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1 [2025 安徽合肥期中, 较难] 在$△ ABC$中, $∠ ABC=90°$, 点 E 是 BC 上一点, 过点 E 作 $ED ⊥ AC$ 于点 D, 连接 AE.
(1)如图(1),求证:$CD · CA=CE · CB$.
(2)已知 AE 平分$∠ BAC$,点 G 是 AD 上一点, BG 与 AE 交于点 F,$AB=24,BC=18$.
①如图(2),当 $BG ⊥ AC$ 时,求$\frac{BF}{CE}$的值;
②如图(3),当点 F 为 AE 的中点时,求$\frac{AG}{CG}$的值.
(1)如图(1),求证:$CD · CA=CE · CB$.
(2)已知 AE 平分$∠ BAC$,点 G 是 AD 上一点, BG 与 AE 交于点 F,$AB=24,BC=18$.
①如图(2),当 $BG ⊥ AC$ 时,求$\frac{BF}{CE}$的值;
②如图(3),当点 F 为 AE 的中点时,求$\frac{AG}{CG}$的值.
答案
(1)【证明】
∵ ED⊥AC,∠ABC=90°,
∴ ∠CDE=90°,
∴ ∠ABC=∠CDE.
又
∵ ∠DCE=∠BCA,
∴ △ABC∽△EDC,
∴ $\frac{CD}{CB}=\frac{CE}{CA}$,即 $CD · CA=CE · CB$.
(2)①在 Rt△ABC 中,$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{24^2+18^2}=30$.
∵ AE 平分∠BAC,
∴ ∠BAF=∠CAE.
∵ BG⊥AC,∠ABC=90°,
∴ ∠BGC=90°,
∴ ∠ABF+∠CBG=∠ACE+∠CBG=90°,
∴ ∠ABF = ∠ACE,
∴ △ABF ∽ △ACE,
∴ $\frac{BF}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{24}{30}=\frac{4}{5}$.
②
∵ ED⊥AC,∠ABE=90°,AE 平分∠BAC,
∴ ∠BAE=∠DAE,∠ABE=∠ADE=90°.
又
∵ AE=AE,
∴ △ABE≌△ADE(AAS),
∴ AD=AB=24,
∴ CD=AC-AD=30-24=6.
由(1)可知△ABC∽△EDC,则$\frac{CD}{CB}=\frac{CE}{CA}$,
∴ $\frac{6}{18}=\frac{18-BE}{30}$,解得 BE=8.
过点 A 作 AH ⊥ AB,AH 与 BG 延长线交于点 H,如图
,则 AH // BC,
∴ ∠FAH = ∠FEB,∠FHA=∠FBE.
又
∵ 点 F 是 AE 的中点,
∴ AF=EF,
∴ △BEF≌△HAF(AAS),
∴ AH=BE=8.
∵ AH//BC,
∴ △AGH∽△CGB,
∴ $\frac{AG}{CG}=\frac{AH}{CB}=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}$.
解析
【分析】
(1) 证明等积式的常规思路是将其转化为比例式，本题要证$CD·CA=CE·CB$，只需证$\frac{CD}{CB}=\frac{CE}{CA}$，观察比例式对应的三角形为$△ CDE$和$△ CBA$，结合已知的两个直角和公共角$∠ C$，即可证明两三角形相似，利用相似三角形对应边成比例得证。
(2) ①先在$Rt△ ABC$中用勾股定理求出$AC$的长度，结合角平分线的性质和同角的余角相等，可证明$△ ABF ∽ △ ACE$，对应边成比例即可求出$\frac{BF}{CE}$的值。
②首先根据角平分线的性质和直角条件证明$△ ABE ≌ △ ADE$，得到$AD=AB$，进而求出$CD$的长度，再结合(1)中的相似结论求出$BE$的长度；通过作辅助线$AH ⊥ AB$，得到$AH // BC$，先证$△ BEF ≌ △ HAF$得到$AH=BE$，再证$△ AGH ∽ △ CGB$，利用相似三角形对应边成比例即可求出$\frac{AG}{CG}$的值。
【解析】
(1)【证明】
∵ $ED⊥AC$，$∠ABC=90°$，
∴ $∠CDE=90°$，
∴ $∠ABC=∠CDE$。
又
∵ $∠DCE=∠BCA$，
∴ $△ ABC ∽ △ EDC$，
∴ $\frac{CD}{CB}=\frac{CE}{CA}$，即 $CD · CA=CE · CB$。
(2)①在$Rt△ ABC$中，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{24^2+18^2}=30$。
∵ $AE$平分$∠BAC$，
∴ $∠BAF=∠CAE$。
∵ $BG⊥AC$，$∠ABC=90°$，
∴ $∠BGC=90°$，
∴ $∠ABF+∠CBG=∠ACE+∠CBG=90°$，
∴ $∠ABF = ∠ACE$，
∴ $△ ABF ∽ △ ACE$，
∴ $\frac{BF}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{24}{30}=\frac{4}{5}$。
②
∵ $ED⊥AC$，$∠ABE=90°$，$AE$平分$∠BAC$，
∴ $∠BAE=∠DAE$，$∠ABE=∠ADE=90°$。
又
∵ $AE=AE$，
∴ $△ ABE ≌ △ ADE(AAS)$，
∴ $AD=AB=24$，
∴ $CD=AC-AD=30-24=6$。
由(1)可知$△ ABC ∽ △ EDC$，则$\frac{CD}{CB}=\frac{CE}{CA}$，
∴ $\frac{6}{18}=\frac{18-BE}{30}$，解得 $BE=8$。
过点A作$AH ⊥ AB$，$AH$与$BG$延长线交于点H，如图，
则 $AH // BC$，
∴ $∠FAH = ∠FEB$，$∠FHA=∠FBE$。
又
∵ 点F是AE的中点，
∴ $AF=EF$，
∴ $△ BEF ≌ △ HAF(AAS)$，
∴ $AH=BE=8$。
∵ $AH//BC$，
∴ $△ AGH ∽ △ CGB$，
∴ $\frac{AG}{CG}=\frac{AH}{CB}=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) ①$\boxed{\frac{4}{5}}$；②$\boxed{\frac{4}{9}}$，辅助线如图
【知识点】
相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合题，融合了全等、相似、角平分线相关知识点，解题时需熟练掌握等积式与比例式的转化方法，第二问第②小题需要合理构造平行线辅助线建立几何关系求解，对逻辑推理和几何综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
(1) 证明等积式的常规思路是将其转化为比例式，本题要证$CD·CA=CE·CB$，只需证$\frac{CD}{CB}=\frac{CE}{CA}$，观察比例式对应的三角形为$△ CDE$和$△ CBA$，结合已知的两个直角和公共角$∠ C$，即可证明两三角形相似，利用相似三角形对应边成比例得证。
(2) ①先在$Rt△ ABC$中用勾股定理求出$AC$的长度，结合角平分线的性质和同角的余角相等，可证明$△ ABF ∽ △ ACE$，对应边成比例即可求出$\frac{BF}{CE}$的值。
②首先根据角平分线的性质和直角条件证明$△ ABE ≌ △ ADE$，得到$AD=AB$，进而求出$CD$的长度，再结合(1)中的相似结论求出$BE$的长度；通过作辅助线$AH ⊥ AB$，得到$AH // BC$，先证$△ BEF ≌ △ HAF$得到$AH=BE$，再证$△ AGH ∽ △ CGB$，利用相似三角形对应边成比例即可求出$\frac{AG}{CG}$的值。
【解析】
(1)【证明】
∵ $ED⊥AC$，$∠ABC=90°$，
∴ $∠CDE=90°$，
∴ $∠ABC=∠CDE$。
又
∵ $∠DCE=∠BCA$，
∴ $△ ABC ∽ △ EDC$，
∴ $\frac{CD}{CB}=\frac{CE}{CA}$，即 $CD · CA=CE · CB$。
(2)①在$Rt△ ABC$中，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{24^2+18^2}=30$。
∵ $AE$平分$∠BAC$，
∴ $∠BAF=∠CAE$。
∵ $BG⊥AC$，$∠ABC=90°$，
∴ $∠BGC=90°$，
∴ $∠ABF+∠CBG=∠ACE+∠CBG=90°$，
∴ $∠ABF = ∠ACE$，
∴ $△ ABF ∽ △ ACE$，
∴ $\frac{BF}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{24}{30}=\frac{4}{5}$。
②
∵ $ED⊥AC$，$∠ABE=90°$，$AE$平分$∠BAC$，
∴ $∠BAE=∠DAE$，$∠ABE=∠ADE=90°$。
又
∵ $AE=AE$，
∴ $△ ABE ≌ △ ADE(AAS)$，
∴ $AD=AB=24$，
∴ $CD=AC-AD=30-24=6$。
由(1)可知$△ ABC ∽ △ EDC$，则$\frac{CD}{CB}=\frac{CE}{CA}$，
∴ $\frac{6}{18}=\frac{18-BE}{30}$，解得 $BE=8$。
过点A作$AH ⊥ AB$，$AH$与$BG$延长线交于点H，如图
，则 $AH // BC$，
∴ $∠FAH = ∠FEB$，$∠FHA=∠FBE$。
又
∵ 点F是AE的中点，
∴ $AF=EF$，
∴ $△ BEF ≌ △ HAF(AAS)$，
∴ $AH=BE=8$。
∵ $AH//BC$，
∴ $△ AGH ∽ △ CGB$，
∴ $\frac{AG}{CG}=\frac{AH}{CB}=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) ①$\boxed{\frac{4}{5}}$；②$\boxed{\frac{4}{9}}$，辅助线如图
【知识点】
相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合题，融合了全等、相似、角平分线相关知识点，解题时需熟练掌握等积式与比例式的转化方法，第二问第②小题需要合理构造平行线辅助线建立几何关系求解，对逻辑推理和几何综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
2[2026安徽合肥质检,较难]如图,在菱形ABCD中,∠C=60°,AB=4,点E是边BC的中点,连接DE,AE,BD.
(1)求DE的长;
(2)点F为边CD上的一点,连接AF,交DE于点G,连接EF,AF⊥EF.
①求证:△AGE∽△DGF;
②求DF的长(提示:过点E作EH⊥CD于点H).
(1)求DE的长;
(2)点F为边CD上的一点,连接AF,交DE于点G,连接EF,AF⊥EF.
①求证:△AGE∽△DGF;
②求DF的长(提示:过点E作EH⊥CD于点H).
答案
(1)【解】
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AD=CB=CD=AB=4.
∵ ∠C=60°,
∴ △CDB 是等边三角形,
∴ DB=DC=4.
∵ 点 E 是边 BC 的中点,
∴ BE=EC=2,
∴ DE ⊥ BC,
∴ $DE=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$.
(2)①【证明】
∵ AD//BC,
∴ ∠ADG=∠DEC=90°,
∴ ∠ADG = ∠GFE = 90°. 又
∵ ∠AGD = ∠EGF,
∴ △AGD ∽ △EGF,
∴ $\frac{AG}{EG}=\frac{DG}{FG}$,
∴ $\frac{AG}{DG}=\frac{EG}{FG}$.
∵ ∠AGE = ∠DGF,
∴ △AGE ∽ △DGF.
②【解】过点 E 作 EH⊥CD 于点 H.
∵ ∠ADE=90°,
∴ $AE=\sqrt{4^2+(2\sqrt{3})^2}=2\sqrt{7}$.
∵ ∠DEC=90°,∠C=60°,
∴ ∠EDC=30°.
∵ △AGE∽△DGF,
∴ ∠EAG = ∠GDF = 30°.
∵ ∠AFE=90°,
∴ $EF=\frac{1}{2}AE=\sqrt{7}$. 在 Rt△ECH 中,∠EHC = 90°, ∠C = 60°, CE = 2,
∴ ∠CEH = 30°,
∴ CH = 1,
∴ $EH=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$. 在 Rt△EFH 中, ∠EHF = 90°, FH = $\sqrt{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{3})^2}=2$,
∴ DF=4-2-1=1.
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AD=CB=CD=AB=4.
∵ ∠C=60°,
∴ △CDB 是等边三角形,
∴ DB=DC=4.
∵ 点 E 是边 BC 的中点,
∴ BE=EC=2,
∴ DE ⊥ BC,
∴ $DE=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$.
(2)①【证明】
∵ AD//BC,
∴ ∠ADG=∠DEC=90°,
∴ ∠ADG = ∠GFE = 90°. 又
∵ ∠AGD = ∠EGF,
∴ △AGD ∽ △EGF,
∴ $\frac{AG}{EG}=\frac{DG}{FG}$,
∴ $\frac{AG}{DG}=\frac{EG}{FG}$.
∵ ∠AGE = ∠DGF,
∴ △AGE ∽ △DGF.
②【解】过点 E 作 EH⊥CD 于点 H.
∵ ∠ADE=90°,
∴ $AE=\sqrt{4^2+(2\sqrt{3})^2}=2\sqrt{7}$.
∵ ∠DEC=90°,∠C=60°,
∴ ∠EDC=30°.
∵ △AGE∽△DGF,
∴ ∠EAG = ∠GDF = 30°.
∵ ∠AFE=90°,
∴ $EF=\frac{1}{2}AE=\sqrt{7}$. 在 Rt△ECH 中,∠EHC = 90°, ∠C = 60°, CE = 2,
∴ ∠CEH = 30°,
∴ CH = 1,
∴ $EH=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$. 在 Rt△EFH 中, ∠EHF = 90°, FH = $\sqrt{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{3})^2}=2$,
∴ DF=4-2-1=1.
解析
【分析】
(1)求DE的长度时，首先利用菱形四边相等的性质，结合∠C=60°可判定△BCD为等边三角形，再根据E是BC中点，利用等边三角形三线合一的性质得到DE⊥BC，最后在Rt△DEC中运用勾股定理即可求出DE的长。
(2)①要证明△AGE∽△DGF，观察可知两个三角形有对顶角∠AGE=∠DGF，只需证明夹该角的两组对边成比例即可。先由菱形对边平行的性质，结合DE⊥BC推出DE⊥AD，再结合AF⊥EF的垂直条件证明△AGD∽△EGF，得到对应边成比例，转换比例式后结合对顶角即可完成证明。
②求DF的长时，根据提示作EH⊥CD，可将DF转化为CD-CH-FH进行计算。先利用相似三角形的性质得到∠EAG=∠EDC=30°，在Rt△AEF中求出EF的长度，再分别在Rt△ECH、Rt△EFH中用勾股定理算出CH、FH的长度，最终即可求得DF的长。
【解析】
(1)解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CB=CD=AB=4。
∵∠C=60°，
∴△CDB是等边三角形，
∴DB=DC=4。
∵点E是边BC的中点，
∴BE=EC=2，
∴DE⊥BC，
∴$DE=\sqrt{DC^2-EC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
(2)①证明：
∵AD//BC，
∴∠ADG=∠DEC=90°，
∴∠ADG = ∠GFE = 90°。
又
∵∠AGD = ∠EGF，
∴△AGD ∽ △EGF，
∴$\frac{AG}{EG}=\frac{DG}{FG}$，
∴$\frac{AG}{DG}=\frac{EG}{FG}$。
∵∠AGE = ∠DGF，
∴△AGE ∽ △DGF。
②解：过点E作EH⊥CD于点H。
∵∠ADE=90°，
∴$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{4^2+(2\sqrt{3})^2}=2\sqrt{7}$。
∵∠DEC=90°，∠C=60°，
∴∠EDC=30°。
∵△AGE∽△DGF，
∴∠EAG = ∠GDF = 30°。
∵∠AFE=90°，
∴$EF=\frac{1}{2}AE=\sqrt{7}$。
在Rt△ECH中，∠EHC = 90°，∠C = 60°，CE = 2，
∴∠CEH = 30°，
∴CH = 1，
∴$EH=\sqrt{CE^2-CH^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
在Rt△EFH中，∠EHF = 90°，
$FH = \sqrt{EF^2-EH^2}=\sqrt{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{3})^2}=2$，
∴DF=CD-CH-FH=4-1-2=1。
【答案】
(1)$2\sqrt{3}$；(2)①证明见解析；②1
【知识点】
菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，融合了菱形、等边三角形、相似三角形、直角三角形的相关性质，解题时要善于从特殊角、垂直关系等已知条件切入，逐步推导边角关系，合理构造辅助线可将未知线段的求解转化为直角三角形内的边长计算，简化解题过程。
【难度系数】
0.4
(1)求DE的长度时，首先利用菱形四边相等的性质，结合∠C=60°可判定△BCD为等边三角形，再根据E是BC中点，利用等边三角形三线合一的性质得到DE⊥BC，最后在Rt△DEC中运用勾股定理即可求出DE的长。
(2)①要证明△AGE∽△DGF，观察可知两个三角形有对顶角∠AGE=∠DGF，只需证明夹该角的两组对边成比例即可。先由菱形对边平行的性质，结合DE⊥BC推出DE⊥AD，再结合AF⊥EF的垂直条件证明△AGD∽△EGF，得到对应边成比例，转换比例式后结合对顶角即可完成证明。
②求DF的长时，根据提示作EH⊥CD，可将DF转化为CD-CH-FH进行计算。先利用相似三角形的性质得到∠EAG=∠EDC=30°，在Rt△AEF中求出EF的长度，再分别在Rt△ECH、Rt△EFH中用勾股定理算出CH、FH的长度，最终即可求得DF的长。
【解析】
(1)解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CB=CD=AB=4。
∵∠C=60°，
∴△CDB是等边三角形，
∴DB=DC=4。
∵点E是边BC的中点，
∴BE=EC=2，
∴DE⊥BC，
∴$DE=\sqrt{DC^2-EC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
(2)①证明：
∵AD//BC，
∴∠ADG=∠DEC=90°，
∴∠ADG = ∠GFE = 90°。
又
∵∠AGD = ∠EGF，
∴△AGD ∽ △EGF，
∴$\frac{AG}{EG}=\frac{DG}{FG}$，
∴$\frac{AG}{DG}=\frac{EG}{FG}$。
∵∠AGE = ∠DGF，
∴△AGE ∽ △DGF。
②解：过点E作EH⊥CD于点H。
∵∠ADE=90°，
∴$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{4^2+(2\sqrt{3})^2}=2\sqrt{7}$。
∵∠DEC=90°，∠C=60°，
∴∠EDC=30°。
∵△AGE∽△DGF，
∴∠EAG = ∠GDF = 30°。
∵∠AFE=90°，
∴$EF=\frac{1}{2}AE=\sqrt{7}$。
在Rt△ECH中，∠EHC = 90°，∠C = 60°，CE = 2，
∴∠CEH = 30°，
∴CH = 1，
∴$EH=\sqrt{CE^2-CH^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
在Rt△EFH中，∠EHF = 90°，
$FH = \sqrt{EF^2-EH^2}=\sqrt{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{3})^2}=2$，
∴DF=CD-CH-FH=4-1-2=1。
【答案】
(1)$2\sqrt{3}$；(2)①证明见解析；②1
【知识点】
菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，融合了菱形、等边三角形、相似三角形、直角三角形的相关性质，解题时要善于从特殊角、垂直关系等已知条件切入，逐步推导边角关系，合理构造辅助线可将未知线段的求解转化为直角三角形内的边长计算，简化解题过程。
【难度系数】
0.4
3[中]如图,已知边长为10的正方形ABCD,E是BC边上一动点(与B,C不重合),连接AE,G是BC延长线上的点,过点E作AE的垂线交∠DCG的平分线于点F,若FG⊥BG.
(1)求证:$△ BAE ∽ △ GEF$;
(2)若$EC=2$,求$△ CEF$的面积;
(3)请写出EC为何值时,$△ CEF$的面积最大.
(1)求证:$△ BAE ∽ △ GEF$;
(2)若$EC=2$,求$△ CEF$的面积;
(3)请写出EC为何值时,$△ CEF$的面积最大.
答案
(1)【证明】
∵ 四边形 ABCD 是正方形,EF ⊥ AE,FG⊥BG,
∴ ∠B=∠G=∠AEF=90°,
∴ ∠BAE+∠AEB=90°,∠AEB+∠FEG=90°,
∴ ∠BAE = ∠FEG.
∵ ∠B=∠G=90°,
∴ △BAE∽△GEF.
(2)【解】
∵ AB=BC=10,CE=2,
∴ BE=8.
∵ CF 是∠DCG 的平分线,∠DCG=90°,
∴ ∠FCG=45°,
∴ ∠CFG=45°,
∴ FG=CG,
∴ EG=CE+CG=2+FG.
由(1)知,△BAE ∽ △GEF,
∴ $\frac{AB}{EG}=\frac{BE}{FG}$,
∴ $\frac{10}{2+FG}=\frac{8}{FG}$,
∴ FG=8,
∴ $S_{△ECF}=\frac{1}{2}CE · FG=\frac{1}{2}×2×8=8$.
(3)设 CE=x,则 BE=10-x,
∴ EG=CE+CG=x+FG. 由(1)知,△BAE∽△GEF,
∴ $\frac{AB}{EG}=\frac{BE}{FG}$,
∴ $\frac{10}{x+FG}=\frac{10-x}{FG}$,
∴ FG=10-x,
∴ $S_{△ECF}=\frac{1}{2}×CE×FG=\frac{1}{2}x(10-x)=-\frac{1}{2}(x^2-10x)=-\frac{1}{2}(x-5)^2+\frac{25}{2}$.
∵ $-\frac{1}{2}＜0$,
∴ 当 x=5 时,$S_{△ECF}$ 最大,即 EC=5 时,△CEF 的面积最大.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,EF ⊥ AE,FG⊥BG,
∴ ∠B=∠G=∠AEF=90°,
∴ ∠BAE+∠AEB=90°,∠AEB+∠FEG=90°,
∴ ∠BAE = ∠FEG.
∵ ∠B=∠G=90°,
∴ △BAE∽△GEF.
(2)【解】
∵ AB=BC=10,CE=2,
∴ BE=8.
∵ CF 是∠DCG 的平分线,∠DCG=90°,
∴ ∠FCG=45°,
∴ ∠CFG=45°,
∴ FG=CG,
∴ EG=CE+CG=2+FG.
由(1)知,△BAE ∽ △GEF,
∴ $\frac{AB}{EG}=\frac{BE}{FG}$,
∴ $\frac{10}{2+FG}=\frac{8}{FG}$,
∴ FG=8,
∴ $S_{△ECF}=\frac{1}{2}CE · FG=\frac{1}{2}×2×8=8$.
(3)设 CE=x,则 BE=10-x,
∴ EG=CE+CG=x+FG. 由(1)知,△BAE∽△GEF,
∴ $\frac{AB}{EG}=\frac{BE}{FG}$,
∴ $\frac{10}{x+FG}=\frac{10-x}{FG}$,
∴ FG=10-x,
∴ $S_{△ECF}=\frac{1}{2}×CE×FG=\frac{1}{2}x(10-x)=-\frac{1}{2}(x^2-10x)=-\frac{1}{2}(x-5)^2+\frac{25}{2}$.
∵ $-\frac{1}{2}＜0$,
∴ 当 x=5 时,$S_{△ECF}$ 最大,即 EC=5 时,△CEF 的面积最大.
解析
【分析】
(1) 证明三角形相似可通过“两角对应相等，两三角形相似”判定：首先由正方形性质、AE⊥EF、FG⊥BG可得∠B=∠G=∠AEF=90°，再根据同角的余角相等推出∠BAE=∠FEG，即可得两个三角形相似。
(2) 先结合正方形边长和EC=2求出BE的长度，再由CF是∠DCG的平分线可得△FCG为等腰直角三角形，即FG=CG，设FG为未知数，利用(1)中相似三角形的对应边成比例列方程求解FG，最后以EC为底、FG为高计算△CEF的面积。
(3) 设EC的长度为x，用x表示出BE的长度，同理利用相似三角形的比例关系将FG用含x的式子表示，进而写出△CEF的面积关于x的二次函数解析式，通过配方结合二次函数的性质即可求出面积最大时EC的值。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，FG⊥BG，
∴ ∠B=∠G=∠AEF=90°，
∴ ∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEG=90°，
∴ ∠BAE = ∠FEG，
又
∵ ∠B=∠G=90°，
∴ △BAE∽△GEF。
(2) 解：
∵ 正方形ABCD边长为10，CE=2，
∴ AB=BC=10，BE=BC-CE=10-2=8，
∵ CF是∠DCG的平分线，∠DCG=90°，
∴ ∠FCG=45°，
又
∵ ∠G=90°，
∴ ∠CFG=45°，
∴ FG=CG，
∴ EG=CE+CG=2+FG，
由(1)知△BAE ∽ △GEF，
∴ $\frac{AB}{EG}=\frac{BE}{FG}$，代入得$\frac{10}{2+FG}=\frac{8}{FG}$，
解得FG=8，
∴ $S_{△ECF}=\frac{1}{2}·CE·FG=\frac{1}{2}×2×8=8$。
(3) 解：
设CE=x（0＜x＜10），则BE=10-x，
同(2)可得FG=CG，故EG=CE+CG=x+FG，
由(1)知△BAE∽△GEF，
∴ $\frac{AB}{EG}=\frac{BE}{FG}$，代入得$\frac{10}{x+FG}=\frac{10-x}{FG}$，
解得FG=10-x，
∴ $S_{△ECF}=\frac{1}{2}×CE×FG=\frac{1}{2}x(10-x)=-\frac{1}{2}(x^2-10x)=-\frac{1}{2}(x-5)^2+\frac{25}{2}$，
∵ $-\frac{1}{2}＜0$，二次函数开口向下，
∴ 当x=5时，$S_{△ECF}$取得最大值，即EC=5时，△CEF的面积最大。
【答案】
(1) △BAE∽△GEF，证明成立；
(2) △CEF的面积为$\boldsymbol{8}$；
(3) 当$\boldsymbol{EC=5}$时，△CEF的面积最大。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，二次函数的最值
【点评】
本题属于几何综合题，融合了正方形、相似三角形、二次函数的相关知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质建立边长间的数量关系，再通过函数思想求解最值，能有效锻炼逻辑推理和综合应用知识的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 证明三角形相似可通过“两角对应相等，两三角形相似”判定：首先由正方形性质、AE⊥EF、FG⊥BG可得∠B=∠G=∠AEF=90°，再根据同角的余角相等推出∠BAE=∠FEG，即可得两个三角形相似。
(2) 先结合正方形边长和EC=2求出BE的长度，再由CF是∠DCG的平分线可得△FCG为等腰直角三角形，即FG=CG，设FG为未知数，利用(1)中相似三角形的对应边成比例列方程求解FG，最后以EC为底、FG为高计算△CEF的面积。
(3) 设EC的长度为x，用x表示出BE的长度，同理利用相似三角形的比例关系将FG用含x的式子表示，进而写出△CEF的面积关于x的二次函数解析式，通过配方结合二次函数的性质即可求出面积最大时EC的值。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，FG⊥BG，
∴ ∠B=∠G=∠AEF=90°，
∴ ∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEG=90°，
∴ ∠BAE = ∠FEG，
又
∵ ∠B=∠G=90°，
∴ △BAE∽△GEF。
(2) 解：
∵ 正方形ABCD边长为10，CE=2，
∴ AB=BC=10，BE=BC-CE=10-2=8，
∵ CF是∠DCG的平分线，∠DCG=90°，
∴ ∠FCG=45°，
又
∵ ∠G=90°，
∴ ∠CFG=45°，
∴ FG=CG，
∴ EG=CE+CG=2+FG，
由(1)知△BAE ∽ △GEF，
∴ $\frac{AB}{EG}=\frac{BE}{FG}$，代入得$\frac{10}{2+FG}=\frac{8}{FG}$，
解得FG=8，
∴ $S_{△ECF}=\frac{1}{2}·CE·FG=\frac{1}{2}×2×8=8$。
(3) 解：
设CE=x（0＜x＜10），则BE=10-x，
同(2)可得FG=CG，故EG=CE+CG=x+FG，
由(1)知△BAE∽△GEF，
∴ $\frac{AB}{EG}=\frac{BE}{FG}$，代入得$\frac{10}{x+FG}=\frac{10-x}{FG}$，
解得FG=10-x，
∴ $S_{△ECF}=\frac{1}{2}×CE×FG=\frac{1}{2}x(10-x)=-\frac{1}{2}(x^2-10x)=-\frac{1}{2}(x-5)^2+\frac{25}{2}$，
∵ $-\frac{1}{2}＜0$，二次函数开口向下，
∴ 当x=5时，$S_{△ECF}$取得最大值，即EC=5时，△CEF的面积最大。
【答案】
(1) △BAE∽△GEF，证明成立；
(2) △CEF的面积为$\boldsymbol{8}$；
(3) 当$\boldsymbol{EC=5}$时，△CEF的面积最大。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，二次函数的最值
【点评】
本题属于几何综合题，融合了正方形、相似三角形、二次函数的相关知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质建立边长间的数量关系，再通过函数思想求解最值，能有效锻炼逻辑推理和综合应用知识的能力。
【难度系数】
0.6
