10. (南京中考)若方程$(x-5)^{2}= 19$的两根为a和b,且$a＞b$,则下列结论中正确的是 ()
A. a是19的算术平方根
B. b是19的平方根
C. a-5是19的算术平方根
D. b+5是19的平方根

C 解析：方程$(x-5)^{2}=19$的两根为$a$和$b$，$\therefore (a-5)^{2}=19$且$(b-5)^{2}=19$。$\because a＞b$，$\therefore a-5$是 19 的正平方根，即算术平方根。故选 C。

11. 若a是$(-5)^{2}$的平方根,b的绝对值是7,且$a＞b$,则$a+b$的值是____.

$-2$或$-12$ 解析：$\because a$是$(-5)^{2}$的平方根，$\therefore a=\pm 5$。$\because b$的绝对值是 7，且$a＞b$，$\therefore a=5$，$b=-7$或$a=-5$，$b=-7$。则$a+b$的值是$-2$或$-12$。

12. 已知正数x的两个平方根是m和$m+b$,且$m^{2}x+(m+b)^{2}x= 4$,则$x= $____.

$\sqrt{2}$ 解析：$\because$正数$x$的两个平方根是$m$和$m+b$，$\therefore (m+b)^{2}=x$，$m^{2}=x$。$\because m^{2}x+(m+b)^{2}x=4$，$\therefore x^{2}+x^{2}=4$，$\therefore x^{2}=2$。$\because x＞0$，$\therefore x=\sqrt{2}$。

13. (1)若$(a^{2}+b^{2}-1)^{2}= 16$,则$a^{2}+b^{2}$的值为____.
(2)已知$(x+y+3)(x+y-3)= 72$,则$x+y$的值为____.

(1)5 解析：开方，得$a^{2}+b^{2}-1=4$或$a^{2}+b^{2}-1=-4$，故$a^{2}+b^{2}=5$或$a^{2}+b^{2}=-3$（舍去）。
(2)$\pm 9$ 解析：$\because (x+y+3)(x+y-3)=72$，$\therefore (x+y)^{2}-9=72$，即$(x+y)^{2}=81$，$\therefore x+y=\pm 9$。

14. 改编题 (1)(2024·宁波模拟)设一个正数的两个平方根是$a-1和a+3$,则这个正数为____；
(2)已知一个正数的两个平方根之差为$a(a＞0)$,试用含a的式子表示这个正数；
(3)已知4-n与$2n+1$是一个正数的平方根,求这个正数.

(1)4 解析：$\because$一个正数的两个平方根是$a-1$和$a+3$，$\therefore a-1+a+3=0$，解得$a=-1$，$\therefore a-1=-2$。$\because (-2)^{2}=4$，$\therefore$这个正数为 4。
(2)设这个正数的两个平方根分别为$x$，$y$，$x＞0$，由题意得$\left\{\begin{array}{l} x+y=0,\\ x-y=a,\end{array}\right.$解得$x=\frac{a}{2}$，$\therefore$这个正数是$\frac{a^{2}}{4}$。
(3)分两种情况：
①当这两个平方根相等时，可得$4-n=2n+1$，解得$n=1$，则所求的正数为$(4-1)^{2}=9$；
②当这两个平方根互为相反数时，可得$(4-n)+(2n+1)=0$，解得$n=-5$，则所求的正数为$[4-(-5)]^{2}=81$。
综上所述，这个正数为 9 或 81。

15. (1)已知$|x+y-5|+(xy-6)^{2}= 0$,试求$x^{2}+y^{2}$的平方根；
(2)已知$2m+2的平方根是\pm 4$,$3m+n+1的平方根是\pm 5$,求$m+3n$的平方根.

(1)由题意可知$x+y=5$，$xy=6$，$\therefore x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy=25-12=13$，$\therefore x^{2}+y^{2}$的平方根为$\pm \sqrt{13}$。
(2)依题意，得$2m+2=16$且$3m+n+1=25$，$\therefore m=7$，$n=3$，$\therefore m+3n=7+3×3=16$，$\therefore m+3n$的平方根为$\pm 4$。

16. (1)(2025·宿州校级月考)$x^{2}+2025$的平方根分别是a,b,则$a+b-\frac {b}{a}$的值为____.
(2)若a的两个平方根是方程$3x+2y= 2$的一组解,则a的平方根为____.

(1)1 解析：$\because x^{2}+2025≥2025＞0$，$x^{2}+2025$的平方根分别是$a$，$b$，$\therefore a$，$b$互为相反数且都不为 0，$\therefore a+b=0$，$\frac{b}{a}=-1$，$\therefore a+b-\frac{b}{a}=0-(-1)=1$。
(2)$\pm 2$ 解析：$\because a$的两个平方根是方程$3x+2y=2$的一组解，$\therefore$设$a$的平方根为$a_{1}$，$a_{2}$，$\therefore 3a_{1}+2a_{2}=2$，$a_{1}+a_{2}=0$，解得$a_{1}=2$，$a_{2}=-2$，$\therefore a$的平方根为$\pm 2$。

17. 小明是一位善于思考、勇于创新的同学. 在学习了有关平方根的知识后,小明知道了负数没有平方根. 比如：因为没有一个数的平方等于-1,所以-1没有平方根. 有一天,小明想：如果存在一个数i,使$i^{2}= -1$,那么$(-i)^{2}= -1$,因此-1就有两个平方根了. 进一步,小明想：因为$(\pm 2i)^{2}= -4$,所以-4的平方根就是$\pm 2i$；因为$(\pm 3i)^{2}= -9$,所以-9的平方根就是$\pm 3i$. 请你根据上面的信息解答下列问题：
(1)求-16,-25的平方根.
(2)求$i^{3},i^{4},i^{5},i^{6},i^{7},i^{8}$的值,你发现了什么规律？将你发现的规律用式子表示出来.

(1)$\because (\pm 4i)^{2}=-16$，$\therefore -16$的平方根是$\pm 4i$。$\because (\pm 5i)^{2}=-25$，$\therefore -25$的平方根是$\pm 5i$。
(2)$i^{3}=i^{2}\cdot i=-i$，$i^{4}=(i^{2})^{2}=(-1)^{2}=1$，$i^{5}=i^{4}\cdot i=i$，$i^{6}=i^{5}\cdot i=i^{2}=-1$，$i^{7}=i^{6}\cdot i=-i$，$i^{8}=i^{7}\cdot i=1$。规律：$i$的每四次方一个循环，即$i$，$-1$，$-i$，1 用式子表示为$i^{4n+1}=i$，$i^{4n+2}=-1$，$i^{4n+3}=-i$，$i^{4n+4}=1(n≥0$且$n$为整数)。