrt{2}+\frac{π}{6}$
B.$\sqrt{2}+\frac{π}{3}$
C.$2\sqrt{2}+\frac{π}{6}$
D.$2\sqrt{2}+\frac{π}{3}$
答案
18.A 如图,作D点关于直线OB的对称点E,连接AE,与OB的交点为C,此时阴影部分的周长最小,最小值为$AE+\overset{\frown}{AD}$的长,连接OE,在扇形AOB中,$∠AOB=60°$,OD平分$∠AOB$交$\overset{\frown}{AB}$于点D,
∴$∠AOD=∠BOD=30°$,由轴对称的性质,得$∠EOB=∠BOD=30°$,$OE=OD$,$CD=CE$,
∴$∠AOE=90°$,
∴△AOE是等腰直角三角形,
∵OA=1,
∴$AE=\sqrt{2}$,$\overset{\frown}{AD}$的长=$\frac{30π×1}{180}=\frac{π}{6}$,
∴阴影部分周长的最小值为$\sqrt{2}+\frac{π}{6}$.故选A.
解析
【分析】
首先拆分阴影部分的周长：由$\overset{\frown}{AD}$的长、线段AC、线段CD三部分组成。其中$\overset{\frown}{AD}$的长度是固定不变的，因此要使阴影部分周长最小，仅需最小化AC+CD的长度即可。该类最短路径问题可通过轴对称转化线段：作D关于OB的对称点，将CD转化为等长线段，再根据两点之间线段最短确定AC+CD最小时点C的位置，最后分别计算最短线段和与弧长，相加即可得到周长最小值。
【解析】
解：作D点关于直线OB的对称点E，连接AE，与OB的交点即为使AC+CD最小的点C，此时阴影部分周长最小，最小值为$AE+\overset{\frown}{AD}$的长。
连接OE，
∵在扇形AOB中，∠AOB=60°，OD平分∠AOB交$\overset{\frown}{AB}$于点D，
∴$∠ AOD=∠ BOD=30°$，
由轴对称的性质可得：$∠ EOB=∠ BOD=30°$，$OE=OD=OA=1$，$CD=CE$，
∴$∠ AOE=∠ AOB+∠ EOB=60°+30°=90°$，即$△ AOE$是等腰直角三角形，
由勾股定理得$AE=\sqrt{OA^2+OE^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
根据弧长公式，$\overset{\frown}{AD}$的长为$\frac{nπ r}{180}=\frac{30π×1}{180}=\frac{π}{6}$，
∴阴影部分周长的最小值为$\sqrt{2}+\frac{π}{6}$。
故选A。
【答案】A
【知识点】
弧长公式，轴对称最短路径，等腰直角三角形性质
【点评】
本题将最短路径问题与扇形弧长计算相结合，解题核心是利用轴对称性质转化线段，确定动点的最优位置，再结合几何性质计算，可较好考查学生对几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
首先拆分阴影部分的周长：由$\overset{\frown}{AD}$的长、线段AC、线段CD三部分组成。其中$\overset{\frown}{AD}$的长度是固定不变的，因此要使阴影部分周长最小，仅需最小化AC+CD的长度即可。该类最短路径问题可通过轴对称转化线段：作D关于OB的对称点，将CD转化为等长线段，再根据两点之间线段最短确定AC+CD最小时点C的位置，最后分别计算最短线段和与弧长，相加即可得到周长最小值。
【解析】
解：作D点关于直线OB的对称点E，连接AE，与OB的交点即为使AC+CD最小的点C，此时阴影部分周长最小，最小值为$AE+\overset{\frown}{AD}$的长。
连接OE，
∵在扇形AOB中，∠AOB=60°，OD平分∠AOB交$\overset{\frown}{AB}$于点D，
∴$∠ AOD=∠ BOD=30°$，
由轴对称的性质可得：$∠ EOB=∠ BOD=30°$，$OE=OD=OA=1$，$CD=CE$，
∴$∠ AOE=∠ AOB+∠ EOB=60°+30°=90°$，即$△ AOE$是等腰直角三角形，
由勾股定理得$AE=\sqrt{OA^2+OE^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
根据弧长公式，$\overset{\frown}{AD}$的长为$\frac{nπ r}{180}=\frac{30π×1}{180}=\frac{π}{6}$，
∴阴影部分周长的最小值为$\sqrt{2}+\frac{π}{6}$。
故选A。
【答案】A
【知识点】
弧长公式，轴对称最短路径，等腰直角三角形性质
【点评】
本题将最短路径问题与扇形弧长计算相结合，解题核心是利用轴对称性质转化线段，确定动点的最优位置，再结合几何性质计算，可较好考查学生对几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
