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1 如图,在$\odot O$中,直径$AB$与弦$CD$相交于点$P$,连接$AC,AD,BD$,若$∠ C=20°$, $∠ BPC=70°$,则$∠ ADC=$（
A.$70°$
B.$60°$
C.$50°$
D.$40°$
(第1题图)
(第2题图)
D
）A.$70°$
B.$60°$
C.$50°$
D.$40°$
(第1题图)
(第2题图)
答案
∵ ∠C=20°, ∠BPC=70°,
∴ ∠BAC=∠BPC-∠C=50°=∠BDC.
∵ AB 是 ⊙O 的直径,
∴ ∠ADB=90°,
∴ ∠ADC=∠ADB-∠BDC=40°,故选 D.
解析
【分析】
解题时可从所求角和已知条件双向推导：首先观察到AB是圆的直径，可联想到直径所对的圆周角为直角，即∠ADB=90°，因此要得到∠ADC，只需先求出∠BDC的度数；再看已知的∠C和∠BPC，二者是△APC的内角和外角，可利用三角形外角性质先求出∠BAC的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等，得到∠BDC=∠BAC，代入计算即可求解。
【解析】
∵ ∠BPC是△APC的外角，
∴ ∠BPC=∠C+∠BAC，
已知∠C=20°，∠BPC=70°，
∴ ∠BAC=∠BPC-∠C=70°-20°=50°，
根据同弧所对的圆周角相等，弧BC所对的∠BAC和∠BDC相等，
∴ ∠BDC=∠BAC=50°，
∵ AB是⊙O的直径，直径所对的圆周角为直角，
∴ ∠ADB=90°，
∴ ∠ADC=∠ADB-∠BDC=90°-50°=40°，
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
三角形外角性质；圆周角定理；直径所对圆周角为直角
【点评】
本题是圆周角相关性质的基础应用题，核心是通过角度转化将已知条件和所求角建立联系，熟练掌握三角形外角性质和圆周角的相关推论即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时可从所求角和已知条件双向推导：首先观察到AB是圆的直径，可联想到直径所对的圆周角为直角，即∠ADB=90°，因此要得到∠ADC，只需先求出∠BDC的度数；再看已知的∠C和∠BPC，二者是△APC的内角和外角，可利用三角形外角性质先求出∠BAC的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等，得到∠BDC=∠BAC，代入计算即可求解。
【解析】
∵ ∠BPC是△APC的外角，
∴ ∠BPC=∠C+∠BAC，
已知∠C=20°，∠BPC=70°，
∴ ∠BAC=∠BPC-∠C=70°-20°=50°，
根据同弧所对的圆周角相等，弧BC所对的∠BAC和∠BDC相等，
∴ ∠BDC=∠BAC=50°，
∵ AB是⊙O的直径，直径所对的圆周角为直角，
∴ ∠ADB=90°，
∴ ∠ADC=∠ADB-∠BDC=90°-50°=40°，
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
三角形外角性质；圆周角定理；直径所对圆周角为直角
【点评】
本题是圆周角相关性质的基础应用题，核心是通过角度转化将已知条件和所求角建立联系，熟练掌握三角形外角性质和圆周角的相关推论即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2[2025江苏南京调研]如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上的点，D是$\overset{\frown}{AC}$上的点.连接AC，AD，CD.若∠BAC=20°，则∠D的度数为(
A.$100°$
B.$110°$
C.$120°$
D.$130°$
B
)A.$100°$
B.$110°$
C.$120°$
D.$130°$
答案
连接 BD,如图
.∵ AB 是半圆 O 的直径,
∴ ∠ADB = 90°.
∵ ∠BAC = 20°,
∴ ∠BDC = ∠BAC = 20°,
∴ ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC = 90°+20° = 110°. 故选 B.
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件，AB是半圆的直径，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，因此可以考虑连接辅助线BD，构造直径所对的直角∠ADB。接下来要求∠ADC的度数，可将其拆分为∠ADB与∠BDC的和，再根据“同弧所对的圆周角相等”，可得∠BDC与已知的∠BAC相等，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
连接BD，如图。
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵∠BAC和∠BDC都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴∠BDC=∠BAC=20°（同弧所对的圆周角相等），
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°+20°=110°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理；同弧圆周角相等；直径对直角
【点评】
本题考查圆周角相关性质的应用，解题的关键是通过添加辅助线构造直角，将待求角转化为两个已知或可求的角的和，是圆周角应用的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察题干条件，AB是半圆的直径，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，因此可以考虑连接辅助线BD，构造直径所对的直角∠ADB。接下来要求∠ADC的度数，可将其拆分为∠ADB与∠BDC的和，再根据“同弧所对的圆周角相等”，可得∠BDC与已知的∠BAC相等，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
连接BD，如图
。∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵∠BAC和∠BDC都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴∠BDC=∠BAC=20°（同弧所对的圆周角相等），
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°+20°=110°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理；同弧圆周角相等；直径对直角
【点评】
本题考查圆周角相关性质的应用，解题的关键是通过添加辅助线构造直角，将待求角转化为两个已知或可求的角的和，是圆周角应用的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
3 如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD，点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，则∠DCA的度数为
38°
.答案
如图
,连接 BC.∵ AB 是直径,
∴ ∠ACB=90°.
∵ ∠BAC=26°,
∴ ∠B=90°-∠BAC=90°-26°=64°.
∵ $\overset{\frown}{AC}$ 所对的圆周角为∠B,
∴ $\overset{\frown}{ABC}$ 所对的圆周角为180°-∠B = 116°. 由翻折的性质得∠ADC = 116°,
∴ ∠BDC = 64°,
∴ ∠DCA = ∠BDC - ∠BAC = 64°-26° = 38°,故答案为 38°.
解析
【分析】
看到题目中AB是⊙O的直径，首先联想到“直径所对的圆周角是直角”这一推论，因此第一步作辅助线连接BC，先求出∠B的度数；接下来分析翻折的性质：劣弧AC沿AC翻折后，弧的度数不发生改变，其对应的圆周角也满足对应关系，由此可求出∠ADC的度数，进而得到邻补角∠BDC的度数；最后根据三角形外角的性质，∠BDC是△ADC的外角，等于不相邻的两个内角∠BAC和∠DCA的和，代入已知角度即可求出∠DCA的度数。
【解析】
解：如图，连接BC。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB = 90°。
∵ ∠BAC = 26°，
∴ ∠B = 90° - ∠BAC = 90° - 26° = 64°。
∵ $\overset{\frown}{AC}$ 所对的圆周角为∠B，根据圆周角相关性质，$\overset{\frown}{ABC}$所对的圆周角为180° - ∠B = 116°，由翻折的性质得∠ADC = 116°，
∴ ∠BDC = 180° - ∠ADC = 180° - 116° = 64°。
∵ ∠BDC是△ADC的外角，
∴ ∠BDC = ∠BAC + ∠DCA，
∴ ∠DCA = ∠BDC - ∠BAC = 64° - 26° = 38°。
【答案】
38°
【知识点】
圆周角定理推论，翻折的性质，三角形外角性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆周角性质与图形翻折结合考查，解题的关键是正确作出辅助线BC，利用直径所对圆周角为直角的性质逐步推导，熟练掌握相关几何性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
看到题目中AB是⊙O的直径，首先联想到“直径所对的圆周角是直角”这一推论，因此第一步作辅助线连接BC，先求出∠B的度数；接下来分析翻折的性质：劣弧AC沿AC翻折后，弧的度数不发生改变，其对应的圆周角也满足对应关系，由此可求出∠ADC的度数，进而得到邻补角∠BDC的度数；最后根据三角形外角的性质，∠BDC是△ADC的外角，等于不相邻的两个内角∠BAC和∠DCA的和，代入已知角度即可求出∠DCA的度数。
【解析】
解：如图
，连接BC。∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB = 90°。
∵ ∠BAC = 26°，
∴ ∠B = 90° - ∠BAC = 90° - 26° = 64°。
∵ $\overset{\frown}{AC}$ 所对的圆周角为∠B，根据圆周角相关性质，$\overset{\frown}{ABC}$所对的圆周角为180° - ∠B = 116°，由翻折的性质得∠ADC = 116°，
∴ ∠BDC = 180° - ∠ADC = 180° - 116° = 64°。
∵ ∠BDC是△ADC的外角，
∴ ∠BDC = ∠BAC + ∠DCA，
∴ ∠DCA = ∠BDC - ∠BAC = 64° - 26° = 38°。
【答案】
38°
【知识点】
圆周角定理推论，翻折的性质，三角形外角性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆周角性质与图形翻折结合考查，解题的关键是正确作出辅助线BC，利用直径所对圆周角为直角的性质逐步推导，熟练掌握相关几何性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
4[2025黑龙江哈尔滨调研]如图,AB是$\odot O$的弦,半径$OD ⊥ AB$于点C,AE为直径,$AB=8$,$CD=2$,则线段CE的长为
$2\sqrt{13}$
.答案
连接 BE,如图
.∵ AB 是 ⊙O 的弦,半径 OD ⊥ AB 于点 C,
∴ AC = BC = $\frac{1}{2}AB$ = 4. 在 Rt △AOC 中, $AO^2 = OC^2 + AC^2 = (OD-2)^2 + 4^2 = (OA-2)^2 + 16$,解得 AO=5.
∵ O,C 分别是 AE,AB 的中点,
∴ OC 是 △ABE 的中位线,
∴ BE = 2OC = 2×(5-2) = 6.
∵ AE 为 ⊙O 的直径,
∴ ∠ABE = 90°. 在 Rt △CBE 中, $CE = \sqrt{CB^2 + BE^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = 2\sqrt{13}$. 故答案为 $2\sqrt{13}$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①看到半径OD垂直弦AB，优先运用垂径定理得到AB的中点C，求出BC的长度；②要求CE的长，直接计算条件不足，观察到AE是直径，结合直径所对圆周角为直角的性质，连接BE构造直角三角形；③同时O是AE中点、C是AB中点，可判断OC为△ABE的中位线，先在Rt△AOC中设半径为未知量，用勾股定理求出半径，进而得到BE的长度，最后在Rt△CBE中用勾股定理即可求出CE。
【解析】
连接BE，如图。
∵ AB是$\odot O$的弦，半径$OD ⊥ AB$于点C，$AB=8$，
∴ 根据垂径定理得$AC = BC = \frac{1}{2}AB = 4$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OD=r$，$OC=OD-CD=r-2$，
在$Rt △ AOC$中，由勾股定理得：$AO^2 = OC^2 + AC^2$，
代入得$r^2 = (r-2)^2 + 4^2$，
展开化简：$r^2 = r^2 -4r +4 +16$，解得$r=5$，
∴ $OC=5-2=3$。
∵ AE为$\odot O$的直径，
∴ O是AE的中点，
又
∵ C是AB的中点，
∴ OC是$△ ABE$的中位线，
∴ $BE = 2OC = 2×3 =6$。
∵ AE为$\odot O$的直径，
∴ 直径所对的圆周角$∠ ABE = 90°$，
在$Rt △ CBE$中，由勾股定理得：
$CE = \sqrt{CB^2 + BE^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$。
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理推论，勾股定理
【点评】
本题是圆的综合基础题，需要结合圆的性质和三角形相关知识求解，解题关键是合理构造辅助线，将所求线段转化到直角三角形中计算，能较好地考查知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件入手：①看到半径OD垂直弦AB，优先运用垂径定理得到AB的中点C，求出BC的长度；②要求CE的长，直接计算条件不足，观察到AE是直径，结合直径所对圆周角为直角的性质，连接BE构造直角三角形；③同时O是AE中点、C是AB中点，可判断OC为△ABE的中位线，先在Rt△AOC中设半径为未知量，用勾股定理求出半径，进而得到BE的长度，最后在Rt△CBE中用勾股定理即可求出CE。
【解析】
连接BE，如图
。∵ AB是$\odot O$的弦，半径$OD ⊥ AB$于点C，$AB=8$，
∴ 根据垂径定理得$AC = BC = \frac{1}{2}AB = 4$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OD=r$，$OC=OD-CD=r-2$，
在$Rt △ AOC$中，由勾股定理得：$AO^2 = OC^2 + AC^2$，
代入得$r^2 = (r-2)^2 + 4^2$，
展开化简：$r^2 = r^2 -4r +4 +16$，解得$r=5$，
∴ $OC=5-2=3$。
∵ AE为$\odot O$的直径，
∴ O是AE的中点，
又
∵ C是AB的中点，
∴ OC是$△ ABE$的中位线，
∴ $BE = 2OC = 2×3 =6$。
∵ AE为$\odot O$的直径，
∴ 直径所对的圆周角$∠ ABE = 90°$，
在$Rt △ CBE$中，由勾股定理得：
$CE = \sqrt{CB^2 + BE^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$。
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理推论，勾股定理
【点评】
本题是圆的综合基础题，需要结合圆的性质和三角形相关知识求解，解题关键是合理构造辅助线，将所求线段转化到直角三角形中计算，能较好地考查知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
5 如图,在$\odot O$中,弦$AB ⊥ CD$,连接$AD$,$BC$,$BC=2$,$AD=6$,则$\odot O$的直径长为
(第5题图)
(第6题图)
$2\sqrt{10}$
.(第5题图)
(第6题图)
答案
如图
,连接 AO,延长 AO 交 ⊙O 于点 H,连接 BH,DH,BD.∵ AH 是直径,
∴ ∠ABH = ∠ADH = 90°,
∴ AB ⊥ BH.
∵ AB ⊥ CD,
∴ CD // BH,
∴ ∠CDB = ∠DBH,
∴ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DH}$,
∴ DH = BC = 2,
∴ AH = $\sqrt{AD^2 + DH^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = 2\sqrt{10}$. 故答案为 $2\sqrt{10}$.
解析
【分析】
要求圆的直径，可结合圆周角定理的推论，构造直径所对的直角三角形求解。首先作过点A的直径AH，可得直径所对的两个直角∠ADH和∠ABH，结合已知AB⊥CD，可推出CD与BH平行，进而得到相等的圆周角，推导出弧BC等于弧DH，因此DH=BC=2，此时AD、DH都是Rt△ADH的直角边，直接用勾股定理即可求出直径AH的长度。
【解析】
如图，连接AO，延长AO交$\odot O$于点H，连接BH，DH，BD。
∵AH是$\odot O$的直径，
∴$∠ ABH=∠ ADH=90°$，即$AB⊥ BH$。
又
∵$AB⊥ CD$，
∴$CD// BH$，
∴$∠ CDB=∠ DBH$，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DH}$，
∴$DH=BC=2$。
在$Rt△ ADH$中，$AD=6$，$DH=2$，由勾股定理得：
$AH=\sqrt{AD^2+DH^2}=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
【答案】
$2\sqrt{10}$
【知识点】
1.圆周角定理推论
2.弧与弦的关系
3.勾股定理
【点评】
本题重点考查圆周角相关性质的应用，解题的关键是通过构造直径得到直角三角形，同时利用平行关系实现等弦的转化，将分散的已知条件整合到同一个直角三角形中再求解，对辅助线的构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要求圆的直径，可结合圆周角定理的推论，构造直径所对的直角三角形求解。首先作过点A的直径AH，可得直径所对的两个直角∠ADH和∠ABH，结合已知AB⊥CD，可推出CD与BH平行，进而得到相等的圆周角，推导出弧BC等于弧DH，因此DH=BC=2，此时AD、DH都是Rt△ADH的直角边，直接用勾股定理即可求出直径AH的长度。
【解析】
如图
，连接AO，延长AO交$\odot O$于点H，连接BH，DH，BD。∵AH是$\odot O$的直径，
∴$∠ ABH=∠ ADH=90°$，即$AB⊥ BH$。
又
∵$AB⊥ CD$，
∴$CD// BH$，
∴$∠ CDB=∠ DBH$，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DH}$，
∴$DH=BC=2$。
在$Rt△ ADH$中，$AD=6$，$DH=2$，由勾股定理得：
$AH=\sqrt{AD^2+DH^2}=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
【答案】
$2\sqrt{10}$
【知识点】
1.圆周角定理推论
2.弧与弦的关系
3.勾股定理
【点评】
本题重点考查圆周角相关性质的应用，解题的关键是通过构造直径得到直角三角形，同时利用平行关系实现等弦的转化，将分散的已知条件整合到同一个直角三角形中再求解，对辅助线的构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
6 新考向开放性试题 如图，A,B是$\odot O$上的点，且$∠ AOB=60°$，在这个图中，仅用无刻度的直尺能画出的角的度数可以是
$30°,60°,90°,120°$(答案不唯一)
.(只要求写出四个)答案
如图
,连接 AB,过点 O 作射线 AD 交 ⊙O 于点 C,连接 BC.①
∵ ∠AOB=60°,OA=OB,
∴ △AOB 是等边三角形,
∴ ∠OAB = ∠OBA = ∠AOB = 60°,因此可以得到 60°的角
②
∵ AC 是 ⊙O 的直径,
∴ ∠ABC=90°,因此可以得到 90°的角
③ ∠ACB = $\frac{1}{2}∠AOB$ = 30°,因此可以得到 30°的角
④ ∠BOC = 180°-∠AOB = 120°,因此可以得到 120°的角
⑤ ∠BCD = 180°-∠ACB = 150°,因此可以得到 150°的角,同时还可以画出 180°的角
解析
【分析】
解题时首先明确无刻度直尺的功能仅为连接两点、画直线或射线，无法度量长度或角度。首先结合已知条件：同圆半径相等，OA=OB，且∠AOB=60°，可先推导△AOB的形状得到基础角度；再通过延长AO得到直径，利用圆的相关性质推导更多角度，任选四个符合要求的角度即可。
【解析】
1. 作图步骤：连接AB，延长AO交⊙O于点C，连接BC。
2. 角度推导：
① 因为OA、OB均为⊙O的半径，所以OA=OB，又∠AOB=60°，因此△AOB是等边三角形，可得∠OAB=∠OBA=∠AOB=60°，即得到60°的角；
② 延长后AC为⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角为直角”，可得∠ABC=90°，即得到90°的角；
③ 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，弧AB所对的圆周角∠ACB=½∠AOB=30°，即得到30°的角；
④ 因为A、O、C共线，∠BOC=180°-∠AOB=180°-60°=120°，即得到120°的角。
还可推导得到150°、180°等角度，任选四个即可。
【答案】
如图，示例：$\boldsymbol{30°}$、$\boldsymbol{60°}$、$\boldsymbol{90°}$、$\boldsymbol{120°}$（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
等边三角形判定与性质；圆周角定理；直径所对圆周角的性质
【点评】
本题为开放性试题，结合无刻度直尺的作图限制，考查圆相关性质的灵活运用能力，解题时可先从已知条件推导基础角度，再通过构造直径等辅助线得到更多角度，答案不唯一，符合要求即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确无刻度直尺的功能仅为连接两点、画直线或射线，无法度量长度或角度。首先结合已知条件：同圆半径相等，OA=OB，且∠AOB=60°，可先推导△AOB的形状得到基础角度；再通过延长AO得到直径，利用圆的相关性质推导更多角度，任选四个符合要求的角度即可。
【解析】
1. 作图步骤：连接AB，延长AO交⊙O于点C，连接BC。
2. 角度推导：
① 因为OA、OB均为⊙O的半径，所以OA=OB，又∠AOB=60°，因此△AOB是等边三角形，可得∠OAB=∠OBA=∠AOB=60°，即得到60°的角；
② 延长后AC为⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角为直角”，可得∠ABC=90°，即得到90°的角；
③ 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，弧AB所对的圆周角∠ACB=½∠AOB=30°，即得到30°的角；
④ 因为A、O、C共线，∠BOC=180°-∠AOB=180°-60°=120°，即得到120°的角。
还可推导得到150°、180°等角度，任选四个即可。
【答案】
如图
，示例：$\boldsymbol{30°}$、$\boldsymbol{60°}$、$\boldsymbol{90°}$、$\boldsymbol{120°}$（答案不唯一，合理即可）【知识点】
等边三角形判定与性质；圆周角定理；直径所对圆周角的性质
【点评】
本题为开放性试题，结合无刻度直尺的作图限制，考查圆相关性质的灵活运用能力，解题时可先从已知条件推导基础角度，再通过构造直径等辅助线得到更多角度，答案不唯一，符合要求即可。
【难度系数】
0.7
7 如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$于点E，连接AD，BD.
(1)求证：$∠ ADC = ∠ ABD$；
(2)作$OF ⊥ AD$于点F，若$\odot O$的半径为10，$OE=6$，求OF的长.
(1)求证：$∠ ADC = ∠ ABD$；
(2)作$OF ⊥ AD$于点F，若$\odot O$的半径为10，$OE=6$，求OF的长.
答案
(1)【证明】
∵ AB 是直径,
∴ ∠ADB = 90°,
∴ ∠A + ∠ABD = 90°.
∵ CD ⊥ AB,
∴ ∠A + ∠ADC = 90°,
∴ ∠ADC = ∠ABD.
(2)【解】如图
,连接 OD.∵ OA = OD = 10,OE = 6,
∴ DE = 8,AE = 16,
∴ 在 Rt △ADE 中, AD = $\sqrt{16^2 + 8^2} = 8\sqrt{5}$.
∵ OF ⊥ AD,
∴ AF = $\frac{1}{2}AD = 4\sqrt{5}$,
∴ OF = $\sqrt{10^2 - (4\sqrt{5})^2} = 2\sqrt{5}$.
解析
【分析】
(1) 证明两角相等可从互余关系入手：首先根据直径所对圆周角为直角，得到∠ADB=90°，推出∠A与∠ABD互余；再结合CD⊥AB的条件，可得∠A与∠ADC互余，根据同角的余角相等即可得证。
(2) 求OF的长可分步计算：首先连接OD，在Rt△ODE中用勾股定理求出DE的长度；再计算AE的长度，在Rt△ADE中求出AD的长；利用等腰三角形三线合一的性质得到AF为AD的一半，最后在Rt△OAF中用勾股定理即可求出OF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ ∠ADB = 90°，
∴ ∠A + ∠ABD = 90°。
∵ CD ⊥ AB，
∴ ∠A + ∠ADC = 90°，
∴ ∠ADC = ∠ABD。
(2) 解：如图，连接OD。
∵ OA = OD = 10，OE = 6，
∴ $DE=\sqrt{OD^2-OE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，$AE=OA+OE=10+6=16$，
∴ 在Rt△ADE中，$AD = \sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{16^2 + 8^2} = 8\sqrt{5}$。
∵ OF ⊥ AD，OA=OD，
∴ AF = $\frac{1}{2}AD = 4\sqrt{5}$，
∴ 在Rt△OAF中，$OF = \sqrt{OA^2-AF^2}=\sqrt{10^2 - (4\sqrt{5})^2} = 2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) ∠ADC = ∠ABD得证；
(2) OF的长为$2\sqrt{5}$
【知识点】
圆周角定理推论、勾股定理、等腰三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心考查圆的相关性质和直角三角形的计算，解题时注意结合已知条件构造直角三角形，熟练运用互余关系和勾股定理即可顺利求解，是圆章节的常规典型题。
【难度系数】
0.7
(1) 证明两角相等可从互余关系入手：首先根据直径所对圆周角为直角，得到∠ADB=90°，推出∠A与∠ABD互余；再结合CD⊥AB的条件，可得∠A与∠ADC互余，根据同角的余角相等即可得证。
(2) 求OF的长可分步计算：首先连接OD，在Rt△ODE中用勾股定理求出DE的长度；再计算AE的长度，在Rt△ADE中求出AD的长；利用等腰三角形三线合一的性质得到AF为AD的一半，最后在Rt△OAF中用勾股定理即可求出OF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ ∠ADB = 90°，
∴ ∠A + ∠ABD = 90°。
∵ CD ⊥ AB，
∴ ∠A + ∠ADC = 90°，
∴ ∠ADC = ∠ABD。
(2) 解：如图
，连接OD。∵ OA = OD = 10，OE = 6，
∴ $DE=\sqrt{OD^2-OE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，$AE=OA+OE=10+6=16$，
∴ 在Rt△ADE中，$AD = \sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{16^2 + 8^2} = 8\sqrt{5}$。
∵ OF ⊥ AD，OA=OD，
∴ AF = $\frac{1}{2}AD = 4\sqrt{5}$，
∴ 在Rt△OAF中，$OF = \sqrt{OA^2-AF^2}=\sqrt{10^2 - (4\sqrt{5})^2} = 2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) ∠ADC = ∠ABD得证；
(2) OF的长为$2\sqrt{5}$
【知识点】
圆周角定理推论、勾股定理、等腰三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心考查圆的相关性质和直角三角形的计算，解题时注意结合已知条件构造直角三角形，熟练运用互余关系和勾股定理即可顺利求解，是圆章节的常规典型题。
【难度系数】
0.7
8 新考法[2025北京西城区期中]如图是用$\odot O$制作的表盘模型，其中点A与B分别与整钟点“2时”“6时”重合，要使$∠ ABC=90°$，则点C应位于（
A.“7时”处
B.“8时”处
C.“9时”处
D.“10时”处
（第8题图）（第9题图）
B
）A.“7时”处
B.“8时”处
C.“9时”处
D.“10时”处
（第8题图）（第9题图）
答案
∵ ∠ABC=90°,
∴ AC 是 ⊙O 的直径,即 ∠AOC=180°.
∵ 点 A 与整钟点“2 时”重合,整钟点“2 时”与整钟点“8 时”相对,
∴ 点 C 应位于“8 时”处. 故选 B.
解析
【分析】
解题时首先从已知条件∠ABC=90°入手，回忆圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是圆的直径，由此可确定AC是⊙O的直径，即A、C两点关于圆心O对称。接下来结合表盘的特征：12个整钟点将圆周平均分为12等份，每相邻两个整点对应的圆心角为30°，直径对应的圆心角为180°，因此A、C两点的时刻差为6小时，已知A在2时，计算即可得到C对应的时刻。
【解析】
∵ ∠ABC=90°，且点A、B、C都在⊙O上，
根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，
∴ AC是⊙O的直径，即A、O、C三点共线，∠AOC=180°。
∵ 表盘上12个整钟点把圆周平均分成12等份，每份对应的圆心角为$\frac{360°}{12}=30°$，
∴ 直径两端的整点时刻相差$\frac{180°}{30°}=6$小时。
∵ 点A对应“2时”，
∴ 点C对应的时刻为$2+6=8$时，即点C位于“8时”处。
故选B。
【答案】B
【知识点】
1.圆周角定理推论
2.圆心角计算
【点评】
本题结合生活中常见的表盘场景考查圆周角相关知识，将抽象的几何定理和实际生活结合，解题的关键是通过直角圆周角推导出对应弦为直径，再结合表盘的等分特征计算即可，注重对知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件∠ABC=90°入手，回忆圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是圆的直径，由此可确定AC是⊙O的直径，即A、C两点关于圆心O对称。接下来结合表盘的特征：12个整钟点将圆周平均分为12等份，每相邻两个整点对应的圆心角为30°，直径对应的圆心角为180°，因此A、C两点的时刻差为6小时，已知A在2时，计算即可得到C对应的时刻。
【解析】
∵ ∠ABC=90°，且点A、B、C都在⊙O上，
根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，
∴ AC是⊙O的直径，即A、O、C三点共线，∠AOC=180°。
∵ 表盘上12个整钟点把圆周平均分成12等份，每份对应的圆心角为$\frac{360°}{12}=30°$，
∴ 直径两端的整点时刻相差$\frac{180°}{30°}=6$小时。
∵ 点A对应“2时”，
∴ 点C对应的时刻为$2+6=8$时，即点C位于“8时”处。
故选B。
【答案】B
【知识点】
1.圆周角定理推论
2.圆心角计算
【点评】
本题结合生活中常见的表盘场景考查圆周角相关知识，将抽象的几何定理和实际生活结合，解题的关键是通过直角圆周角推导出对应弦为直径，再结合表盘的等分特征计算即可，注重对知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
9[2026江苏常州调研]如图,点A,B,C,D在圆上,∠C=90°,点D为$\overset{\frown}{AB}$的中点,AC=1,DB=2,连接AB,则BC的长为
$\sqrt{7}$
.答案
如图
,连接 AD.∵ ∠C=90°,
∴ AB 是直径,
∴ ∠ADB=90°.
∵ 点 D 为 $\overset{\frown}{AB}$ 的中点,
∴ AD = BD = 2,
∴ AB = $\sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$. 在 Rt △ABC 中, BC = $\sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 1^2} = \sqrt{7}$,故答案为 $\sqrt{7}$.
解析
【分析】
解题时首先观察到圆上的圆周角∠C=90°，根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径，可判定AB是圆的直径；直径所对的圆周角为直角，因此∠ADB=90°。再结合点D是弧AB的中点，根据等弧对等弦可得AD=BD，先在Rt△ADB中利用勾股定理求出AB的长度，最后在Rt△ABC中再次利用勾股定理即可求出BC的长。
【解析】
如图，连接AD。
∵ ∠C=90°，
∴ AB是圆的直径，
∴ ∠ADB=90°。
∵ 点D为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ AD = BD = 2，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：$AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$。
在Rt △ABC 中，由勾股定理得：$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 1^2} = \sqrt{7}$。
【答案】
$\sqrt{7}$
【知识点】
圆周角定理推论，勾股定理，等弧对等弦
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础题型，解题的关键是熟练运用圆周角定理的推论确定直径，结合弧中点的性质得到线段等量关系，两次运用勾股定理即可求解，是圆周角相关知识的典型应用考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到圆上的圆周角∠C=90°，根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径，可判定AB是圆的直径；直径所对的圆周角为直角，因此∠ADB=90°。再结合点D是弧AB的中点，根据等弧对等弦可得AD=BD，先在Rt△ADB中利用勾股定理求出AB的长度，最后在Rt△ABC中再次利用勾股定理即可求出BC的长。
【解析】
如图
，连接AD。∵ ∠C=90°，
∴ AB是圆的直径，
∴ ∠ADB=90°。
∵ 点D为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ AD = BD = 2，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：$AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$。
在Rt △ABC 中，由勾股定理得：$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 1^2} = \sqrt{7}$。
【答案】
$\sqrt{7}$
【知识点】
圆周角定理推论，勾股定理，等弧对等弦
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础题型，解题的关键是熟练运用圆周角定理的推论确定直径，结合弧中点的性质得到线段等量关系，两次运用勾股定理即可求解，是圆周角相关知识的典型应用考题。
【难度系数】
0.7
10 
，AB是圆O的直径，AC是圆O的弦，AB=2，AC=√3。在图中画出弦AD，使AD=1，则∠CAD的度数为
，AB是圆O的直径，AC是圆O的弦，AB=2，AC=√3。在图中画出弦AD，使AD=1，则∠CAD的度数为$30°或90°$
。答案
如图
,连接 CB,则 ∠ACB=90°. 在 Rt △ABC 中, BC = $\sqrt{AB^2 - AC^2} = 1$,∴ BC = $\frac{1}{2}AB$,
∴ ∠OAC=30°.
①当 AD 与 AC 在直径 AB 的两旁时,连接 OD.
∵ AB=2,AD=1,
∴ AD=OD=OA,
∴ △OAD 为等边三角形,
∴ ∠OAD=60°,
∴ ∠CAD = ∠CAB + ∠OAD = 30°+60°=90°.
②当 AD(D') 与 AC 在直径 AB 的同旁时,同理可得 ∠CAD' = ∠OAD' - ∠CAB = 60°-30°=30°. 综上,∠CAD=30°或90°.
解析
【分析】
解题时首先利用圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，连接BC构造Rt△ABC，先求出∠CAB的度数；再由AD=1，结合圆的半径为1，可知△OAD是等边三角形，得到∠OAD的度数；最后注意弦AD的位置有两种情况：与AC在AB同侧、与AC在AB异侧，分两种情况计算∠CAD的度数即可。
【解析】
如图，连接CB，则∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
在Rt△ABC中，$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2}=1$，
∴ $BC = \frac{1}{2}AB$，
∴ ∠OAC=30°。
分两种情况讨论：
①当AD与AC在直径AB的两旁时，连接OD。
∵ AB=2，
∴圆O半径OA=OD=1，又AD=1，
∴ AD=OD=OA，
∴ △OAD为等边三角形，
∴ ∠OAD=60°，
∴ ∠CAD = ∠CAB + ∠OAD = 30°+60°=90°。
②当AD(D')与AC在直径AB的同旁时，同理可得∠OAD'=60°，
∴ ∠CAD' = ∠OAD' - ∠CAB = 60°-30°=30°。
综上，∠CAD的度数为30°或90°。
【答案】
30°或90°
【知识点】
圆周角定理推论；等边三角形判定与性质；分类讨论思想
【点评】
本题是易错题，解题时容易忽略弦AD的两种位置导致漏解，解题的关键是熟练掌握圆周角相关定理，同时要具备分类讨论的意识，考虑到同圆中长度确定的弦相对于已知线段的不同位置。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，连接BC构造Rt△ABC，先求出∠CAB的度数；再由AD=1，结合圆的半径为1，可知△OAD是等边三角形，得到∠OAD的度数；最后注意弦AD的位置有两种情况：与AC在AB同侧、与AC在AB异侧，分两种情况计算∠CAD的度数即可。
【解析】
如图
，连接CB，则∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角）。在Rt△ABC中，$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2}=1$，
∴ $BC = \frac{1}{2}AB$，
∴ ∠OAC=30°。
分两种情况讨论：
①当AD与AC在直径AB的两旁时，连接OD。
∵ AB=2，
∴圆O半径OA=OD=1，又AD=1，
∴ AD=OD=OA，
∴ △OAD为等边三角形，
∴ ∠OAD=60°，
∴ ∠CAD = ∠CAB + ∠OAD = 30°+60°=90°。
②当AD(D')与AC在直径AB的同旁时，同理可得∠OAD'=60°，
∴ ∠CAD' = ∠OAD' - ∠CAB = 60°-30°=30°。
综上，∠CAD的度数为30°或90°。
【答案】
30°或90°
【知识点】
圆周角定理推论；等边三角形判定与性质；分类讨论思想
【点评】
本题是易错题，解题时容易忽略弦AD的两种位置导致漏解，解题的关键是熟练掌握圆周角相关定理，同时要具备分类讨论的意识，考虑到同圆中长度确定的弦相对于已知线段的不同位置。
【难度系数】
0.6
