1. 如图，在$△ ABC$中，$BC=8\mathrm{cm}$，$BP$，$CP$分别平分$∠ ABC$和$∠ ACB$，且$PD// AB$，$PE// AC$，求$△ PDE$的周长.

1. 解: $\because BP,CP$ 分别平分 $∠ ABC$ 和 $∠ ACB, \therefore ∠ ABP=∠ PBD, ∠ ACP=∠ PCE, \because PD// AB, PE// AC, \therefore ∠ ABP=∠ BPD, ∠ ACP=∠ CPE, \therefore ∠ PBD = ∠ BPD, ∠ PCE = ∠ CPE, \therefore BD = PD, CE = PE, \therefore C_{△ PDE}=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=8(\mathrm{cm}).$

2.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=90°$，$BE$是角平分线，$CD⊥ BE$交$BE$的延长线于点$D$.求证：$BE=2CD$.

2. 证明: 延长 $BA,CD$ 相交于点 $Q$. $\because ∠ CAQ=∠ BDQ=90°, \therefore ∠ ACQ+∠ Q=90°, ∠ ABE+∠ Q=90°. \therefore ∠ ACQ = ∠ ABE.$ 在 $△ ABE$ 和 $△ ACQ$ 中, $\begin{cases}∠ ABE=∠ ACQ, \\ AB=AC, \\ ∠ BAE=∠ CAQ,\end{cases}$ $\therefore △ ABE≌△ ACQ(\mathrm{ASA}). \therefore BE=CQ. \because BD$ 平分 $∠ ABC, ∠ BDC=∠ BDQ=90°, \therefore ∠ Q=∠ BCQ. \therefore BQ=BC.$ 又 $\because BD⊥ CQ, \therefore CD=DQ. \therefore BE=CQ=2CD.$

3.如图，E在$△ ABC$的边AC的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，$DF=EF$，$BD=CE$.求证：$△ ABC$是等腰三角形.

3. 证明:过点 $D$ 作 $DG// AC$ 交 $BC$ 于点 $G$, 则 $∠ GDF=∠ E, ∠ DGB=∠ ACB.$ 在 $△ GDF$ 和 $△ CEF$ 中, $\begin{cases}∠ GDF=∠ E, \\ DF=EF, \\ ∠ DFG=∠ EFC,\end{cases}$ $\therefore △ GDF ≌ △ CEF(\mathrm{ASA}), \therefore GD=CE. \because BD=CE, \therefore BD=GD, \therefore ∠ B=∠ DGB=∠ ACB, \therefore AB=AC, \therefore △ ABC$ 是等腰三角形.