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课前预习
1.角的平分线的性质
角的平分线上的点到角两边的
相等.
2.证明几何命题的步骤
(1)明确命题中的 和 .
(2)根据题意,画出图形,并用
表示已知和求证.
(3)经过分析,找出由已知推出要证的结论
的途径,写出 过程.
1.角的平分线的性质
角的平分线上的点到角两边的
相等.
2.证明几何命题的步骤
(1)明确命题中的 和 .
(2)根据题意,画出图形,并用
表示已知和求证.
(3)经过分析,找出由已知推出要证的结论
的途径,写出 过程.
答案
解：
1. 距离
2. (1) 已知；求证
(2) 数学符号
(3) 证明
1. 距离
2. (1) 已知；求证
(2) 数学符号
(3) 证明
解析
【分析】
本题是基础概念识记类题目，主要考查角平分线的性质以及几何命题证明的基本步骤相关知识点。解题时只需回忆教材中对应基础概念即可作答：第1题直接回忆角平分线的性质内容；第2题对照几何命题证明的三个标准步骤逐一对应填空即可。
【解析】
1. 根据角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等，因此本空填“距离”。
2. 证明几何命题的标准步骤为：
(1) 首先要明确命题中的已知条件和需要求证的结论，因此依次填“已知”“求证”；
(2) 画出对应图形后，需要用规范的数学符号来表示已知和求证，便于后续推理，因此本空填“数学符号”；
(3) 梳理清楚已知到结论的推理逻辑后，需要写出完整的证明过程，因此本空填“证明”。
【答案】
1. 距离
2. (1)已知；求证
(2)数学符号
(3)证明
【知识点】
角平分线的性质；几何证明的基本步骤
【点评】
本题为基础概念题，考查的均是该章节最基础的识记类知识点，是后续学习角平分线相关证明、应用类题目的前提，只要认真阅读教材相关内容就能准确作答。
【难度系数】
0.9
本题是基础概念识记类题目，主要考查角平分线的性质以及几何命题证明的基本步骤相关知识点。解题时只需回忆教材中对应基础概念即可作答：第1题直接回忆角平分线的性质内容；第2题对照几何命题证明的三个标准步骤逐一对应填空即可。
【解析】
1. 根据角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等，因此本空填“距离”。
2. 证明几何命题的标准步骤为：
(1) 首先要明确命题中的已知条件和需要求证的结论，因此依次填“已知”“求证”；
(2) 画出对应图形后，需要用规范的数学符号来表示已知和求证，便于后续推理，因此本空填“数学符号”；
(3) 梳理清楚已知到结论的推理逻辑后，需要写出完整的证明过程，因此本空填“证明”。
【答案】
1. 距离
2. (1)已知；求证
(2)数学符号
(3)证明
【知识点】
角平分线的性质；几何证明的基本步骤
【点评】
本题为基础概念题，考查的均是该章节最基础的识记类知识点，是后续学习角平分线相关证明、应用类题目的前提，只要认真阅读教材相关内容就能准确作答。
【难度系数】
0.9
【例1】如图,在$△ ABC$中,按下列步骤作图:
第一步:在$AB,AC$上分别截取$AD,AE$,使$AD=AE$;
第二步:分别以点$D$和点$E$为圆心,适当长(大于$DE$的一半)为半径作弧,两弧交于点$F$;
第三步:作射线$AF$交$BC$于点$M$;
第四步:过点$M$作$MN ⊥ AB$于点$N$.
下列结论一定成立的是().
A.$CM=MN$
B.$AC=AN$
C.$∠ CAM=∠ BAM$
D.$∠ CMA=∠ NMA$
第一步:在$AB,AC$上分别截取$AD,AE$,使$AD=AE$;
第二步:分别以点$D$和点$E$为圆心,适当长(大于$DE$的一半)为半径作弧,两弧交于点$F$;
第三步:作射线$AF$交$BC$于点$M$;
第四步:过点$M$作$MN ⊥ AB$于点$N$.
下列结论一定成立的是().
A.$CM=MN$
B.$AC=AN$
C.$∠ CAM=∠ BAM$
D.$∠ CMA=∠ NMA$
答案
C
解析
【分析】
首先根据题目给出的作图步骤，判断作图类型：前三个步骤的操作是标准的角平分线尺规作图流程，因此可先得出射线AF是∠BAC的角平分线，再结合角平分线的相关性质，对四个选项逐一分析验证，排除不成立的选项即可。
【解析】
根据题中的作图步骤可知：射线AF是∠BAC的角平分线，因此AF平分∠BAC，即$∠ CAM=∠ BAM$，故C选项结论成立。
对其余选项分析如下：
A选项：角平分线的性质为“角平分线上的点到角两边的距离相等”，题中仅说明$MN⊥ AB$，未说明$MC⊥ AC$，因此无法推出$CM=MN$，该结论不一定成立；
B选项：若要得到$AC=AN$，需证明$△ ACM≌△ ANM$，但题目未给出$∠ C=90°$等可证明全等的条件，因此该结论不一定成立；
D选项：若要得到$∠ CMA=∠ NMA$，同样需要$△ ACM≌△ ANM$，现有条件无法证明全等，因此该结论不一定成立。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的尺规作图；角平分线的定义
【点评】
本题核心考查角平分线的尺规作图识别，解题关键是熟练掌握角平分线的作图方法，结合角平分线的性质判断各选项正误，是角平分线相关知识的基础考查题型。
【难度系数】
0.8
首先根据题目给出的作图步骤，判断作图类型：前三个步骤的操作是标准的角平分线尺规作图流程，因此可先得出射线AF是∠BAC的角平分线，再结合角平分线的相关性质，对四个选项逐一分析验证，排除不成立的选项即可。
【解析】
根据题中的作图步骤可知：射线AF是∠BAC的角平分线，因此AF平分∠BAC，即$∠ CAM=∠ BAM$，故C选项结论成立。
对其余选项分析如下：
A选项：角平分线的性质为“角平分线上的点到角两边的距离相等”，题中仅说明$MN⊥ AB$，未说明$MC⊥ AC$，因此无法推出$CM=MN$，该结论不一定成立；
B选项：若要得到$AC=AN$，需证明$△ ACM≌△ ANM$，但题目未给出$∠ C=90°$等可证明全等的条件，因此该结论不一定成立；
D选项：若要得到$∠ CMA=∠ NMA$，同样需要$△ ACM≌△ ANM$，现有条件无法证明全等，因此该结论不一定成立。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的尺规作图；角平分线的定义
【点评】
本题核心考查角平分线的尺规作图识别，解题关键是熟练掌握角平分线的作图方法，结合角平分线的性质判断各选项正误，是角平分线相关知识的基础考查题型。
【难度系数】
0.8
【变式1】如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=2∠ B$.
(1)根据要求作图:作$∠ ACB$的平分线交AB于点D;作$∠ BDC$的平分线DE交BC于点E.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的基础上写出一对全等三角形,并加以证明.
(1)根据要求作图:作$∠ ACB$的平分线交AB于点D;作$∠ BDC$的平分线DE交BC于点E.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的基础上写出一对全等三角形,并加以证明.
答案
解：(1) 按要求完成尺规作图，作出∠ACB的平分线CD交AB于点D，作出∠BDC的平分线DE交BC于点E，保留作图痕迹即可。
(2) 全等三角形：$△ BDE ≌ △ CDE$，证明如下：
∵ CD平分$∠ ACB$，
∴ $∠ ACD = ∠ BCD = \frac{1}{2}∠ ACB$。
∵ $∠ ACB = 2∠ B$，即$∠ B = \frac{1}{2}∠ ACB$，
∴ $∠ BCD = ∠ B$，
∴ $DB = DC$。
∵ DE平分$∠ BDC$，
∴ $∠ BDE = ∠ CDE$。
在$△ BDE$和$△ CDE$中，
$\{\begin{array}{l}DB = DC \\∠ BDE = ∠ CDE \\DE = DE\end{array} $
∴ $△ BDE ≌ △ CDE$（SAS）。
(2) 全等三角形：$△ BDE ≌ △ CDE$，证明如下：
∵ CD平分$∠ ACB$，
∴ $∠ ACD = ∠ BCD = \frac{1}{2}∠ ACB$。
∵ $∠ ACB = 2∠ B$，即$∠ B = \frac{1}{2}∠ ACB$，
∴ $∠ BCD = ∠ B$，
∴ $DB = DC$。
∵ DE平分$∠ BDC$，
∴ $∠ BDE = ∠ CDE$。
在$△ BDE$和$△ CDE$中，
$\{\begin{array}{l}DB = DC \\∠ BDE = ∠ CDE \\DE = DE\end{array} $
∴ $△ BDE ≌ △ CDE$（SAS）。
解析
【分析】
(1) 本小问考查角平分线的尺规作图，只需分别以点C、点D为角的顶点，按照角平分线的标准尺规作图步骤操作即可，作图时注意保留作图痕迹。
(2) 找全等三角形可从已知边角关系入手推导：首先由CD是∠ACB的平分线，结合∠ACB=2∠B的条件，可推出∠BCD=∠B，根据等角对等边得到DB=DC；再由DE平分∠BDC得到一组相等的角，加上公共边DE，即可通过SAS判定两个三角形全等。
【解析】
(1) 按角平分线尺规作图方法操作：①作∠ACB的平分线CD，交AB于点D；②作∠BDC的平分线DE，交BC于点E，保留作图痕迹即可。
(2) 选取全等三角形$△ BDE ≌ △ CDE$，证明如下：
∵ CD平分$∠ ACB$，
∴ $∠ ACD = ∠ BCD = \frac{1}{2}∠ ACB$。
∵ $∠ ACB = 2∠ B$，即$∠ B = \frac{1}{2}∠ ACB$，
∴ $∠ BCD = ∠ B$，
∴ $DB = DC$。
∵ DE平分$∠ BDC$，
∴ $∠ BDE = ∠ CDE$。
在$△ BDE$和$△ CDE$中：
$\{\begin{array}{l}DB = DC \\∠ BDE = ∠ CDE \\DE = DE\end{array} $
∴ $△ BDE ≌ △ CDE$（SAS）。
【答案】
(1) 按要求完成尺规作图，作出∠ACB的平分线CD交AB于点D，作出∠BDC的平分线DE交BC于点E，保留作图痕迹即可。
(2) $△ BDE ≌ △ CDE$，证明见上述解析。
【知识点】
角平分线的作图；全等三角形的判定；等腰三角形的判定
【点评】
本题结合了尺规作图与全等三角形证明，属于基础几何综合题，既考查学生的基础作图能力，也考查学生的逻辑推导能力，解题时需注意作图要规范留痕，证明过程要保证每一步结论都有对应依据。
【难度系数】
0.7
(1) 本小问考查角平分线的尺规作图，只需分别以点C、点D为角的顶点，按照角平分线的标准尺规作图步骤操作即可，作图时注意保留作图痕迹。
(2) 找全等三角形可从已知边角关系入手推导：首先由CD是∠ACB的平分线，结合∠ACB=2∠B的条件，可推出∠BCD=∠B，根据等角对等边得到DB=DC；再由DE平分∠BDC得到一组相等的角，加上公共边DE，即可通过SAS判定两个三角形全等。
【解析】
(1) 按角平分线尺规作图方法操作：①作∠ACB的平分线CD，交AB于点D；②作∠BDC的平分线DE，交BC于点E，保留作图痕迹即可。
(2) 选取全等三角形$△ BDE ≌ △ CDE$，证明如下：
∵ CD平分$∠ ACB$，
∴ $∠ ACD = ∠ BCD = \frac{1}{2}∠ ACB$。
∵ $∠ ACB = 2∠ B$，即$∠ B = \frac{1}{2}∠ ACB$，
∴ $∠ BCD = ∠ B$，
∴ $DB = DC$。
∵ DE平分$∠ BDC$，
∴ $∠ BDE = ∠ CDE$。
在$△ BDE$和$△ CDE$中：
$\{\begin{array}{l}DB = DC \\∠ BDE = ∠ CDE \\DE = DE\end{array} $
∴ $△ BDE ≌ △ CDE$（SAS）。
【答案】
(1) 按要求完成尺规作图，作出∠ACB的平分线CD交AB于点D，作出∠BDC的平分线DE交BC于点E，保留作图痕迹即可。
(2) $△ BDE ≌ △ CDE$，证明见上述解析。
【知识点】
角平分线的作图；全等三角形的判定；等腰三角形的判定
【点评】
本题结合了尺规作图与全等三角形证明，属于基础几何综合题，既考查学生的基础作图能力，也考查学生的逻辑推导能力，解题时需注意作图要规范留痕，证明过程要保证每一步结论都有对应依据。
【难度系数】
0.7
【例2】如图,在$△ ABC$中,AD是$△ ABC$的角平分线,$DE ⊥ AB$于点E.
(1)若$∠ B=50°,∠ C=70°$,求$∠ EAD$的度数;
(2)若$AB=10,AC=8,DE=3$,求$S_{△ ABC}$.
方法点拨
当题目中出现角平分线的条件时,一般是过角平分线上一点作角的两边的垂线,再利用角平分线的性质求解,而不必再证明两个三角形全等.
(1)若$∠ B=50°,∠ C=70°$,求$∠ EAD$的度数;
(2)若$AB=10,AC=8,DE=3$,求$S_{△ ABC}$.
方法点拨
当题目中出现角平分线的条件时,一般是过角平分线上一点作角的两边的垂线,再利用角平分线的性质求解,而不必再证明两个三角形全等.
答案
解：
(1) 在△ABC中，
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 50° - 70° = 60°，
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠EAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°。
(2) 过点D作DF⊥AC于点F，
∵ AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ 由角平分线的性质得：DF = DE = 3，
∴ $S_{△ABC} = S_{△ABD} + S_{△ACD}$
= $\frac{1}{2}AB·DE + \frac{1}{2}AC·DF$
= $\frac{1}{2}×10×3 + \frac{1}{2}×8×3$
= 15 + 12
= 27。
(1) 在△ABC中，
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 50° - 70° = 60°，
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠EAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°。
(2) 过点D作DF⊥AC于点F，
∵ AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ 由角平分线的性质得：DF = DE = 3，
∴ $S_{△ABC} = S_{△ABD} + S_{△ACD}$
= $\frac{1}{2}AB·DE + \frac{1}{2}AC·DF$
= $\frac{1}{2}×10×3 + \frac{1}{2}×8×3$
= 15 + 12
= 27。
解析
【分析】
(1) 要求∠EAD的度数，首先根据三角形内角和为180°，结合已知的∠B和∠C的度数，先算出△ABC的内角∠BAC的度数；再根据AD是角平分线，可知∠EAD是∠BAC的一半，代入计算即可得到结果。
(2) 要求△ABC的面积，可将其拆分为△ABD和△ACD的面积之和。已知△ABD的底AB和高DE，可直接计算面积；△ACD已知底AC，缺少对应高，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，过D作AC的垂线DF，可得DF=DE，即可算出△ACD的面积，两个面积相加即为△ABC的总面积。
【解析】
(1) 在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 50° - 70° = 60°$
∵ AD是△ABC的角平分线
∴ $∠ EAD = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}×60° = 30°$
(2) 过点D作$DF⊥AC$于点F，
∵ AD是△ABC的角平分线，$DE⊥AB$，$DF⊥AC$
∴ 根据角平分线的性质可得：$DF = DE = 3$
∴ $S_{△ABC} = S_{△ABD} + S_{△ACD}$
$= \frac{1}{2}AB·DE + \frac{1}{2}AC·DF$
$= \frac{1}{2}×10×3 + \frac{1}{2}×8×3$
$= 15 + 12$
$= 27$
【答案】
(1) $\boxed{30°}$；(2) $\boxed{27}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题目，解题时要熟练掌握“角平分线上的点到角两边距离相等”这一性质，遇到求不易直接计算面积的图形时，可采用分割成多个易计算的小图形求和的方法，简化运算过程。
【难度系数】
0.7
(1) 要求∠EAD的度数，首先根据三角形内角和为180°，结合已知的∠B和∠C的度数，先算出△ABC的内角∠BAC的度数；再根据AD是角平分线，可知∠EAD是∠BAC的一半，代入计算即可得到结果。
(2) 要求△ABC的面积，可将其拆分为△ABD和△ACD的面积之和。已知△ABD的底AB和高DE，可直接计算面积；△ACD已知底AC，缺少对应高，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，过D作AC的垂线DF，可得DF=DE，即可算出△ACD的面积，两个面积相加即为△ABC的总面积。
【解析】
(1) 在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 50° - 70° = 60°$
∵ AD是△ABC的角平分线
∴ $∠ EAD = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}×60° = 30°$
(2) 过点D作$DF⊥AC$于点F，
∵ AD是△ABC的角平分线，$DE⊥AB$，$DF⊥AC$
∴ 根据角平分线的性质可得：$DF = DE = 3$
∴ $S_{△ABC} = S_{△ABD} + S_{△ACD}$
$= \frac{1}{2}AB·DE + \frac{1}{2}AC·DF$
$= \frac{1}{2}×10×3 + \frac{1}{2}×8×3$
$= 15 + 12$
$= 27$
【答案】
(1) $\boxed{30°}$；(2) $\boxed{27}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题目，解题时要熟练掌握“角平分线上的点到角两边距离相等”这一性质，遇到求不易直接计算面积的图形时，可采用分割成多个易计算的小图形求和的方法，简化运算过程。
【难度系数】
0.7
