1. 如图，在线段AB上取一点C时，共有几条线段？在线段AB上取两个点C，D时，共有几条线段？在线段AB上取三个点C，D，E时，共有几条线段？在线段AB上取n个点$A_1$，$A_2$，…，$A_n$时，共有多少条线段？

解:在线段AB上取一点C时,共有2+1=3(条)线段;在线段AB上取两个点C,D时,共有3+2+1=6(条)线段;在线段AB上取三个点C,D,E时,共有4+3+2+1=10(条)线段.由此可知,在线段AB上取n个点$A_1,A_2,\dots,A_n$时,记线段的总条数为$S_n$,则$S_n=(n+1)+n+\dots+2+1$,可得$S_n=\frac{(n+1+1)(n+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$.所以在线段AB上取n个点$A_1,A_2,\dots,A_n$时,共有$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$条线段.

【分析】
解题时采用“有序计数法”避免重复和遗漏：固定一个左端点，依次和它右侧的所有点搭配形成线段。先从取1个、2个、3个点的简单情况入手计算线段总数，观察计算结果的变化规律，再将规律推广到取n个点的一般情况，推导出通用的计数公式。
【解析】
1. 在线段AB上取1个点C时，共有A、C、B3个点：固定左端点A可得2条线段，固定左端点C可得1条线段，总条数为$2+1=3$（条）。
2. 在线段AB上取2个点C、D时，共有A、C、D、B4个点：按顺序计数，总条数为$3+2+1=6$（条）。
3. 在线段AB上取3个点C、D、E时，共有A、C、D、E、B5个点：按顺序计数，总条数为$4+3+2+1=10$（条）。
4. 在线段AB上取n个点$A_1,A_2,\dots,A_n$时，总共有$n+2$个点，按上述方法计数，线段总条数$S_n=(n+1)+n+\dots+2+1$，首尾配对求和可得：
$S_n=\frac{(n+1+1)(n+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$。
【答案】
取1个点时共3条；取2个点时共6条；取3个点时共10条；取n个点时共$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$条。
【知识点】
线段计数、规律探究、列代数式
【点评】
本题是图形计数类的典型题，核心是掌握有序计数的方法，通过特殊情况归纳一般规律，可有效避免计数时重复、遗漏的问题，该思路也可推广到角、三角形等同类计数问题中。
【难度系数】
0.7

2. 如图,在直线AB上取一点C时,共有几条射线?在直线AB上取两个点C,D时,共有几条射线?在直线AB上取三个点C,D,E时,共有几条射线?在直线AB上取n个点$A_1,A_2,···,A_n$时,共有多少条射线?

解:在直线AB上取一点C时,以C为端点的射线有CA,CB,共有2条射线;在直线AB上取两个点C,D时,以C为端点的射线有CA,CB,以D为端点的射线有DA,DB,共有2+2=4(条)射线;在直线AB上取三个点C,D,E时,以C为端点的射线有CA,CB,以D为端点的射线有DA,DB,以E为端点的射线有EA,EB,共有2+2+2=6(条)射线.由此可知,在直线AB上取n个点$A_1,A_2,\dots,A_n$时,共有2n条射线.

【分析】
首先明确射线的定义：射线有1个端点，可向一端无限延伸，端点不同或延伸方向不同，就是不同的射线。直线上的任意一个点，都可以向直线的两个相反方向各引出1条射线，因此每个点对应2条不同的射线。解题时我们先从1个点、2个点、3个点的简单情况入手计算射线总数，再总结规律推导n个点时的射线数量即可。
【解析】
1. 当直线AB上取1个点C时：
以C为端点，向左、向右各有1条射线，分别为CA、CB，共2条射线；
2. 当直线AB上取2个点C、D时：
C、D两个点各对应2条射线，总条数为$2+2=4$（条）；
3. 当直线AB上取3个点C、D、E时：
C、D、E三个点各对应2条射线，总条数为$2+2+2=6$（条）；
4. 当直线AB上取n个点$A_1,A_2,\dots,A_n$时：
每个点都对应2条射线，因此总射线数为$2× n=2n$（条）。
【答案】
取1个点时共有2条射线；取2个点时共有4条射线；取3个点时共有6条射线；取n个点时共有2n条射线。
【知识点】
射线的定义，图形计数，规律探究
【点评】
本题通过从特殊到一般的思路探究计数规律，核心是对射线概念的理解，需注意区分不同射线的判断依据：端点或延伸方向不同即为不同射线，解题时要避免和线段的计数方法混淆。
【难度系数】
0.8

3.如图,在∠AOB 内部,以 O 为端点分别引1条,2条,3条,…,n条射线.

(1)根据图形,填写下表:

(2)若在∠AOB内引射线的条数是n,请用含n(n为正整数)的式子表示出角的总个数.

解:(1)6 10
(2)若在∠AOB内引射线的条数是n(n为正整数),则角的总个数为$\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$.

【分析】
解决这类角的计数问题，核心是按固定顺序计数，避免重复或遗漏。(1)我们可以先确定内部引射线后总共有多少条射线：每一条射线都能和它后方的所有射线组成一个角，把这些数量相加就是总角数。引2条射线时总射线数是4条，引3条时总射线数是5条，分别累加求和即可填出表格。(2)推广到引n条射线的情况，先算总射线数为n+2条，对应累加的数就是从1加到n+1，再用求和公式化简即可得到通用表达式。
【解析】
(1) 当在∠AOB内部引2条射线时，总共有射线：2条原有射线+2条新射线=4条。
按顺序计数：以最外侧射线为边的角有3个，以第二条射线为边的不重复新角有2个，以第三条射线为边的不重复新角有1个，总个数为$3+2+1=6$。
当在∠AOB内部引3条射线时，总共有射线：$2+3=5$条。
同理总角数为$4+3+2+1=10$。
(2) 当在∠AOB内部引n条射线时，总射线数量为$n+2$条。
按上述计数方法，角的总个数为$1+2+3+\dots+(n+1)$。
根据求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2，代入得：
总个数$=\frac{(1+n+1)×(n+1)}{2}=\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$。
【答案】
(1) $\boxed{6}$，$\boxed{10}$
(2) $\boxed{\frac{1}{2}(n+1)(n+2)}$
【知识点】
角的计数，规律探究，列代数式
【点评】
本题属于计数类规律探究题，解题的关键是掌握有序计数的方法，避免重复和遗漏，该规律和线段计数规律本质一致，可类比掌握，能很好地锻炼从特殊到一般的归纳思维。
【难度系数】
0.7

4.学校举行篮球比赛，采用单循环比赛形式（即每个班与其他班比赛一场），那么七年级4个班共需比赛几场？八年级6个班呢？九年级8个班呢？有什么规律？奥运会共有12支球队参加男子篮球比赛，若按这个赛制，共需安排多少场比赛？

解:根据单循环比赛的规则,七年级4个班共需比赛6场,八年级6个班共需15场,九年级8个班共需比赛28场,可以发现n个班共需比赛的场数是$\frac{n(n-1)}{2}$.奥运会共有12支球队参加男子篮球比赛,若按这个赛制,共需安排66场比赛.

【分析】
解决单循环比赛场次问题，首先明确规则：每个参赛主体都要和除自身外的其他所有主体各赛1场。如果直接用“参赛数量×每个主体参赛场次”计算，每场比赛会被重复统计2次（比如A班对B班和B班对A班是同一场比赛），因此需要除以2得到实际总场次。我们可以先分别计算4个班、6个班、8个班的场次，再总结出n个参赛主体的通用规律，最后代入12支球队的条件计算即可。
【解析】
1. 计算七年级4个班的比赛场次：
每个班要和剩余$4-1=3$个班各赛1场，若直接计算得$4×3=12$场，由于每场比赛被重复统计2次，实际场次为$12÷2=6$场。
2. 计算八年级6个班的比赛场次：
同理，每个班赛$6-1=5$场，总场次为$6×5÷2=15$场。
3. 计算九年级8个班的比赛场次：
每个班赛$8-1=7$场，总场次为$8×7÷2=28$场。
4. 总结规律：
若有$n$个参赛主体，总比赛场次为$\frac{n(n-1)}{2}$场。
5. 计算12支球队的比赛场次：
把$n=12$代入规律式，得总场次为$\frac{12×(12-1)}{2}=\frac{12×11}{2}=66$场。
【答案】
七年级4个班共需比赛6场，八年级6个班共需15场，九年级8个班共需比赛28场；n个参赛队共需比赛的场数是$\frac{n(n-1)}{2}$；奥运会12支球队按该赛制共需安排66场比赛。
【知识点】
单循环赛计数，规律探究，代数式求值
【点评】
本题结合实际比赛场景，考查计数时避免重复计算的思维能力，所总结的通用规律可推广到握手计数、线段计数等同类型问题，掌握通法即可快速解决同类题目。
【难度系数】
0.7