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8. 新情境 [2026郑州一中高新实验中学月考]
如图是视力表的一部分，图中的“E”均是相似图形，其中不是位似图形的是（
A.①和④
B.②和③
C.①和②
D.②和④
如图是视力表的一部分，图中的“E”均是相似图形，其中不是位似图形的是（
B
）A.①和④
B.②和③
C.①和②
D.②和④
答案
8.B ①和②、①和④、②和④中的两个图形都是位似图形(对应点的连线都经过同一个点,对应边平行);②和③中的图形的对应边不平行,不是位似图形.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确位似图形的两个核心判定条件：①两个图形首先是相似图形（本题已说明所有“E”都是相似图形，该条件全部满足）；②两个图形的对应顶点连线经过同一个点（即位似中心），且对应边互相平行或共线。接下来逐一分析各选项中的两个图形是否满足第二个条件：先观察两个图形的对应边是否平行，再验证对应点连线是否共点，即可判断是否为位似图形。
【解析】
位似图形需要满足：在图形相似的前提下，对应边平行（或共线），且对应顶点的连线交于同一点。
我们逐一分析选项：
选项A：①和④的“E”开口均向下，对应边互相平行，对应顶点连线交于同一点，是位似图形，不符合题意；
选项B：②的“E”开口向上，③的“E”开口向左，二者的对应边互相垂直、不平行，不满足位似图形的条件，不是位似图形，符合题意；
选项C：①和②的“E”的边均为横平竖直，对应边互相平行，对应顶点连线交于同一点，是位似图形，不符合题意；
选项D：②和④的“E”的边均为横平竖直，对应边互相平行，对应顶点连线交于同一点，是位似图形，不符合题意。
【答案】B
【知识点】位似图形的判定、相似图形的概念
【点评】本题是位似图形判定的基础题，解题的关键是熟练掌握位似图形的判定条件，尤其不要忽略“对应边平行或共线”这个必要条件，通过观察图形朝向、对应边的位置关系就能快速判断。
【难度系数】0.7
要解决这道题，首先需要明确位似图形的两个核心判定条件：①两个图形首先是相似图形（本题已说明所有“E”都是相似图形，该条件全部满足）；②两个图形的对应顶点连线经过同一个点（即位似中心），且对应边互相平行或共线。接下来逐一分析各选项中的两个图形是否满足第二个条件：先观察两个图形的对应边是否平行，再验证对应点连线是否共点，即可判断是否为位似图形。
【解析】
位似图形需要满足：在图形相似的前提下，对应边平行（或共线），且对应顶点的连线交于同一点。
我们逐一分析选项：
选项A：①和④的“E”开口均向下，对应边互相平行，对应顶点连线交于同一点，是位似图形，不符合题意；
选项B：②的“E”开口向上，③的“E”开口向左，二者的对应边互相垂直、不平行，不满足位似图形的条件，不是位似图形，符合题意；
选项C：①和②的“E”的边均为横平竖直，对应边互相平行，对应顶点连线交于同一点，是位似图形，不符合题意；
选项D：②和④的“E”的边均为横平竖直，对应边互相平行，对应顶点连线交于同一点，是位似图形，不符合题意。
【答案】B
【知识点】位似图形的判定、相似图形的概念
【点评】本题是位似图形判定的基础题，解题的关键是熟练掌握位似图形的判定条件，尤其不要忽略“对应边平行或共线”这个必要条件，通过观察图形朝向、对应边的位置关系就能快速判断。
【难度系数】0.7
9. ▶一题多解 [2026洛阳地矿双语学校月考] 如图，点A是反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上的一点，点B，D在y轴的正半轴上，△ABD和△COD是以点D为位似中心的位似图形，且△ABD与△COD的相似比是1:3。若△ABD的面积为1，则该反比例函数的表达式为
$y=\frac{8}{x}$
。答案
9. $y=\frac{8}{x}$
通解 如图1,过点A作AE⊥x轴于点E,则$k=xy=AB·AE$(反比例函数的几何意义).
∵△ABD与△COD位似,相似比是1:3,
∴$\frac{BD}{OD}=\frac{1}{3}$,
∴$BD=\frac{1}{4}OB$.
∵∠ABO=∠BOE=∠AEO=90°,
∴四边形ABOE是矩形,
∴AE=OB,
∴$BD=\frac{1}{4}AE$.
∵$S_{△ ABD}=1$,
∴$\frac{AB·BD}{2}=1$,
∴$AB·BD=2$,
∴$AB·\frac{1}{4}AE=2$,
∴$k=AB·AE=8$,
∴该反比例函数的表达式为$y=\frac{8}{x}$.
优解 如图2,连接OA,则$k=xy=2S_{△ ABO}$.
∵△ABD与△COD位似,相似比是1:3,
∴$\frac{BD}{OD}=\frac{1}{3}$,
∴$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ADO}}=\frac{1}{3}$,
∴$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ABO}}=\frac{1}{4}$.
∵$S_{△ ABD}=1$,
∴$S_{△ ABO}=4$,
∴$k=2S_{△ ABO}=8$,
∴该反比例函数的表达式为$y=\frac{8}{x}$.
解析
【分析】
要解决这道题，核心是求出反比例函数的系数$k$，我们可以结合位似图形的性质和反比例函数$k$的几何意义推导：首先位似是特殊的相似，相似比等于对应边的比，由已知的相似比可得到$BD$与$OD$的比值；接下来要么作辅助线构造矩形，将$k$转化为矩形邻边的乘积，结合$△ ABD$的面积建立等式求$k$，要么利用同高三角形面积比等于底的比，先求出$△ ABO$的面积，再结合反比例函数$k$与对应三角形面积的关系求$k$。
【解析】
通解：
如图1，过点$A$作$AE⊥ x$轴于点$E$，根据反比例函数的几何意义可知$k=xy=AB·AE$。
$\because△ ABD$与$△ COD$是以点$D$为位似中心的位似图形，相似比是$1:3$，
$\therefore\frac{BD}{OD}=\frac{1}{3}$，即$OD=3BD$，因此$OB=BD+OD=4BD$，可得$BD=\frac{1}{4}OB$。
$\because∠ ABO=∠ BOE=∠ AEO=90°$，
$\therefore$四边形$ABOE$是矩形，因此$AE=OB$，
$\therefore BD=\frac{1}{4}AE$。
已知$S_{△ ABD}=1$，由三角形面积公式得$\frac{1}{2}AB·BD=1$，即$AB·BD=2$。
将$BD=\frac{1}{4}AE$代入得：$AB·\frac{1}{4}AE=2$，
$\therefore AB·AE=8$，即$k=8$。
优解：
如图2，连接$OA$，根据反比例函数的几何意义可知$k=2S_{△ ABO}$（$k＞0$）。
$\because△ ABD$与$△ COD$是以点$D$为位似中心的位似图形，相似比是$1:3$，
$\therefore\frac{BD}{OD}=\frac{1}{3}$。
$△ ABD$和$△ ADO$同高（以$A$为顶点，向$y$轴作的高为公共高），因此面积比等于底的比，即$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ADO}}=\frac{BD}{OD}=\frac{1}{3}$，
$\therefore\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ABO}}=\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ABD}+S_{△ ADO}}=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$。
已知$S_{△ ABD}=1$，因此$S_{△ ABO}=4$，
$\therefore k=2S_{△ ABO}=2×4=8$。
综上可得反比例函数的表达式。
【答案】
$y=\frac{8}{x}$
【知识点】
位似图形的性质，反比例函数$k$的几何意义，三角形面积计算
【点评】
本题是位似与反比例函数的综合题型，解题关键是灵活运用位似的比例性质，将已知三角形的面积和反比例函数系数$k$建立关联，两种解法均体现了转化的数学思想，能有效考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，核心是求出反比例函数的系数$k$，我们可以结合位似图形的性质和反比例函数$k$的几何意义推导：首先位似是特殊的相似，相似比等于对应边的比，由已知的相似比可得到$BD$与$OD$的比值；接下来要么作辅助线构造矩形，将$k$转化为矩形邻边的乘积，结合$△ ABD$的面积建立等式求$k$，要么利用同高三角形面积比等于底的比，先求出$△ ABO$的面积，再结合反比例函数$k$与对应三角形面积的关系求$k$。
【解析】
通解：
如图1，过点$A$作$AE⊥ x$轴于点$E$，根据反比例函数的几何意义可知$k=xy=AB·AE$。
$\because△ ABD$与$△ COD$是以点$D$为位似中心的位似图形，相似比是$1:3$，
$\therefore\frac{BD}{OD}=\frac{1}{3}$，即$OD=3BD$，因此$OB=BD+OD=4BD$，可得$BD=\frac{1}{4}OB$。
$\because∠ ABO=∠ BOE=∠ AEO=90°$，
$\therefore$四边形$ABOE$是矩形，因此$AE=OB$，
$\therefore BD=\frac{1}{4}AE$。
已知$S_{△ ABD}=1$，由三角形面积公式得$\frac{1}{2}AB·BD=1$，即$AB·BD=2$。
将$BD=\frac{1}{4}AE$代入得：$AB·\frac{1}{4}AE=2$，
$\therefore AB·AE=8$，即$k=8$。
优解：
如图2，连接$OA$，根据反比例函数的几何意义可知$k=2S_{△ ABO}$（$k＞0$）。
$\because△ ABD$与$△ COD$是以点$D$为位似中心的位似图形，相似比是$1:3$，
$\therefore\frac{BD}{OD}=\frac{1}{3}$。
$△ ABD$和$△ ADO$同高（以$A$为顶点，向$y$轴作的高为公共高），因此面积比等于底的比，即$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ADO}}=\frac{BD}{OD}=\frac{1}{3}$，
$\therefore\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ABO}}=\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ABD}+S_{△ ADO}}=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$。
已知$S_{△ ABD}=1$，因此$S_{△ ABO}=4$，
$\therefore k=2S_{△ ABO}=2×4=8$。
综上可得反比例函数的表达式。
【答案】
$y=\frac{8}{x}$
【知识点】
位似图形的性质，反比例函数$k$的几何意义，三角形面积计算
【点评】
本题是位似与反比例函数的综合题型，解题关键是灵活运用位似的比例性质，将已知三角形的面积和反比例函数系数$k$建立关联，两种解法均体现了转化的数学思想，能有效考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
10. ▶一题多解 如图,已知 O 是坐标原点,$M(4,2)$,$N(6,-2)$.
(1) 在 y 轴的左侧,以点 O 为位似中心作$△ OMN$的位似三角形$OPQ$,使所作图形与原图形的相似比为$1:2$;
(2) 分别写出$M$,$N$的对应点$P$,$Q$的坐标;
(3) 求$△ OPQ$的面积;
(4) 若$△ OMN$内部一点$A$的坐标为$(a,b)$,直接写出点$A$在$△ OPQ$内的对应点$B$的坐标.
(1) 在 y 轴的左侧,以点 O 为位似中心作$△ OMN$的位似三角形$OPQ$,使所作图形与原图形的相似比为$1:2$;
(2) 分别写出$M$,$N$的对应点$P$,$Q$的坐标;
(3) 求$△ OPQ$的面积;
(4) 若$△ OMN$内部一点$A$的坐标为$(a,b)$,直接写出点$A$在$△ OPQ$内的对应点$B$的坐标.
答案
10. 解:(1)如图,$△ OPQ$即为所求.
(2)$P(-2,-1),Q(-3,1)$.
(3)通解 根据(1)中的图可得△OPQ是等腰直角三角形,$OP=PQ=\sqrt{5}$,
∴△OPQ的面积为$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\sqrt{5}=\frac{5}{2}$.
另解1 △OPQ的面积为$\frac{1}{2}×(1+2)×3 - \frac{1}{2}×2×1 - \frac{1}{2}×2×1 =\frac{9}{2}-1-1=\frac{5}{2}$.
另解2 △OPQ的面积为$3×2 - \frac{1}{2}×1×3 - \frac{1}{2}×2×1 - \frac{1}{2}×2×1 =6-\frac{3}{2}-1-1=\frac{5}{2}$.
(4)根据题意可得点B的坐标为$(-\frac{1}{2}a,-\frac{1}{2}b)$.
解析
【分析】
(1) 作位似图形需先明确三个要素：位似中心为原点O，相似比为1:2，图形需在y轴左侧，说明新图形与原图形在原点两侧，因此位似比取$-\frac{1}{2}$。只需将M、N两点的横、纵坐标分别乘以$-\frac{1}{2}$得到对应点P、Q的位置，连接OP、OQ、PQ即可得到$△ OPQ$。
(2) 求对应点坐标可直接用位似中心在原点的坐标变换规律：若位似比为k，则对应点坐标为原坐标乘以k，代入M、N坐标计算即可。
(3) 求$△ OPQ$面积可选择多种方法：一是用割补法，将三角形放在矩形内，减去周围多余直角三角形的面积；二是利用位似图形面积比等于相似比的平方，先求$△ OMN$的面积再乘以$(\frac{1}{2})^2$；三是先判断三角形形状结合边长计算面积。
(4) 点的坐标变换规律与第二问一致，将A的横、纵坐标分别乘位似比$-\frac{1}{2}$即可得到对应点B的坐标。
【解析】
(1) 分别作射线OM、ON，在射线OM、ON的反向延长线（y轴左侧）上分别取点P、Q，使$OP:OM=OQ:ON=1:2$，连接PQ，$△ OPQ$即为所求。
(2) 已知$M(4,2)$，$N(6,-2)$，位似比为$-\frac{1}{2}$，因此：
$P$点坐标为$(4×(-\frac{1}{2}),2×(-\frac{1}{2}))=(-2,-1)$，
$Q$点坐标为$(6×(-\frac{1}{2}),-2×(-\frac{1}{2}))=(-3,1)$。
(3) 用割补法计算：将$△ OPQ$放在长为3、宽为2的矩形内，矩形面积为$3×2=6$，减去周围三个直角三角形的面积：
$S_{△ OPQ}=6 - \frac{1}{2}×1×3 - \frac{1}{2}×2×1 - \frac{1}{2}×2×1 = 6 - \frac{3}{2} -1 -1=\frac{5}{2}$。
(也可通过位似面积比计算：先求得$S_{△ OMN}=10$，位似面积比为$1:4$，因此$S_{△ OPQ}=10×\frac{1}{4}=\frac{5}{2}$)
(4) 点$A(a,b)$的对应点$B$的坐标为原坐标乘位似比$-\frac{1}{2}$，即$(-\frac{1}{2}a,-\frac{1}{2}b)$。
【答案】
(1) 如图，$△ OPQ$即为所求。
(2) $P(-2,-1),Q(-3,1)$
(3) $\frac{5}{2}$
(4) $(-\frac{1}{2}a,-\frac{1}{2}b)$
【知识点】
位似图形的性质，位似坐标变换，割补法求面积
【点评】
本题综合考查位似图形的作图、坐标变换与面积计算，需注意位似图形的位置要求，避免坐标符号出错，多种方法求解面积可以拓展解题思路。
【难度系数】
0.7
(1) 作位似图形需先明确三个要素：位似中心为原点O，相似比为1:2，图形需在y轴左侧，说明新图形与原图形在原点两侧，因此位似比取$-\frac{1}{2}$。只需将M、N两点的横、纵坐标分别乘以$-\frac{1}{2}$得到对应点P、Q的位置，连接OP、OQ、PQ即可得到$△ OPQ$。
(2) 求对应点坐标可直接用位似中心在原点的坐标变换规律：若位似比为k，则对应点坐标为原坐标乘以k，代入M、N坐标计算即可。
(3) 求$△ OPQ$面积可选择多种方法：一是用割补法，将三角形放在矩形内，减去周围多余直角三角形的面积；二是利用位似图形面积比等于相似比的平方，先求$△ OMN$的面积再乘以$(\frac{1}{2})^2$；三是先判断三角形形状结合边长计算面积。
(4) 点的坐标变换规律与第二问一致，将A的横、纵坐标分别乘位似比$-\frac{1}{2}$即可得到对应点B的坐标。
【解析】
(1) 分别作射线OM、ON，在射线OM、ON的反向延长线（y轴左侧）上分别取点P、Q，使$OP:OM=OQ:ON=1:2$，连接PQ，$△ OPQ$即为所求。
(2) 已知$M(4,2)$，$N(6,-2)$，位似比为$-\frac{1}{2}$，因此：
$P$点坐标为$(4×(-\frac{1}{2}),2×(-\frac{1}{2}))=(-2,-1)$，
$Q$点坐标为$(6×(-\frac{1}{2}),-2×(-\frac{1}{2}))=(-3,1)$。
(3) 用割补法计算：将$△ OPQ$放在长为3、宽为2的矩形内，矩形面积为$3×2=6$，减去周围三个直角三角形的面积：
$S_{△ OPQ}=6 - \frac{1}{2}×1×3 - \frac{1}{2}×2×1 - \frac{1}{2}×2×1 = 6 - \frac{3}{2} -1 -1=\frac{5}{2}$。
(也可通过位似面积比计算：先求得$S_{△ OMN}=10$，位似面积比为$1:4$，因此$S_{△ OPQ}=10×\frac{1}{4}=\frac{5}{2}$)
(4) 点$A(a,b)$的对应点$B$的坐标为原坐标乘位似比$-\frac{1}{2}$，即$(-\frac{1}{2}a,-\frac{1}{2}b)$。
【答案】
(1) 如图，$△ OPQ$即为所求。
(2) $P(-2,-1),Q(-3,1)$
(3) $\frac{5}{2}$
(4) $(-\frac{1}{2}a,-\frac{1}{2}b)$
【知识点】
位似图形的性质，位似坐标变换，割补法求面积
【点评】
本题综合考查位似图形的作图、坐标变换与面积计算，需注意位似图形的位置要求，避免坐标符号出错，多种方法求解面积可以拓展解题思路。
【难度系数】
0.7
11. 推理能力 [2026天水秦安期末] 如图,请在$△ ABC$的边$AC$和$BC$上分别取一点$X$和$Y$,使得$AX = XY = YB$. 解决该问题的操作步骤如下:
第一步,在$CA$上作出一点$D$,使得$CD = CB$,连接$BD$.
第二步,在$CB$上取一点$Y'$,作$Y'Z' // CA$,交$BD$于点$Z'$,并在$AB$上取一点$A'$,使$A'Z' = Y'Z'$.
第三步,过点$A$作$AZ // A'Z'$,交$BD$于点$Z$.
第四步,过点$Z$作$ZY // AC$,交$BC$于点$Y$,再过点$Y$作$YX // ZA$,交$AC$于点$X$.
则有$AX = XY = YB$.
(1)请根据上面的步骤,判断四边形$AXYZ$的形状,并证明;
(2)求证:$AX = XY = YB$;
(3)在上述过程中,通过作平行线把四边形$BA'Z'Y'$放大得到四边形$BAZY$,从而确定了点$Z,Y$的位置,这里运用的图形变换是
第一步,在$CA$上作出一点$D$,使得$CD = CB$,连接$BD$.
第二步,在$CB$上取一点$Y'$,作$Y'Z' // CA$,交$BD$于点$Z'$,并在$AB$上取一点$A'$,使$A'Z' = Y'Z'$.
第三步,过点$A$作$AZ // A'Z'$,交$BD$于点$Z$.
第四步,过点$Z$作$ZY // AC$,交$BC$于点$Y$,再过点$Y$作$YX // ZA$,交$AC$于点$X$.
则有$AX = XY = YB$.
(1)请根据上面的步骤,判断四边形$AXYZ$的形状,并证明;
(2)求证:$AX = XY = YB$;
(3)在上述过程中,通过作平行线把四边形$BA'Z'Y'$放大得到四边形$BAZY$,从而确定了点$Z,Y$的位置,这里运用的图形变换是
位似
.答案
11. (1)解:四边形AXYZ是菱形.证明如下:
∵$ZY//AC,YX//ZA$,
∴四边形AXYZ是平行四边形.
∵$Y'Z'//CA,AZ//A'Z'$,
∴$△ BY'Z'∽△ BYZ$,$△ BA'Z'∽△ BAZ$,
∴$\frac{Y'Z'}{YZ}=\frac{BZ'}{BZ}$,$\frac{A'Z'}{AZ}=\frac{BZ'}{BZ}$,
∴$\frac{Y'Z'}{YZ}=\frac{A'Z'}{AZ}$,
∴$\frac{Y'Z'}{A'Z'}=\frac{YZ}{AZ}$.
∵$A'Z' = Y'Z'$,
∴$AZ = YZ$,
∴$□ AXYZ$是菱形.
(2)证明:如图,
∵$CD = CB$,
∴$∠1 = ∠3$.
∵$ZY//AC$,
∴$∠1 = ∠2$,
∴$∠2 = ∠3$,
∴$YB = YZ$.
∵四边形AXYZ是菱形,
∴$AX = XY = YZ$,
∴$AX = XY = YB$.
(3)位似
解析
【分析】
(1) 要判断四边形AXYZ的形状，首先观察到ZY//AC、YX//ZA，可先判定为平行四边形，接下来需证明邻边相等。利用所作平行线得到两组相似三角形，对应边成比例，结合已知A'Z'=Y'Z'，可推出AZ=YZ，即可证明平行四边形是菱形。
(2) 要证AX=XY=YB，先由菱形性质得AX=XY=YZ，只需再证YB=YZ即可：根据CD=CB可得∠1=∠3，再结合ZY//AC的平行线性质，推导得∠2=∠3，利用等角对等边得YB=YZ，即可完成等量代换证明结论。
(3) 两个四边形对应顶点连线都经过点B，对应边互相平行，图形按比例放大，符合位似变换的特征，可直接判断变换类型。
【解析】
(1) 四边形AXYZ是菱形，证明如下：
∵$ZY// AC$，$YX// ZA$，
∴四边形AXYZ是平行四边形。
∵$Y'Z'// CA$，$AZ// A'Z'$，
∴$△ BY'Z'∽△ BYZ$，$△ BA'Z'∽△ BAZ$，
∴$\frac{Y'Z'}{YZ}=\frac{BZ'}{BZ}$，$\frac{A'Z'}{AZ}=\frac{BZ'}{BZ}$，
∴$\frac{Y'Z'}{YZ}=\frac{A'Z'}{AZ}$，即$\frac{Y'Z'}{A'Z'}=\frac{YZ}{AZ}$。
∵$A'Z' = Y'Z'$，
∴$AZ = YZ$，
∴$□ AXYZ$是菱形。
(2) 证明：如图，
∵$CD = CB$，
∴$∠1 = ∠3$。
∵$ZY// AC$，
∴$∠1 = ∠2$，
∴$∠2 = ∠3$，
∴$YB = YZ$。
∵四边形AXYZ是菱形，
∴$AX = XY = YZ$，
∴$AX = XY = YB$。
(3) 两个四边形对应顶点连线交于同一点B，对应边互相平行，符合位似变换的特征，故填位似。
【答案】
(1) 四边形AXYZ是菱形，证明如下：
∵$ZY//AC,YX//ZA$,
∴四边形AXYZ是平行四边形.
∵$Y'Z'//CA,AZ//A'Z'$,
∴$△ BY'Z'∽△ BYZ$,$△ BA'Z'∽△ BAZ$,
∴$\frac{Y'Z'}{YZ}=\frac{BZ'}{BZ}$,$\frac{A'Z'}{AZ}=\frac{BZ'}{BZ}$,
∴$\frac{Y'Z'}{YZ}=\frac{A'Z'}{AZ}$,
∴$\frac{Y'Z'}{A'Z'}=\frac{YZ}{AZ}$.
∵$A'Z' = Y'Z'$,
∴$AZ = YZ$,
∴$□ AXYZ$是菱形.
(2) 证明:如图,
∵$CD = CB$,
∴$∠1 = ∠3$.
∵$ZY//AC$,
∴$∠1 = ∠2$,
∴$∠2 = ∠3$,
∴$YB = YZ$.
∵四边形AXYZ是菱形,
∴$AX = XY = YZ$,
∴$AX = XY = YB$.
(3) 位似
【知识点】
菱形的判定、相似三角形的性质、位似变换
【点评】
本题结合操作探究的形式，综合考查了特殊四边形的判定、相似三角形的性质、等腰三角形的性质及位似变换的识别，解题时需要紧扣题干给出的步骤条件，逐步推导，能够有效锻炼逻辑推理和几何探究能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要判断四边形AXYZ的形状，首先观察到ZY//AC、YX//ZA，可先判定为平行四边形，接下来需证明邻边相等。利用所作平行线得到两组相似三角形，对应边成比例，结合已知A'Z'=Y'Z'，可推出AZ=YZ，即可证明平行四边形是菱形。
(2) 要证AX=XY=YB，先由菱形性质得AX=XY=YZ，只需再证YB=YZ即可：根据CD=CB可得∠1=∠3，再结合ZY//AC的平行线性质，推导得∠2=∠3，利用等角对等边得YB=YZ，即可完成等量代换证明结论。
(3) 两个四边形对应顶点连线都经过点B，对应边互相平行，图形按比例放大，符合位似变换的特征，可直接判断变换类型。
【解析】
(1) 四边形AXYZ是菱形，证明如下：
∵$ZY// AC$，$YX// ZA$，
∴四边形AXYZ是平行四边形。
∵$Y'Z'// CA$，$AZ// A'Z'$，
∴$△ BY'Z'∽△ BYZ$，$△ BA'Z'∽△ BAZ$，
∴$\frac{Y'Z'}{YZ}=\frac{BZ'}{BZ}$，$\frac{A'Z'}{AZ}=\frac{BZ'}{BZ}$，
∴$\frac{Y'Z'}{YZ}=\frac{A'Z'}{AZ}$，即$\frac{Y'Z'}{A'Z'}=\frac{YZ}{AZ}$。
∵$A'Z' = Y'Z'$，
∴$AZ = YZ$，
∴$□ AXYZ$是菱形。
(2) 证明：如图，
∵$CD = CB$，
∴$∠1 = ∠3$。
∵$ZY// AC$，
∴$∠1 = ∠2$，
∴$∠2 = ∠3$，
∴$YB = YZ$。
∵四边形AXYZ是菱形，
∴$AX = XY = YZ$，
∴$AX = XY = YB$。
(3) 两个四边形对应顶点连线交于同一点B，对应边互相平行，符合位似变换的特征，故填位似。
【答案】
(1) 四边形AXYZ是菱形，证明如下：
∵$ZY//AC,YX//ZA$,
∴四边形AXYZ是平行四边形.
∵$Y'Z'//CA,AZ//A'Z'$,
∴$△ BY'Z'∽△ BYZ$,$△ BA'Z'∽△ BAZ$,
∴$\frac{Y'Z'}{YZ}=\frac{BZ'}{BZ}$,$\frac{A'Z'}{AZ}=\frac{BZ'}{BZ}$,
∴$\frac{Y'Z'}{YZ}=\frac{A'Z'}{AZ}$,
∴$\frac{Y'Z'}{A'Z'}=\frac{YZ}{AZ}$.
∵$A'Z' = Y'Z'$,
∴$AZ = YZ$,
∴$□ AXYZ$是菱形.
(2) 证明:如图,
∵$CD = CB$,
∴$∠1 = ∠3$.
∵$ZY//AC$,
∴$∠1 = ∠2$,
∴$∠2 = ∠3$,
∴$YB = YZ$.
∵四边形AXYZ是菱形,
∴$AX = XY = YZ$,
∴$AX = XY = YB$.
(3) 位似
【知识点】
菱形的判定、相似三角形的性质、位似变换
【点评】
本题结合操作探究的形式，综合考查了特殊四边形的判定、相似三角形的性质、等腰三角形的性质及位似变换的识别，解题时需要紧扣题干给出的步骤条件，逐步推导，能够有效锻炼逻辑推理和几何探究能力。
【难度系数】
0.6
