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1 关于“两点之间线段最短”有下列说法:① 是命题;② 是假命题;③ 是真命题;④ 是公理.
其中,正确的有 (
A.①③
B.①③④
C.③④
D.①②④
其中,正确的有 (
B
)A.①③
B.①③④
C.③④
D.①②④
答案
1.B
解析
【分析】
解答本题需先明确命题、真命题、假命题、公理的核心定义，再对题干中的4个说法逐一验证：第一步先判断“两点之间线段最短”是否符合命题的定义；第二步判断该语句的真假，确定属于真命题还是假命题；第三步结合公理的定义判断它是否属于公理，最后汇总正确的说法对应选项即可。
【解析】
我们逐个分析各说法：
1. 判断①：命题是指能够判断真假的陈述句，“两点之间线段最短”是对两点之间连线长度规律的明确判断，符合命题的定义，故①正确；
2. 判断②③：“两点之间线段最短”是符合客观事实的正确结论，因此属于真命题，故②错误，③正确；
3. 判断④：公理是经过长期实践验证、不需要额外证明的基本事实，“两点之间线段最短”是几何领域公认的基本公理，故④正确。
综上，①③④说法正确，对应选项B。
【答案】B
【知识点】
命题的定义；真假命题判断；公理的概念
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对几何相关基础概念的理解与区分，只要准确掌握各概念的内涵，结合常见几何基本事实就能顺利解答，注意不要混淆公理和命题的从属关系，公理属于真命题，也符合命题的定义。
【难度系数】
0.8
解答本题需先明确命题、真命题、假命题、公理的核心定义，再对题干中的4个说法逐一验证：第一步先判断“两点之间线段最短”是否符合命题的定义；第二步判断该语句的真假，确定属于真命题还是假命题；第三步结合公理的定义判断它是否属于公理，最后汇总正确的说法对应选项即可。
【解析】
我们逐个分析各说法：
1. 判断①：命题是指能够判断真假的陈述句，“两点之间线段最短”是对两点之间连线长度规律的明确判断，符合命题的定义，故①正确；
2. 判断②③：“两点之间线段最短”是符合客观事实的正确结论，因此属于真命题，故②错误，③正确；
3. 判断④：公理是经过长期实践验证、不需要额外证明的基本事实，“两点之间线段最短”是几何领域公认的基本公理，故④正确。
综上，①③④说法正确，对应选项B。
【答案】B
【知识点】
命题的定义；真假命题判断；公理的概念
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对几何相关基础概念的理解与区分，只要准确掌握各概念的内涵，结合常见几何基本事实就能顺利解答，注意不要混淆公理和命题的从属关系，公理属于真命题，也符合命题的定义。
【难度系数】
0.8
2 对于命题“如果 x 为任何实数，那么 $\sqrt{x^2} = x$”，能说明它是假命题的反例是 （
A.$x=0$
B.$x=3$
C.$x=0.5$
D.$x=-1$
D
）A.$x=0$
B.$x=3$
C.$x=0.5$
D.$x=-1$
答案
2.D
解析
【分析】
要判断一个命题是假命题，只需找出一个反例：反例需要满足命题的条件（本题条件为x是实数，四个选项均满足），但不满足命题的结论（即$\sqrt{x^2} ≠ x$）。根据二次根式的性质，$\sqrt{x^2}=|x|$，因此当$x＜0$时，$|x|=-x ≠ x$，此时结论不成立，所以只需从选项中找负数的取值即可。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{x^2}=|x|$。
要找到使“$\sqrt{x^2}=x$”不成立的x，即满足$|x| ≠ x$，由绝对值的性质可知，当x为负数时，$|x|=-x ≠ x$。
逐一验证选项：
A. 当$x=0$时，$\sqrt{0^2}=0=x$，符合结论，不是反例；
B. 当$x=3$时，$\sqrt{3^2}=3=x$，符合结论，不是反例；
C. 当$x=0.5$时，$\sqrt{0.5^2}=0.5=x$，符合结论，不是反例；
D. 当$x=-1$时，$\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1 ≠ -1$，不符合结论，是反例。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，反例的定义
【点评】
本题侧重基础概念的考查，明确反例的判定标准、熟练掌握二次根式的化简规则是解题的核心，此类题型能很好地检验学生对概念的理解是否准确。
【难度系数】
0.85
要判断一个命题是假命题，只需找出一个反例：反例需要满足命题的条件（本题条件为x是实数，四个选项均满足），但不满足命题的结论（即$\sqrt{x^2} ≠ x$）。根据二次根式的性质，$\sqrt{x^2}=|x|$，因此当$x＜0$时，$|x|=-x ≠ x$，此时结论不成立，所以只需从选项中找负数的取值即可。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{x^2}=|x|$。
要找到使“$\sqrt{x^2}=x$”不成立的x，即满足$|x| ≠ x$，由绝对值的性质可知，当x为负数时，$|x|=-x ≠ x$。
逐一验证选项：
A. 当$x=0$时，$\sqrt{0^2}=0=x$，符合结论，不是反例；
B. 当$x=3$时，$\sqrt{3^2}=3=x$，符合结论，不是反例；
C. 当$x=0.5$时，$\sqrt{0.5^2}=0.5=x$，符合结论，不是反例；
D. 当$x=-1$时，$\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1 ≠ -1$，不符合结论，是反例。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，反例的定义
【点评】
本题侧重基础概念的考查，明确反例的判定标准、熟练掌握二次根式的化简规则是解题的核心，此类题型能很好地检验学生对概念的理解是否准确。
【难度系数】
0.85
3 “相等的两个角不互补”它是
假
（填“真”或“假”）命题，改写成“如果……，那么……”的形式为如果两个角相等，那么这两个角不互补
。答案
3.假；如果两个角相等，那么这两个角不互补
解析
【分析】
解题分为两个部分：①判断命题真假：先回忆补角的定义，只要能找到一个反例说明“存在相等且互补的角”，就能证明原命题是假命题。②改写“如果……那么……”形式：先拆分原命题的题设（已知条件）和结论，将题设放在“如果”之后，结论放在“那么”之后即可。首先思考互补的性质：若两个角相等且互补，那么每个角的度数是180°÷2=90°，也就是两个直角，恰好符合相等且互补的特征，由此可判断原命题为假。改写时，题设是“两个角相等”，结论是“这两个角不互补”，直接组合即可。
【解析】
1. 判断命题真假：根据补角的定义，若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。当两个角都为90°时，两个角大小相等，且两角之和为90°+90°=180°，满足互补的定义，说明存在相等且互补的两个角，因此“相等的两个角不互补”是假命题。
2. 改写命题：原命题的题设为“两个角相等”，结论为“这两个角不互补”，因此改写成“如果……那么……”的形式为：如果两个角相等，那么这两个角不互补。
【答案】
假；如果两个角相等，那么这两个角不互补
【知识点】
补角的定义；真假命题判断；命题的改写
【点评】
本题考查命题相关的基础知识点，判断真假的关键是能否找到反例验证，改写“如果……那么……”形式时要注意准确分离题设和结论，保证语句通顺完整。
【难度系数】
0.7
解题分为两个部分：①判断命题真假：先回忆补角的定义，只要能找到一个反例说明“存在相等且互补的角”，就能证明原命题是假命题。②改写“如果……那么……”形式：先拆分原命题的题设（已知条件）和结论，将题设放在“如果”之后，结论放在“那么”之后即可。首先思考互补的性质：若两个角相等且互补，那么每个角的度数是180°÷2=90°，也就是两个直角，恰好符合相等且互补的特征，由此可判断原命题为假。改写时，题设是“两个角相等”，结论是“这两个角不互补”，直接组合即可。
【解析】
1. 判断命题真假：根据补角的定义，若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。当两个角都为90°时，两个角大小相等，且两角之和为90°+90°=180°，满足互补的定义，说明存在相等且互补的两个角，因此“相等的两个角不互补”是假命题。
2. 改写命题：原命题的题设为“两个角相等”，结论为“这两个角不互补”，因此改写成“如果……那么……”的形式为：如果两个角相等，那么这两个角不互补。
【答案】
假；如果两个角相等，那么这两个角不互补
【知识点】
补角的定义；真假命题判断；命题的改写
【点评】
本题考查命题相关的基础知识点，判断真假的关键是能否找到反例验证，改写“如果……那么……”形式时要注意准确分离题设和结论，保证语句通顺完整。
【难度系数】
0.7
4 有下列语句:① 有公共顶点,没有公共边的两个角一定是对顶角.② 如果 B 是线段 AC 的中点,那么 $AB=BC$.③ 在一条直线上任取一点 A.④ 两点确定一条直线吗?⑤ 过一点有且只有一条直线与已知直线平行.其中,是命题的为
①②⑤
,是真命题的为②
(填序号).答案
4.①②⑤；②
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心判断标准：1. 命题的定义：能够判断真假的陈述句才是命题，疑问句、作图操作类语句、未作出明确判断的语句都不属于命题；2. 真命题的定义：题设成立时，结论一定成立的命题才是真命题，若题设成立结论不一定成立则为假命题。接下来逐一分析5个语句，先筛选出符合命题定义的语句，再从中判断出真命题即可。
【解析】
根据命题的定义逐个判断：
① 是可判断真假的陈述句，属于命题；对顶角的定义是有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角，仅满足有公共顶点、无公共边的两个角不一定是对顶角，因此是假命题。
② 是可判断真假的陈述句，属于命题；根据线段中点的定义，若B是线段AC的中点，则AB=BC必然成立，因此是真命题。
③ 是作图操作类语句，没有对某一事件作出真假判断，不属于命题。
④ 是疑问句，没有作出真假判断，不属于命题。
⑤ 是可判断真假的陈述句，属于命题；平行公理的前提是“过直线外一点”，若该点在已知直线上，无法画出与已知直线平行的直线，因此该命题是假命题。
综上，属于命题的是①②⑤，属于真命题的是②。
【答案】
①②⑤；②
【知识点】
命题的概念；真假命题判定；几何基本公理
【点评】
本题重点考查命题相关的基础概念，解题时首先要准确区分命题与非命题，其次要熟练掌握常见几何定义、公理的内容，尤其要注意公理、定理的适用前提，避免因忽略限制条件误判命题的真假。
【难度系数】
0.65
解题时首先要明确两个核心判断标准：1. 命题的定义：能够判断真假的陈述句才是命题，疑问句、作图操作类语句、未作出明确判断的语句都不属于命题；2. 真命题的定义：题设成立时，结论一定成立的命题才是真命题，若题设成立结论不一定成立则为假命题。接下来逐一分析5个语句，先筛选出符合命题定义的语句，再从中判断出真命题即可。
【解析】
根据命题的定义逐个判断：
① 是可判断真假的陈述句，属于命题；对顶角的定义是有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角，仅满足有公共顶点、无公共边的两个角不一定是对顶角，因此是假命题。
② 是可判断真假的陈述句，属于命题；根据线段中点的定义，若B是线段AC的中点，则AB=BC必然成立，因此是真命题。
③ 是作图操作类语句，没有对某一事件作出真假判断，不属于命题。
④ 是疑问句，没有作出真假判断，不属于命题。
⑤ 是可判断真假的陈述句，属于命题；平行公理的前提是“过直线外一点”，若该点在已知直线上，无法画出与已知直线平行的直线，因此该命题是假命题。
综上，属于命题的是①②⑤，属于真命题的是②。
【答案】
①②⑤；②
【知识点】
命题的概念；真假命题判定；几何基本公理
【点评】
本题重点考查命题相关的基础概念，解题时首先要准确区分命题与非命题，其次要熟练掌握常见几何定义、公理的内容，尤其要注意公理、定理的适用前提，避免因忽略限制条件误判命题的真假。
【难度系数】
0.65
5 [2024盐城]如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AE//BF，AE＝BF。若
请从① CE//DF；② CE＝DF；③ ∠E＝∠F这3个中选择一个作为条件填在横线上（写序号），使命题成立，并证明这个命题。
①
，则AB＝CD。请从① CE//DF；② CE＝DF；③ ∠E＝∠F这3个中选择一个作为条件填在横线上（写序号），使命题成立，并证明这个命题。
答案
5.答案不唯一，如选择① $\because AE// BF,\therefore ∠ A=∠ FBD.$
$\because CE// DF,\therefore ∠ ACE=∠ D.$ 在 $△ AEC$ 和 $△ BFD$ 中，
$\begin{cases}∠ ACE=∠ D,\\∠ A=∠ FBD,\\AE=BF,\end{cases}$$\therefore △ AEC≌△ BFD.\therefore AC=BD.\therefore AC-BC=BD-BC,即AB=CD$
$\because CE// DF,\therefore ∠ ACE=∠ D.$ 在 $△ AEC$ 和 $△ BFD$ 中，
$\begin{cases}∠ ACE=∠ D,\\∠ A=∠ FBD,\\AE=BF,\end{cases}$$\therefore △ AEC≌△ BFD.\therefore AC=BD.\therefore AC-BC=BD-BC,即AB=CD$
解析
【分析】
要证明AB=CD，观察线段位置可知AC=AB+BC，BD=BC+CD，因此只需证明AC=BD即可。已知AE//BF，根据平行线的性质可得∠A=∠FBD，又已知AE=BF，已有一组对应角相等、一组对应边相等，只需补充合适的条件证明△AEC≌△BFD即可：选①CE//DF时，可得到∠ACE=∠D，用AAS判定全等；选③∠E=∠F时，可用ASA判定全等；选②CE=DF属于SSA，无法判定三角形全等，因此可选①或③，以下以选择①为例解答。
【解析】
解：选择条件①（答案不唯一）
$\because AE// BF$，
$\therefore ∠ A=∠ FBD$（两直线平行，同位角相等）。
$\because CE// DF$，
$\therefore ∠ ACE=∠ D$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ AEC$和$△ BFD$中，
$\begin{cases}∠ ACE=∠ D, \\∠ A=∠ FBD, \\AE=BF,\end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ BFD(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AC=BD$（全等三角形的对应边相等），
$\therefore AC-BC=BD-BC$，即$AB=CD$。
【答案】
①（答案不唯一，也可填③）
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题为条件开放性题目，考查全等三角形的判定和性质的应用，解题的关键是将待证的AB=CD转化为证明AC=BD，进而推导三角形全等所需的条件，注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，因此不能选②。
【难度系数】
0.7
要证明AB=CD，观察线段位置可知AC=AB+BC，BD=BC+CD，因此只需证明AC=BD即可。已知AE//BF，根据平行线的性质可得∠A=∠FBD，又已知AE=BF，已有一组对应角相等、一组对应边相等，只需补充合适的条件证明△AEC≌△BFD即可：选①CE//DF时，可得到∠ACE=∠D，用AAS判定全等；选③∠E=∠F时，可用ASA判定全等；选②CE=DF属于SSA，无法判定三角形全等，因此可选①或③，以下以选择①为例解答。
【解析】
解：选择条件①（答案不唯一）
$\because AE// BF$，
$\therefore ∠ A=∠ FBD$（两直线平行，同位角相等）。
$\because CE// DF$，
$\therefore ∠ ACE=∠ D$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ AEC$和$△ BFD$中，
$\begin{cases}∠ ACE=∠ D, \\∠ A=∠ FBD, \\AE=BF,\end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ BFD(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AC=BD$（全等三角形的对应边相等），
$\therefore AC-BC=BD-BC$，即$AB=CD$。
【答案】
①（答案不唯一，也可填③）
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题为条件开放性题目，考查全等三角形的判定和性质的应用，解题的关键是将待证的AB=CD转化为证明AC=BD，进而推导三角形全等所需的条件，注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，因此不能选②。
【难度系数】
0.7
