7. 如图①～③，已知O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC，根据CO，OE，OD不同的位置关系，回答下列问题：

（1）如图①，若∠AOC=40°，求∠DOE的度数；
（2）如图②，探究∠AOC与∠DOE之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，若∠AOC=α，直接写出∠DOE的度数（用含α的式子表示）。

解：
(1) ∵ O是直线AB上一点，
∴ ∠AOC + ∠BOC = 180°。
∵ ∠AOC=40°，
∴ ∠BOC=180° - 40°=140°。
∵ OE平分∠BOC，
∴ ∠COE = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}×140°=70°$。
又∵ ∠COD是直角，即∠COD=90°，
∴ ∠DOE = ∠COD - ∠COE = 90° - 70° = 20°。
(2) ∠DOE = $\frac{1}{2}$∠AOC，理由如下：
∵ O是直线AB上一点，
∴ ∠AOC + ∠BOC = 180°，即∠BOC = 180° - ∠AOC。
∵ OE平分∠BOC，
∴ ∠COE = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}(180° - ∠AOC) = 90° - \frac{1}{2}∠AOC$。
∵ ∠COD=90°，
∴ ∠DOE = ∠COD - ∠COE = 90° - $(90° - \frac{1}{2}∠AOC) = \frac{1}{2}∠AOC$。
(3) ∠DOE = $180° - \frac{1}{2}α$。

8. (1) 在直线 $ l $ 上取 $ A,B $ 两点，使 $ AB=10 $，再在 $ l $ 上取一点 $ C $，使 $ AC=2 $，$ M,N $ 分别是 $ AC $，$ BC $ 的中点，求 $ MN $ 的长。
(2) 如图①，$ OD,OE $ 分别平分 $ ∠ AOC,∠ BOC $。
① 已知 $ ∠ AOB=90° $，则 $ ∠ DOE= $ $ ° $。
② 已知 $ ∠ AOB=x° $，求 $ ∠ DOE $ 的度数。
③ 改变 $ OC $ 的位置(图②)，$ OD,OE $ 仍然分别平分 $ ∠ AOC,∠ BOC $。设 $ ∠ AOB=x° $，求 $ ∠ DOE $ 的度数。
(3) 对比第(1),(2)两小题，与同伴交流自己的理解。

解：(1) 分两种情况讨论：
① 当点C在线段AB上时：
∵ AB=10，AC=2，
∴ BC=AB-AC=8，
∵ M是AC的中点，N是BC的中点，
∴ $MC=\frac{1}{2}AC=1$，$CN=\frac{1}{2}BC=4$，
∴ $MN=MC+CN=1+4=5$。
② 当点C在线段BA的延长线上时：
∵ AB=10，AC=2，
∴ BC=AB+AC=12，
∵ M是AC的中点，N是BC的中点，
∴ $MC=\frac{1}{2}AC=1$，$CN=\frac{1}{2}BC=6$，
∴ $MN=CN-MC=6-1=5$。
综上，MN的长为5。
(2) ① $\boldsymbol{45}$
② ∵ OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴ $∠ DOC=\frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ EOC=\frac{1}{2}∠ BOC$，
∴ $∠ DOE=∠ DOC+∠ EOC=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)=\frac{1}{2}∠ AOB$，
∵ $∠ AOB=x°$，
∴ $∠ DOE=\frac{x°}{2}$。
③ ∵ OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴ $∠ DOC=\frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ EOC=\frac{1}{2}∠ BOC$，
∴ $∠ DOE=∠ DOC-∠ EOC=\frac{1}{2}(∠ AOC-∠ BOC)=\frac{1}{2}∠ AOB$，
∵ $∠ AOB=x°$，
∴ $∠ DOE=\frac{x°}{2}$。
(3) 无论点C在直线l上的位置如何变化，MN的长度始终等于AB长度的一半，是定值；无论射线OC在∠AOB外侧的位置如何变化，∠DOE的度数始终等于∠AOB度数的一半，是定值。二者的推导逻辑一致，都是利用线段中点、角平分线的性质，将所求量转化为已知总线段、总角的二分之一，结果不受点C、射线OC的位置影响。