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18. 如图，点E在矩形ABCD的边AB上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD=3BF，BE=4，则AD的长为（
A.9
B.12
C.15
D.18
C
）A.9
B.12
C.15
D.18
答案
18. C
19. 如图，在$□ ABCD$中，$AD=10\ \mathrm{cm}$，$CD=6\ \mathrm{cm}$，$E$为$AD$上一点，且$BE=BC$，$CE=CD$，则$DE=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}.$
答案
19. 3.6
20.如图,在正方形ABCD中,点E在BC上,连接AE交对角线BD于点F,若AB=6,BE=2,则BF=
$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
.答案
20. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ 解析 $\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,$\therefore AD // BC,AD=AB=BC=6,∠ BAD=90°,\therefore BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=6\sqrt{2}. \because AD // BC,\therefore △ ADF ∽ △ EBF,\therefore \frac{BF}{DF}=\frac{BE}{DA}=\frac{1}{3},\therefore BF=\frac{1}{4}BD=\frac{3\sqrt{2}}{2},$故答案为$\frac{3\sqrt{2}}{2}.$
21.如图,在$\mathrm{Rt}△ AOB$中,$AO\bot BO$,$AB\bot y$轴,$O$为坐标原点,点$A$的坐标为$(n,\sqrt{3})$.反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}$的图象的一支过点$A$,反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}$的图象的一支过点$B$,过点$A$作$AH\bot x$轴于点$H$,$△ AOH$的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
(1)求$n$的值.
(2)求反比例函数$y_2$的解析式.
(1)求$n$的值.
(2)求反比例函数$y_2$的解析式.
答案
21. 解(1)$\because S_{△ AOH}=\frac{1}{2} × OH × AH=\frac{\sqrt{3}}{2},\therefore \frac{1}{2}n × \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},\therefore n=1.$
(2)过点 $B$ 作 $BQ ⊥ x$ 轴于点 $Q$,如图所示.易得$△ BOQ ∽ △ OAH$,且 $BQ=AH=\sqrt{3},\therefore \frac{BQ}{OH}=\frac{QO}{HA},\therefore \frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{QO}{\sqrt{3}},\therefore QO=3. \because$ 点 $B$ 位于第二象限,$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为$(-3,\sqrt{3}).$将点 $B$ 的坐标代入反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}$中,$\therefore k=-3 × \sqrt{3}=-3\sqrt{3}, \therefore$ 反比例函数 $y_2$ 的解析式为 $y_2=-\frac{3\sqrt{3}}{x}.$
22. 如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$∠ BAC$的平分线$AG$交$\odot O$于点$G$，交$BC$边于点$F$，连接$BG$.
(1)求证:$△ ABG ∽ △ AFC$.
(2)已知$AB=a$，$AC=AF=b$，求线段$FG$的长.(用含$a$，$b$的代数式表示)
(3)已知点$E$在线段$AF$上(不与点$A$，$F$重合)，点$D$在线段$AE$上(不与点$A$，$E$重合)，$∠ ABD=∠ CBE$，求证:$BG^2=EG · DG$.
(1)求证:$△ ABG ∽ △ AFC$.
(2)已知$AB=a$，$AC=AF=b$，求线段$FG$的长.(用含$a$，$b$的代数式表示)
(3)已知点$E$在线段$AF$上(不与点$A$，$F$重合)，点$D$在线段$AE$上(不与点$A$，$E$重合)，$∠ ABD=∠ CBE$，求证:$BG^2=EG · DG$.
答案
(1)证明:$\because AG$ 平分$∠ BAC,\therefore ∠ BAG=∠ FAC.$又$\because ∠ G=∠ C,\therefore △ ABG ∽ △ AFC.$
(2)解:由(1)知$△ ABG ∽ △ AFC,\therefore \frac{AB}{AF}=\frac{AG}{AC}. \because AC=AF=b,\therefore AB=AG=a,\therefore FG=AG-AF=a-b.$
(3)证明:$\because ∠ CAG=∠ CBG,∠ BAG=∠ CAG,\therefore ∠ BAG = ∠ CBG. \because ∠ ABD = ∠ CBE,\therefore ∠ BDG=∠ BAG+∠ ABD=∠ CBG+∠ CBE=∠ EBG.$ 又 $\because ∠ DGB = ∠ BGE, \therefore △ DGB ∽ △ BGE,\therefore \frac{DG}{BG}=\frac{BG}{EG},\therefore BG^2=EG · DG.$
(2)解:由(1)知$△ ABG ∽ △ AFC,\therefore \frac{AB}{AF}=\frac{AG}{AC}. \because AC=AF=b,\therefore AB=AG=a,\therefore FG=AG-AF=a-b.$
(3)证明:$\because ∠ CAG=∠ CBG,∠ BAG=∠ CAG,\therefore ∠ BAG = ∠ CBG. \because ∠ ABD = ∠ CBE,\therefore ∠ BDG=∠ BAG+∠ ABD=∠ CBG+∠ CBE=∠ EBG.$ 又 $\because ∠ DGB = ∠ BGE, \therefore △ DGB ∽ △ BGE,\therefore \frac{DG}{BG}=\frac{BG}{EG},\therefore BG^2=EG · DG.$
