登录
4.计算:
(1)$-105\frac{5}{9} × (-\frac{3}{5})$；
(2)$91\frac{15}{16} × (-8)$。
(1)$-105\frac{5}{9} × (-\frac{3}{5})$；
(2)$91\frac{15}{16} × (-8)$。
答案
(1) 解:原式$=105\dfrac{5}{9}×\dfrac{3}{5}=105×\dfrac{3}{5}+\dfrac{5}{9}×\dfrac{3}{5}=63\dfrac{1}{3}.$
(2) 解:原式$=(92-\dfrac{1}{16})×(-8)=92×(-8)-\dfrac{1}{16}×(-8)=-736+\dfrac{1}{2}=-735\dfrac{1}{2}.$
(2) 解:原式$=(92-\dfrac{1}{16})×(-8)=92×(-8)-\dfrac{1}{16}×(-8)=-736+\dfrac{1}{2}=-735\dfrac{1}{2}.$
解析
【分析】
这两道题属于有理数乘法的简便运算题，解题核心是利用乘法分配律简化计算，避免带分数直接转化为假分数的复杂运算。
(1)首先根据有理数乘法符号法则，负负得正确定结果为正，再将带分数$105\frac{5}{9}$拆成整数105加分数$\frac{5}{9}$的形式，分别与$\frac{3}{5}$相乘后求和，即可快速算出结果。
(2)观察到$91\frac{15}{16}$接近整数92，可将其拆成$92-\frac{1}{16}$的形式，再利用乘法分配律分别与$-8$相乘后求和，大幅降低计算量。
【解析】
(1) 先确定运算符号，负负得正，转化算式后利用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}原式&=105\dfrac{5}{9}×\dfrac{3}{5}\\&=(105+\frac{5}{9})×\frac{3}{5}\\&=105×\frac{3}{5}+\frac{5}{9}×\frac{3}{5}\\&=63+\frac{1}{3}\\&=63\frac{1}{3}\end{aligned}$
(2) 拆分带分数为整数减分数的形式，再利用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}原式&=(92-\frac{1}{16})×(-8)\\&=92×(-8)-\frac{1}{16}×(-8)\\&=-736+\frac{1}{2}\\&=-735\frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$63\dfrac{1}{3}$；(2)$-735\dfrac{1}{2}$
【知识点】
有理数乘法运算，乘法分配律，简便运算技巧
【点评】
此类题目重点考查有理数乘法的简便计算能力，解题关键是根据带分数的特点合理拆分，结合乘法分配律简化运算过程，既能减少计算量，也能降低出错概率。
【难度系数】
0.8
这两道题属于有理数乘法的简便运算题，解题核心是利用乘法分配律简化计算，避免带分数直接转化为假分数的复杂运算。
(1)首先根据有理数乘法符号法则，负负得正确定结果为正，再将带分数$105\frac{5}{9}$拆成整数105加分数$\frac{5}{9}$的形式，分别与$\frac{3}{5}$相乘后求和，即可快速算出结果。
(2)观察到$91\frac{15}{16}$接近整数92，可将其拆成$92-\frac{1}{16}$的形式，再利用乘法分配律分别与$-8$相乘后求和，大幅降低计算量。
【解析】
(1) 先确定运算符号，负负得正，转化算式后利用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}原式&=105\dfrac{5}{9}×\dfrac{3}{5}\\&=(105+\frac{5}{9})×\frac{3}{5}\\&=105×\frac{3}{5}+\frac{5}{9}×\frac{3}{5}\\&=63+\frac{1}{3}\\&=63\frac{1}{3}\end{aligned}$
(2) 拆分带分数为整数减分数的形式，再利用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}原式&=(92-\frac{1}{16})×(-8)\\&=92×(-8)-\frac{1}{16}×(-8)\\&=-736+\frac{1}{2}\\&=-735\frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$63\dfrac{1}{3}$；(2)$-735\dfrac{1}{2}$
【知识点】
有理数乘法运算，乘法分配律，简便运算技巧
【点评】
此类题目重点考查有理数乘法的简便计算能力，解题关键是根据带分数的特点合理拆分，结合乘法分配律简化运算过程，既能减少计算量，也能降低出错概率。
【难度系数】
0.8
5.计算：
(1) $\dfrac{1}{12} ÷ (-\dfrac{1}{6} - \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4})$；
(2) $(-\dfrac{1}{63}) ÷ (\dfrac{1}{9} - \dfrac{2}{7} + \dfrac{2}{3})$。
(1) $\dfrac{1}{12} ÷ (-\dfrac{1}{6} - \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4})$；
(2) $(-\dfrac{1}{63}) ÷ (\dfrac{1}{9} - \dfrac{2}{7} + \dfrac{2}{3})$。
答案
(1) 解:$\because (-\dfrac{1}{6}-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4})÷\dfrac{1}{12}=(-\dfrac{1}{6}-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4})×12=-\dfrac{1}{6}×12-\dfrac{2}{3}×12+\dfrac{1}{4}×12=-2-8+3=-7,\therefore 原式=-\dfrac{1}{7}.$
(2) 解:$\because (\dfrac{1}{9}-\dfrac{2}{7}+\dfrac{2}{3})÷(-\dfrac{1}{63})=(\dfrac{1}{9}-\dfrac{2}{7}+\dfrac{2}{3})×(-63)=(-7)+18-42=-31,\therefore 原式=-\dfrac{1}{31}.$
(2) 解:$\because (\dfrac{1}{9}-\dfrac{2}{7}+\dfrac{2}{3})÷(-\dfrac{1}{63})=(\dfrac{1}{9}-\dfrac{2}{7}+\dfrac{2}{3})×(-63)=(-7)+18-42=-31,\therefore 原式=-\dfrac{1}{31}.$
解析
【分析】
这两道题均为有理数除法运算，若直接先计算括号内的异分母分数加减法，需要先通分，计算量较大。我们可以利用“非零的两个数相除，交换被除数与除数的位置后，所得结果和原结果互为倒数”的规律，先将被除数和除数互换，把除法转化为乘法后利用乘法分配律简化计算，最后对结果取倒数即可得到原式答案，运算过程中需注意符号的处理。
【解析】
(1) 先计算括号内的式子除以$\dfrac{1}{12}$的结果：
$(-\dfrac{1}{6}-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4})÷\dfrac{1}{12}=(-\dfrac{1}{6}-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4})×12$
根据乘法分配律展开计算：
$=-\dfrac{1}{6}×12-\dfrac{2}{3}×12+\dfrac{1}{4}×12=-2-8+3=-7$
原式为上述结果的倒数，因此$\dfrac{1}{12} ÷ (-\dfrac{1}{6} - \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4})=-\dfrac{1}{7}$。
(2) 先计算括号内的式子除以$-\dfrac{1}{63}$的结果：
$(\dfrac{1}{9}-\dfrac{2}{7}+\dfrac{2}{3})÷(-\dfrac{1}{63})=(\dfrac{1}{9}-\dfrac{2}{7}+\dfrac{2}{3})×(-63)$
根据乘法分配律展开计算：
$=\dfrac{1}{9}×(-63)-\dfrac{2}{7}×(-63)+\dfrac{2}{3}×(-63)=-7+18-42=-31$
原式为上述结果的倒数，因此$(-\dfrac{1}{63}) ÷ (\dfrac{1}{9} - \dfrac{2}{7} + \dfrac{2}{3})=-\dfrac{1}{31}$。
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{7}$；(2) $-\dfrac{1}{31}$
【知识点】
有理数混合运算；乘法分配律；倒数的性质
【点评】
本题是有理数简便运算的典型题型，采用倒数法可避免复杂的通分计算，降低运算量。解题时要注意观察算式的结构特征，灵活选择运算技巧，同时要格外注意运算过程中符号的准确性。
【难度系数】
0.7
这两道题均为有理数除法运算，若直接先计算括号内的异分母分数加减法，需要先通分，计算量较大。我们可以利用“非零的两个数相除，交换被除数与除数的位置后，所得结果和原结果互为倒数”的规律，先将被除数和除数互换，把除法转化为乘法后利用乘法分配律简化计算，最后对结果取倒数即可得到原式答案，运算过程中需注意符号的处理。
【解析】
(1) 先计算括号内的式子除以$\dfrac{1}{12}$的结果：
$(-\dfrac{1}{6}-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4})÷\dfrac{1}{12}=(-\dfrac{1}{6}-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4})×12$
根据乘法分配律展开计算：
$=-\dfrac{1}{6}×12-\dfrac{2}{3}×12+\dfrac{1}{4}×12=-2-8+3=-7$
原式为上述结果的倒数，因此$\dfrac{1}{12} ÷ (-\dfrac{1}{6} - \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4})=-\dfrac{1}{7}$。
(2) 先计算括号内的式子除以$-\dfrac{1}{63}$的结果：
$(\dfrac{1}{9}-\dfrac{2}{7}+\dfrac{2}{3})÷(-\dfrac{1}{63})=(\dfrac{1}{9}-\dfrac{2}{7}+\dfrac{2}{3})×(-63)$
根据乘法分配律展开计算：
$=\dfrac{1}{9}×(-63)-\dfrac{2}{7}×(-63)+\dfrac{2}{3}×(-63)=-7+18-42=-31$
原式为上述结果的倒数，因此$(-\dfrac{1}{63}) ÷ (\dfrac{1}{9} - \dfrac{2}{7} + \dfrac{2}{3})=-\dfrac{1}{31}$。
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{7}$；(2) $-\dfrac{1}{31}$
【知识点】
有理数混合运算；乘法分配律；倒数的性质
【点评】
本题是有理数简便运算的典型题型，采用倒数法可避免复杂的通分计算，降低运算量。解题时要注意观察算式的结构特征，灵活选择运算技巧，同时要格外注意运算过程中符号的准确性。
【难度系数】
0.7
6. 计算:
(1)$1 - 3×2 + 5 + 7 - 9×2 + 11 + 13 - 15×2 + 17 + \dots + 2023 - 2025×2 + 2027$;
(2)$( \frac{1}{2}×\frac{3}{2} ) × ( \frac{2}{3}×\frac{4}{3} ) × ( \frac{3}{4}×\frac{5}{4} ) × \dots × ( \frac{2021}{2022}×\frac{2023}{2022} ) × ( \frac{2022}{2023}×\frac{2024}{2023} )$.
(1)$1 - 3×2 + 5 + 7 - 9×2 + 11 + 13 - 15×2 + 17 + \dots + 2023 - 2025×2 + 2027$;
(2)$( \frac{1}{2}×\frac{3}{2} ) × ( \frac{2}{3}×\frac{4}{3} ) × ( \frac{3}{4}×\frac{5}{4} ) × \dots × ( \frac{2021}{2022}×\frac{2023}{2022} ) × ( \frac{2022}{2023}×\frac{2024}{2023} )$.
答案
(1) 解:原式$=(1-3×2+5)+(7-9×2+11)+(13-15×2+17)+\dots+(2023-2025×2+2027)=0+0+0+\dots+0=0.$
(2) 解:原式$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{4}×\dots×\dfrac{2021}{2022}×\dfrac{2023}{2022}×\dfrac{2022}{2023}×\dfrac{2024}{2023}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{2024}{2023}=\dfrac{1012}{2023}.$
(2) 解:原式$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{4}×\dots×\dfrac{2021}{2022}×\dfrac{2023}{2022}×\dfrac{2022}{2023}×\dfrac{2024}{2023}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{2024}{2023}=\dfrac{1012}{2023}.$
解析
【分析】
(1) 先观察算式的运算规律，可发现算式按“第一个数-第二个数×2+第三个数”每3个为一组排列，先计算前几组的结果，可得出每组的运算结果均为0，将整个算式按规律分组后求和即可；
(2) 先去掉所有括号，调整运算顺序后可发现中间的相邻分数分子和分母能相互约分，仅剩余首项的第一个分数和末项的第二个分数，直接计算剩余两项的乘积即可得到结果。
【解析】
(1) 观察算式规律，按3个数字一组进行分组：
原式$=(1-3×2+5)+(7-9×2+11)+(13-15×2+17)+\dots+(2023-2025×2+2027)$
计算每组的结果：$1-3×2+5=0$，$7-9×2+11=0$，……，$2023-2025×2+2027=0$
因此原式$=0+0+0+\dots+0=0$
(2) 先去掉所有括号，将所有分数依次排列：
原式$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{4}×\dots×\dfrac{2021}{2022}×\dfrac{2023}{2022}×\dfrac{2022}{2023}×\dfrac{2024}{2023}$
中间的相邻分数两两约分后，仅剩余$\dfrac{1}{2}$和$\dfrac{2024}{2023}$
因此原式$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{2024}{2023}=\dfrac{1012}{2023}$
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{\dfrac{1012}{2023}}$
【知识点】
有理数混合运算，分组简便计算，分数约分
【点评】
这两道题是有理数简便运算的典型题型，侧重考查对算式结构规律的观察能力，熟练掌握分组、约分这类简便运算技巧，可大幅降低运算量，提升运算的正确率。
【难度系数】
0.75
(1) 先观察算式的运算规律，可发现算式按“第一个数-第二个数×2+第三个数”每3个为一组排列，先计算前几组的结果，可得出每组的运算结果均为0，将整个算式按规律分组后求和即可；
(2) 先去掉所有括号，调整运算顺序后可发现中间的相邻分数分子和分母能相互约分，仅剩余首项的第一个分数和末项的第二个分数，直接计算剩余两项的乘积即可得到结果。
【解析】
(1) 观察算式规律，按3个数字一组进行分组：
原式$=(1-3×2+5)+(7-9×2+11)+(13-15×2+17)+\dots+(2023-2025×2+2027)$
计算每组的结果：$1-3×2+5=0$，$7-9×2+11=0$，……，$2023-2025×2+2027=0$
因此原式$=0+0+0+\dots+0=0$
(2) 先去掉所有括号，将所有分数依次排列：
原式$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{4}×\dots×\dfrac{2021}{2022}×\dfrac{2023}{2022}×\dfrac{2022}{2023}×\dfrac{2024}{2023}$
中间的相邻分数两两约分后，仅剩余$\dfrac{1}{2}$和$\dfrac{2024}{2023}$
因此原式$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{2024}{2023}=\dfrac{1012}{2023}$
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{\dfrac{1012}{2023}}$
【知识点】
有理数混合运算，分组简便计算，分数约分
【点评】
这两道题是有理数简便运算的典型题型，侧重考查对算式结构规律的观察能力，熟练掌握分组、约分这类简便运算技巧，可大幅降低运算量，提升运算的正确率。
【难度系数】
0.75
