9. 下列函数:①$y=x-2$;②$y=\frac{3}{x}$;③$y=x^{-1}$;④$y=\frac{2}{x+1}$;⑤$xy=11$;⑥$y=kx$;⑦$\frac{y}{x}=1$.
其中$y$是$x$的反比例函数的有 （）

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

9.B

【分析】
要判断哪些是反比例函数，首先需牢记反比例函数的定义及三种等价形式：①一般形式$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$）；②乘积形式$xy=k$（$k$为常数，且$k\ne0$）；③负指数形式$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k\ne0$）。判断时逐个核对每个函数是否符合上述形式，同时注意：自变量$x$只能单独在分母，不能有加减项；若解析式含未知系数，需明确系数不为0才能判定。
【解析】
我们逐个分析所给函数：
①$y=x-2$是一次函数，不符合反比例函数形式，排除；
②$y=\frac{3}{x}$符合$y=\frac{k}{x}$（$k=3\ne0$），是反比例函数；
③$y=x^{-1}$可变形为$y=\frac{1}{x}$，符合$y=kx^{-1}$（$k=1\ne0$），是反比例函数；
④$y=\frac{2}{x+1}$的分母是$x+1$，不是单独的自变量$x$，因此$y$是$x+1$的反比例函数，不是$x$的反比例函数，排除；
⑤$xy=11$可变形为$y=\frac{11}{x}$，符合$xy=k$（$k=11\ne0$），是反比例函数；
⑥$y=kx$是正比例函数的形式，且未注明$k\ne0$，不符合反比例函数要求，排除；
⑦$\frac{y}{x}=1$可变形为$y=x$（$x\ne0$），是正比例函数，不符合反比例函数形式，排除。
综上，是反比例函数的有②③⑤，共3个。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义，代数式变形
【点评】
本题核心考查对反比例函数概念的掌握，解题关键是熟练掌握反比例函数的三类等价形式，辨析时要注意区分反比例函数与一次函数、正比例函数的差异，不要忽略系数不为0、自变量不能与其他常数加减的限制条件，避免误判。
【难度系数】
0.7

10. 当关于$x$的反比例函数$y=(m-2)x^{2m+1}$的函数值为$\frac{1}{3}$时，自变量$x$的值是。

10.$-9$

【分析】
要解决这道题，首先需要回忆反比例函数的定义：反比例函数的一般形式为$y = kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$），所以解题要分三步：第一步根据自变量$x$的次数为$-1$列方程求$m$；第二步验证比例系数不为0，确认$m$的取值后得到完整的函数解析式；第三步将函数值$y=\frac{1}{3}$代入解析式，求解自变量$x$的值即可。
【解析】
根据反比例函数的定义，依次推导：
1. 求$m$的值：
反比例函数中自变量的次数为$-1$，因此列方程：$2m + 1 = -1$
解方程得：$2m = -2$，即$m = -1$
2. 验证比例系数：
反比例函数要求比例系数不为0，将$m=-1$代入得：$m-2=-1-2=-3≠0$，符合要求。
因此该反比例函数的解析式为$y=-\frac{3}{x}$。
3. 代入函数值求$x$：
当$y=\frac{1}{3}$时，代入解析式得：$\frac{1}{3}=-\frac{3}{x}$
两边同乘$3x$（$x≠0$）解得：$x=-9$，经检验$x=-9$是原方程的解。
【答案】
$-9$
【知识点】
反比例函数的定义；函数值计算；解分式方程
【点评】
本题属于反比例函数概念的基础应用题型，解题的关键是牢记反比例函数的两个核心特征：自变量次数为$-1$、比例系数不为0，代入函数值求解的过程难度较低，注意解分式方程时要确认分母不为0即可。
【难度系数】
0.75

11.二胡是我国一种传统拉弦乐器，演奏二胡时，在同一张力下，它的振动弦的共振频率$f$(单位:$\mathrm{Hz}$)与长度$l$(单位:$\mathrm{m}$)近似成反比例关系，即$f=\frac{k}{l}$($k$为常数，$k≠0$).
若某一振动弦的共振频率$f$为$240\ \mathrm{Hz}$，长度$l$为$0.5\ \mathrm{m}$，如果$f$为$400\ \mathrm{Hz}$，则$l$为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{m}$.

11.0.3

【分析】
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路分两步：第一步，利用题目给出的一组f与l的对应值，代入反比例函数关系式$f=\frac{k}{l}$，求出常数k的值，确定完整的函数解析式；第二步，将新的频率f的值代入已求出的解析式，计算出对应的弦长l的值即可。
【解析】
首先将$f=240\ \mathrm{Hz}$，$l=0.5\ \mathrm{m}$代入$f=\frac{k}{l}$，可得：
$240=\frac{k}{0.5}$
解得$k=240×0.5=120$，所以该反比例函数的解析式为$f=\frac{120}{l}$。
当$f=400\ \mathrm{Hz}$时，代入解析式得：
$400=\frac{120}{l}$
解得$l=\frac{120}{400}=0.3\ \mathrm{m}$。
【答案】
0.3
【知识点】
反比例函数的概念；待定系数法求解析式；反比例函数求值
【点评】
本题是反比例函数在实际场景中的应用，侧重考查基础知识点的运用，解题核心是先确定反比例函数的常数k，再代入对应值计算，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8

12.已知关于$x$的函数$y=(m+3)x^{m^2+2m-2}$。
(1)当$m=$时，它是正比例函数；
(2)当$m=$时，它是反比例函数；
(3)当$m=$时，它是二次函数。

12.(1)1 (2)$-1\pm\sqrt{2}$ (3)$-1\pm\sqrt{5}$

【分析】
本题需结合正比例函数、反比例函数、二次函数的定义求解，核心思路为：①保证函数中x的系数不为0，避免函数退化为常函数；②根据函数类型，令x的指数满足对应要求，列一元二次方程求解，最后结合系数不为0的条件筛选出符合要求的m值。
【解析】
(1) 若函数为正比例函数，需满足：
$\begin{cases}m+3≠0 \\ m^2+2m-2=1\end{cases}$
解不等式得$m≠-3$，解方程$m^2+2m-3=0$，因式分解得$(m+3)(m-1)=0$，解得$m=-3$或$m=1$，舍去$m=-3$，故$m=1$。
(2) 若函数为反比例函数，需满足：
$\begin{cases}m+3≠0 \\ m^2+2m-2=-1\end{cases}$
解不等式得$m≠-3$，解方程$m^2+2m-1=0$，由求根公式得$m=\frac{-2\pm\sqrt{2^2+4}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$，两个值均满足$m≠-3$，故$m=-1\pm\sqrt{2}$。
(3) 若函数为二次函数，需满足：
$\begin{cases}m+3≠0 \\ m^2+2m-2=2\end{cases}$
解不等式得$m≠-3$，解方程$m^2+2m-4=0$，由求根公式得$m=\frac{-2\pm\sqrt{2^2+16}}{2}=-1\pm\sqrt{5}$，两个值均满足$m≠-3$，故$m=-1\pm\sqrt{5}$。
【答案】
(1)1；(2)$-1\pm\sqrt{2}$；(3)$-1\pm\sqrt{5}$
【知识点】
正比例函数的定义，反比例函数的定义，二次函数的定义
【点评】
本题是函数概念的基础考查题，解题的易错点是容易遗漏系数不为0的限制条件导致出现增根，熟练掌握各类函数的形式特征即可快速求解。
【难度系数】
0.7

13.随着科技的不断进步,无人机已经成为许多领域中不可或缺的工具.无人机的应用范围非常广泛,为人类社会带来更大的便利和效益.请列出下列问题中的函数解析式,并判断其是否为反比例函数.
(1)某县无人机飞到玉米地里大显身手,病虫防害保丰收,一架无人机每次喷洒15公顷,求喷洒面积y(公顷)与一架无人机喷洒次数x(次)之间的函数解析式;
(2)不同作物的用药量不同,某农户有10升农药,求不同作物的农田单位面积上的农药量w(升/公顷)与喷洒面积z(公顷)之间的函数解析式;
(3)该县种植玉米60万公顷,一架无人机喷洒一公顷地仅需2分钟,该县的n架无人机同时作业,求喷洒时间m(分)与n(架)之间的函数解析式.

解:(1)$y=15x$,不是反比例函数；
(2)$w=\dfrac{10}{z}$,是反比例函数；
(3)$m=\dfrac{600\ 000}{\dfrac{1}{2}n}=\dfrac{1\ 200\ 000}{n}$,是反比例函数.

【分析】
解题需分两步走：第一步，根据每个小问的实际数量关系，列出对应的函数解析式；第二步，结合反比例函数的定义（形如$y=\frac{k}{x}$，其中$k$为常数且$k≠0$，自变量$x≠0$）判断函数类型。
1. 第(1)问：等量关系为“喷洒总面积=每次喷洒面积×喷洒次数”，列式后判断形式是否符合反比例函数特征；
2. 第(2)问：等量关系为“总农药量=单位面积农药量×喷洒面积”，变形得到函数式后判断；
3. 第(3)问：先求出单架无人机的工作效率，再根据“工作时间=工作总量÷总工作效率”列式，最后判断是否为反比例函数。
【解析】
(1) 根据喷洒总面积的计算关系，每次喷洒15公顷，喷洒x次的总面积为：
$y=15x$（x为正整数）
该函数符合正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的形式，不符合反比例函数的形式，因此不是反比例函数。
(2) 已知总农药量为10升，由总药量=单位面积药量×喷洒面积，可得$wz=10$，变形得：
$w=\frac{10}{z}$（$z＞0$）
该函数符合反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k=10≠0$）的形式，因此是反比例函数。
(3) 一架无人机喷洒1公顷需2分钟，因此单架无人机每分钟喷洒$\frac{1}{2}$公顷，n架无人机每分钟共喷洒$\frac{1}{2}n$公顷，总喷洒面积为600000公顷，因此喷洒时间：
$m=\frac{600000}{\frac{1}{2}n}=\frac{1200000}{n}$（n为正整数）
该函数符合反比例函数的形式，因此是反比例函数。
【答案】
(1)$y=15x$，不是反比例函数；
(2)$w=\dfrac{10}{z}$，是反比例函数；
(3)$m=\dfrac{1200000}{n}$，是反比例函数。
【知识点】
反比例函数的概念，根据实际问题列函数解析式，正比例函数的概念
【点评】
本题结合无人机应用的生活场景考查函数相关知识，既需要同学们准确提取实际问题中的等量关系列写函数式，也需要熟练掌握反比例函数的定义进行判断，解题时注意自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.8

14.已知函数$y=y_1 - y_2$，其中$y_1$与$x$成正比例，$y_2$与$x^2 - 2$成反比例，且当$x=1$时，$y=1$；当$x=-1$时，$y=5$。
(1)求$y$关于$x$的函数解析式；
(2)当$x=2$时，求$y$的值。

解:(1)由题意,设 $y_1=k_1x$, $y_2=\dfrac{k_2}{x^2-2}$. $\because y=y_1-y_2$,
$\therefore y=k_1x-\dfrac{k_2}{x^2-2}$. $\because$ 当 $x=1$ 时, $y=1$; 当 $x=-1$ 时, $y=5$,$\therefore \begin{cases}k_1+k_2=1,\\-k_1+k_2=5,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_1=-2,\\k_2=3.\end{cases}$ $\therefore y=-2x-\dfrac{3}{x^2-2}$.
(2)当 $x=2$ 时, $y=-2×2-\dfrac{3}{2^2-2}=-4-\dfrac{3}{2}=-5.5$.

【分析】
要解决这个问题，首先根据正比例、反比例函数的定义，分别设出$y_1$、$y_2$的表达式，进而得到$y$关于$x$的含参数的表达式；再将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入表达式，得到关于参数的二元一次方程组，解方程组求出参数值，就能确定函数解析式；第二问只需将$x=2$代入已求出的解析式计算即可得到$y$的值。
【解析】
(1) 根据正比例、反比例函数的定义，设$y_1=k_1x$（$k_1≠0$），$y_2=\dfrac{k_2}{x^2-2}$（$k_2≠0$）。
因为$y=y_1-y_2$，所以$y=k_1x-\dfrac{k_2}{x^2-2}$。
将$x=1,y=1$和$x=-1,y=5$分别代入上式，可得方程组：
$\begin{cases}k_1 + k_2=1\\-k_1 + k_2=5\end{cases}$
解这个方程组：两式相加得$2k_2=6$，解得$k_2=3$，将$k_2=3$代入$k_1 + k_2=1$，得$k_1=1-3=-2$。
因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=-2x-\dfrac{3}{x^2-2}$。
(2) 把$x=2$代入解析式得：
$y=-2×2-\dfrac{3}{2^2-2}=-4-\dfrac{3}{2}=-5.5$
【答案】
(1)$y=-2x-\dfrac{3}{x^2-2}$；(2)$-5.5$
【知识点】
正比例函数的定义；反比例函数的定义；待定系数法求解析式
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握正比例、反比例函数的表达形式，能准确代入已知条件列方程组求解参数，计算时注意分母运算，避免出现低级错误。
【难度系数】
0.8