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10.小明家的房屋平面结构如图，他打算把卧室以外的部分全部都铺上地砖.
（1）请用含$x$，$y$的代数式表示房屋地面的总面积；
（2）如果$x=4\ \mathrm{m}$，$y=3\ \mathrm{m}$，并且每平方米地砖的造价是200元，你能帮小明算算要准备多少钱吗？
（1）请用含$x$，$y$的代数式表示房屋地面的总面积；
（2）如果$x=4\ \mathrm{m}$，$y=3\ \mathrm{m}$，并且每平方米地砖的造价是200元，你能帮小明算算要准备多少钱吗？
答案
10. (1)$2y^2 + 16xy$ (2)37 800元
解析
【分析】
（1）求房屋地面总面积时，可将房屋拆分为卫生间、厨房、卧室、客厅4个独立的长方形区域，先分别根据每个区域的长和宽写出对应的面积代数式，再将所有面积相加，合并同类项后即可得到最简的总面积表达式。
（2）求地砖总费用时，首先需要计算出卧室以外的铺砖面积，即总面积减去卧室的面积，再把x、y的具体数值代入铺砖面积的代数式算出实际面积，最后用实际面积乘每平方米地砖的造价即可得到总费用。
【解析】
（1）分别计算各区域面积：
卫生间面积：$y· y = y^2$
厨房面积：$x· 2y = 2xy$
卧室面积：$y·(x+y) = xy + y^2$
客厅面积：$3x·4y = 12xy$
房屋总面积为四个区域面积之和：
$y^2 + 2xy + xy + y^2 + 12xy = 2y^2 + 16xy$
（2）先计算需要铺地砖的面积（卧室以外的面积）：
铺砖面积 $= (2y^2 + 16xy) - (xy + y^2) = y^2 + 15xy$
将$x=4\ \mathrm{m}$，$y=3\ \mathrm{m}$代入上式：
$y^2 + 15xy = 3^2 + 15×4×3 = 9 + 180 = 189\ \mathrm{m^2}$
总造价为：$189×200 = 37800$元
【答案】
(1) $2y^2 + 16xy$
(2) 37800元
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题结合生活中的房屋装修场景考查整式的应用，解题的关键是准确拆分图形，确定各长方形的长和宽，计算过程中要注意合并同类项和代入求值的准确性，属于基础的应用类题型。
【难度系数】
0.7
（1）求房屋地面总面积时，可将房屋拆分为卫生间、厨房、卧室、客厅4个独立的长方形区域，先分别根据每个区域的长和宽写出对应的面积代数式，再将所有面积相加，合并同类项后即可得到最简的总面积表达式。
（2）求地砖总费用时，首先需要计算出卧室以外的铺砖面积，即总面积减去卧室的面积，再把x、y的具体数值代入铺砖面积的代数式算出实际面积，最后用实际面积乘每平方米地砖的造价即可得到总费用。
【解析】
（1）分别计算各区域面积：
卫生间面积：$y· y = y^2$
厨房面积：$x· 2y = 2xy$
卧室面积：$y·(x+y) = xy + y^2$
客厅面积：$3x·4y = 12xy$
房屋总面积为四个区域面积之和：
$y^2 + 2xy + xy + y^2 + 12xy = 2y^2 + 16xy$
（2）先计算需要铺地砖的面积（卧室以外的面积）：
铺砖面积 $= (2y^2 + 16xy) - (xy + y^2) = y^2 + 15xy$
将$x=4\ \mathrm{m}$，$y=3\ \mathrm{m}$代入上式：
$y^2 + 15xy = 3^2 + 15×4×3 = 9 + 180 = 189\ \mathrm{m^2}$
总造价为：$189×200 = 37800$元
【答案】
(1) $2y^2 + 16xy$
(2) 37800元
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题结合生活中的房屋装修场景考查整式的应用，解题的关键是准确拆分图形，确定各长方形的长和宽，计算过程中要注意合并同类项和代入求值的准确性，属于基础的应用类题型。
【难度系数】
0.7
11.有这样一道题：“当$a=2,b=-2$时，求多项式$3a^3b^3 - \frac{1}{2}a^2b + b - 4a^3b^3 + \frac{1}{4}a^2b + b^2 + a^3b^3 + \frac{1}{4}a^2b - 2b^2 + 3$的值”。嘉嘉做题时把$a=2$抄成$a=-2$，淇淇没有抄错题，但他们得到的结果却是一样的，你知道这是怎么回事吗？请说明理由。
答案
11. 原多项式化简后为$b - b^2 + 3$.因为化简后不含字母$a$,所以多项式的值与$a$的取值无关,无论$a=2$还是$a=-2$,结果都一样.
解析
【分析】
遇到这类抄错字母取值但结果相同的问题，核心思路是先对多项式进行化简，通过合并同类项查看化简后的式子是否含有被抄错的字母a。如果化简后不含a，说明多项式的值与a的取值无关，那么无论a抄成什么数值，只要b的取值正确，结果就会一致。具体步骤为：先找出多项式中的同类项，再合并同类项得到最简结果，最后观察最简结果是否包含字母a即可判断原因。
【解析】
我们先对原多项式合并同类项：
将同类项分组计算：
1. 含$a^3b^3$的项：$3a^3b^3 - 4a^3b^3 + a^3b^3 = (3-4+1)a^3b^3 = 0$
2. 含$a^2b$的项：$-\frac{1}{2}a^2b + \frac{1}{4}a^2b + \frac{1}{4}a^2b = (-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4})a^2b = 0$
3. 含$b$的项：剩余单独的$b$
4. 含$b^2$的项：$b^2 - 2b^2 = (1-2)b^2 = -b^2$
5. 常数项：$3$
合并后得到最简多项式：$b - b^2 + 3$，可见化简后的式子中不含字母$a$，说明该多项式的取值仅和$b$有关，和$a$的取值无关，因此两人计算结果一致。
【答案】
原多项式化简后为$b - b^2 + 3$，因为化简后不含字母$a$，所以多项式的值与$a$的取值无关，无论$a=2$还是$a=-2$，结果都一样。
【知识点】
合并同类项；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题考查整式加减的实际应用，解题的关键是熟练掌握合并同类项的法则对多项式进行化简，无需代入具体数值计算即可判断结果与无关字母的取值关系，可大幅简化运算过程。
【难度系数】
0.8
遇到这类抄错字母取值但结果相同的问题，核心思路是先对多项式进行化简，通过合并同类项查看化简后的式子是否含有被抄错的字母a。如果化简后不含a，说明多项式的值与a的取值无关，那么无论a抄成什么数值，只要b的取值正确，结果就会一致。具体步骤为：先找出多项式中的同类项，再合并同类项得到最简结果，最后观察最简结果是否包含字母a即可判断原因。
【解析】
我们先对原多项式合并同类项：
将同类项分组计算：
1. 含$a^3b^3$的项：$3a^3b^3 - 4a^3b^3 + a^3b^3 = (3-4+1)a^3b^3 = 0$
2. 含$a^2b$的项：$-\frac{1}{2}a^2b + \frac{1}{4}a^2b + \frac{1}{4}a^2b = (-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4})a^2b = 0$
3. 含$b$的项：剩余单独的$b$
4. 含$b^2$的项：$b^2 - 2b^2 = (1-2)b^2 = -b^2$
5. 常数项：$3$
合并后得到最简多项式：$b - b^2 + 3$，可见化简后的式子中不含字母$a$，说明该多项式的取值仅和$b$有关，和$a$的取值无关，因此两人计算结果一致。
【答案】
原多项式化简后为$b - b^2 + 3$，因为化简后不含字母$a$，所以多项式的值与$a$的取值无关，无论$a=2$还是$a=-2$，结果都一样。
【知识点】
合并同类项；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题考查整式加减的实际应用，解题的关键是熟练掌握合并同类项的法则对多项式进行化简，无需代入具体数值计算即可判断结果与无关字母的取值关系，可大幅简化运算过程。
【难度系数】
0.8
12. 我们知道$3a - 2a + a = (3 - 2 + 1)a = 2a$，类似地，若我们把$(a + b)$看成一个整体，则$3(a + b) - 2(a + b) + (a + b) = (3 - 2 + 1)(a + b) = 2(a + b)$。我们称这种解题方法为“整体思想”。
(1)把$(a - b)^2$看成一个整体，合并$3(a - b)^2 - 4(a - b)^2 + 2(a - b)^2 =$
(2)已知$x^2 - 2y = 4$，求$3x^2 - 6y - 15$的值；
(3)已知$a - 5b = 3$，$5b - 3c = -5$，$3c - d = 10$，求$a - 3c + 5b - d - 5b + 3c$的值。
(1)把$(a - b)^2$看成一个整体，合并$3(a - b)^2 - 4(a - b)^2 + 2(a - b)^2 =$
$(a-b)^2$
；(2)已知$x^2 - 2y = 4$，求$3x^2 - 6y - 15$的值；
(3)已知$a - 5b = 3$，$5b - 3c = -5$，$3c - d = 10$，求$a - 3c + 5b - d - 5b + 3c$的值。
答案
12. (1)$(a-b)^2$ (2)$-3$ (3)$8$
解析
【分析】
本题考查整体思想在整式运算中的应用，解题思路如下：
(1) 第一问将$(a-b)^2$看作一个整体，按照合并同类项的法则，只把系数相加减，整体部分保持不变即可求解；
(2) 第二问观察所求代数式$3x^2-6y-15$，可变形为$3(x^2-2y)-15$，将已知$x^2-2y=4$整体代入即可计算结果；
(3) 第三问先将所求代数式合并同类项化简，再将化简后的式子拆分，凑成已知的$a-5b$、$5b-3c$、$3c-d$的和的形式，最后整体代入数值计算即可。
【解析】
(1) 把$(a-b)^2$看成整体，合并系数：
$3(a-b)^2 - 4(a-b)^2 + 2(a-b)^2 = (3-4+2)(a-b)^2 = (a-b)^2$
(2) 已知$x^2 - 2y =4$，对所求式子变形：
$3x^2 -6y -15 = 3(x^2 -2y) -15$
将$x^2 -2y=4$代入得：
原式$=3×4 -15 = 12 -15 = -3$
(3) 先化简所求代数式：
$a - 3c + 5b - d -5b +3c$
$=a + (5b-5b) + (-3c+3c) -d$
$=a -d$
将$a-d$拆分凑已知条件：
$a -d = (a -5b) + (5b -3c) + (3c -d)$
把$a-5b=3$，$5b-3c=-5$，$3c-d=10$代入得：
原式$=3 + (-5) +10 = 8$
【答案】
(1)$(a-b)^2$；(2)$-3$；(3)$8$
【知识点】
合并同类项，整体代入思想，整式化简求值
【点评】
本题重点考查整式加减中的整体代换技巧，运用整体思想可以避免求解单个未知数的繁琐过程，大幅简化运算，是整式运算中非常实用的方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.75
本题考查整体思想在整式运算中的应用，解题思路如下：
(1) 第一问将$(a-b)^2$看作一个整体，按照合并同类项的法则，只把系数相加减，整体部分保持不变即可求解；
(2) 第二问观察所求代数式$3x^2-6y-15$，可变形为$3(x^2-2y)-15$，将已知$x^2-2y=4$整体代入即可计算结果；
(3) 第三问先将所求代数式合并同类项化简，再将化简后的式子拆分，凑成已知的$a-5b$、$5b-3c$、$3c-d$的和的形式，最后整体代入数值计算即可。
【解析】
(1) 把$(a-b)^2$看成整体，合并系数：
$3(a-b)^2 - 4(a-b)^2 + 2(a-b)^2 = (3-4+2)(a-b)^2 = (a-b)^2$
(2) 已知$x^2 - 2y =4$，对所求式子变形：
$3x^2 -6y -15 = 3(x^2 -2y) -15$
将$x^2 -2y=4$代入得：
原式$=3×4 -15 = 12 -15 = -3$
(3) 先化简所求代数式：
$a - 3c + 5b - d -5b +3c$
$=a + (5b-5b) + (-3c+3c) -d$
$=a -d$
将$a-d$拆分凑已知条件：
$a -d = (a -5b) + (5b -3c) + (3c -d)$
把$a-5b=3$，$5b-3c=-5$，$3c-d=10$代入得：
原式$=3 + (-5) +10 = 8$
【答案】
(1)$(a-b)^2$；(2)$-3$；(3)$8$
【知识点】
合并同类项，整体代入思想，整式化简求值
【点评】
本题重点考查整式加减中的整体代换技巧，运用整体思想可以避免求解单个未知数的繁琐过程，大幅简化运算，是整式运算中非常实用的方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.75
