1. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ A=90°$,$M$为$BC$的中点,$H$为$AB$上一点,过点$C$作$CG// AB$,交$HM$的延长线于点$G$,若$AC=8$,$AB=6$,则四边形$ACGH$周长的最小值是 （）

A.24
B.22
C.20
D.18
（第1题）

1. B 解析:
∵ CG//AB,
∴ ∠B=∠MCG.
∵ M 是 BC 的中点,
∴ BM = CM. 在 △BMH 和 △CMG 中, $\begin{cases} ∠B=∠MCG,\\ BM=CM,\\ ∠BMH=∠CMG, \end{cases}$
∴ △BMH≌△CMG(ASA),
∴ HM=GM,BH=CG.
∵ AB=6,AC=8,
∴ 四边形 ACGH 的周长=AC+CG+AH+GH=AB+AC+GH=14+GH,
∴ 当 GH 最小时,即 MH⊥AB 时四边形 ACGH 的周长有最小值,
∴ GH 的最小值为平行线 AB 与 CG 之间的距离,即 AC 的长度,
∴ GH=AC=8,
∴ 四边形 ACGH 的周长最小值为 14+8=22. 故选 B.

2. 如图,在等边$△ ABC$中,BF是AC边上的中线,点D在BF上,连结AD,在AD的右侧作等边$△ ADE$,连结EF,当$△ AEF$周长最小时,则$∠ FAE$的大小是 ()

A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$

2. A 解析:如图,连结 CE,
∵ AB = AC,AD = AE, ∠BAC = ∠DAE= ∠ABC = 60°,
∴ ∠BAD = ∠CAE,
∴ △BAD ≌ △CAE(SAS),
∴ ∠ABD = ∠ACE.
∵ AF = CF,
∴ ∠ABD = ∠CBD = ∠ACE=30°,
∴ 点 E 在射线 CE 上运动(∠ACE=30°).作点 A 关于直线 CE 的对称点 M,连结 FM 交 CE 于 E',此时 AE'+FE'的值最小,△AEF 的周长 =AE+EF+AF=AE'+FE'+AF 最小.
∵ CA=CM,∠ACM=2∠ACE=60°,AF=CF,
∴ FM ⊥ AC,
∴ MF 垂直平分 AC,
∴ AE'=CE',
∴ ∠FAE' = ∠ACE' = 30°.故选 A.

3. （2026·杭州期中）如图，在$△ ABC$中，$∠ A=20°$，点$D$，$E$分别是$AB$，$AC$上的点，$AD=AE=4$，点$M$，$N$分别是边$AC$，$AB$上的动点，在点$M$，$N$运动的过程中，$DM+MN+NE$的最小值是（）

A.2
B.4
C.6
D.8

3. B 解析:如图,作点 D 关于 AC 的对称点 D',作点 E 关于 AB 的对称点 E',连结 MD',AD',NE',AE',D'E',则 D'M=DM,NE'=NE,AD'=AD,AE'=AE,∠E'AB=∠BAC,∠D'AC=∠BAC,
∴ DM+MN+NE=D'M+MN+NE'≥D'E',
∴ DM+MN+NE 的最小值是 D'E'的长.
∵ ∠BAC=20°,AD=AE=4,
∴ ∠D'AE' = ∠E'AB+∠BAC+∠D'AC=60°,AD'=AE'=4,
∴ △D'AE'是等边三角形,
∴ D'E'=AD'=4,
∴ DM+MN+NE 的最小值是 4,故选 B.

4. 如图，$CD=2$，点$B$是线段$CD$上一动点，且$∠ DCA=90°$，$CA=CB$，以$AB$为底边作等腰$△ ABP$，则$DP$的最小值是。

4. $\sqrt{2}$ 解析:如图,过点 C 作 CQ⊥AB 于点 Q,
∵ ∠ACD=90°,CB=CA,
∴ AQ=BQ,∠CBA=45°,
∴ CQ 是 AB 的垂直平分线.
∵ △ABP是以 AB 为底边的等腰三角形,
∴ AP=BP,
∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线 CQ 上,当 DP⊥CQ 时,DP 的值最小,此时,DP//AB,
∴ ∠D=∠CBA=45°.
∵ DP⊥CQ,
∴ △CPD 是等腰直角三角形.
∵ CD=2,
∴ DP=$\sqrt{2}$.

5. ★★ 如图，$∠ AOB=45°$，点$M$，$N$分别在射线$OA$，$OB$上，$MN=8$，$△ OMN$的面积为12，$P$是直线$MN$上的动点，点$P$关于$OA$对称的点为$P_1$，点$P$关于$OB$对称的点为$P_2$，当点$P$在直线$NM$上运动时，$△ OP_1P_2$的面积最小值为。
（第5题）

5. $\frac{9}{2}$ 解析:如图,连结 OP,过点 O 作 OH⊥MN 交 NM 的延长线于点 H,
∵ $S_{△OMN}=\frac{1}{2}MN·OH=12$,且 MN=8,
∴ OH=3.
∵点P关于 OA 对称的点为 P₁,点 P 关于 OB 对称的点为 P₂,
∴ ∠AOP=∠AOP₁,∠BOP=∠BOP₂,OP₁=OP=OP₂.
∵ ∠AOB=45°,
∴ ∠P₁OP₂=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB=90°,
∴ △OP₁P₂的面积为$\frac{1}{2}OP_1·OP_2=\frac{1}{2}OP^2$,由垂线段最短可知,当点 P 与点 H重合时,OP 取得最小值,最小值为 OH=3,
∴ △OP₁P₂的面积的最小值为$\frac{1}{2}×3^2=\frac{9}{2}$.

6. (2026·宁波月考)若$AB=AC=m$，$BC=n$且满足$\sqrt{n-12}+(m-10)^2=0$，$Q$为$AC$上一动点，连结$BQ$，过点$A,C$作直线$BQ$的垂线分别交$BQ$于$M,N$两点，则$AM+NC$的最大值为。

6. 10 解析:如图,过点 A 作 AJ⊥BC于点 J,过点 B 作 BK⊥AC 于点 K,
∵ $\sqrt{n-12}+(m-10)^2=0$,
∴ n-12=0,m-10=0,
∴ n=12,m=10,
∴ AB=AC=10,BC=12,
∴ $BJ=JC=\frac{1}{2}BC=6$,
∴ $AJ=\sqrt{AB^2-BJ^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$.
∵ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AJ=\frac{1}{2}AC·BK$,
∴ $BK=\frac{BC·AJ}{AC}=\frac{12×8}{10}=9.6$.
∵ $S_{△ABC}=S_{△ABQ}+S_{△CBQ}$,AM⊥BQ,CN⊥BQ,
∴ $\frac{1}{2}BQ·AM+\frac{1}{2}BQ·CN=\frac{1}{2}BQ(AM+NC)=\frac{1}{2}BC·AJ$,
∴ $AM+NC=\frac{12×8}{BQ}=\frac{96}{BQ}$,
∴ 当 BQ 取最小值时,AM+NC 的值最大,由垂线段最短知,BQ 的最小值为 BK 的长,是9.6,故 AM+NC 的最大值为$\frac{96}{9.6}=10$.故答案为 10.

7. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，$AB=4$，点$D$是直角边$AC$上的一个动点，连结$BD$，以$BD$为边向外作等边$△ BDE$，连结$CE$，在点$D$运动的过程中，线段$CE$的最小值为。

7. 1 解析:如图,延长 BC 到点 F,使 FC=BC,连结 AF,FE,
∵ ∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=4,
∴ $FC=BC=\frac{1}{2}AB=2$,∠ABF=90°-∠BAC=60°,
∴ FB=2BC=4,
∴ FB=AB,
∴ △ABF是等边三角形,
∴ ∠AFB=60°.
∵ △BDE 是等边三角形,
∴ EB=DB,∠DBE=60°,
∴ ∠FBE = ∠ABD = 60° - ∠DBF,在△FBE 和 △ABD 中, $\begin{cases} FB=AB,\\ ∠FBE=∠ABD,\\ EB=DB, \end{cases}$
∴ △FBE≌△ABD(SAS),
∴ ∠BFE=∠BAD=30°,
∴ ∠AFE=∠AFB+∠BFE=90°,
∴ 点 E在经过点 F 且与 AF 垂直的射线 FE 上运动,作 CH⊥FE 交射线FE 于点 H,则∠CHF=90°,
∴ $CH=\frac{1}{2}FC=1$.
∵ CE≥CH,
∴ CE≥1,
∴ CE 的最小值为 1.

8. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,点$A$的坐标为$(1,0)$,点$B$是直线$y=x+2$上任意一点,连结$OB$,将线段$OB$绕点$O$顺时针旋转$90°$得到线段$OC$.点$D$是$y$轴上一个动点,连结$AC$,$AD$,$CD$.当$△ ACD$的周长最小时,点$C$的坐标为.

8. $( \frac{5}{4},\frac{3}{4} )$ 解析:设直线 y=x+2 与 x 轴交于 F,与 y 轴交于 E,过 E,C 作直线 CE 交 x 轴于 G,如图.
∵ 直线 y=x+2 与x 轴交于 F,与 y 轴交于 E,
∴ OE = OF = 2,
∴ ∠OEF = 45°.
∵ ∠BOC=90°,
∴ ∠BOE + ∠COE = 90°.
∵ ∠BOF + ∠BOE =90°,
∴ ∠BOF=∠COE.
∵ OB=OC,
∴ △BOF≌△COE(SAS),
∴ ∠OEC = ∠OFB.
∵ ∠OFB + ∠OEF = 90°,
∴ ∠CEF = 90°,
∴ ∠CEO=45°,
∴ OG=OE=2,
∴ 直线 CE 为 y=-x+2,作点 A关于 y 轴的对称点 A'(-1,0),作点 A 关于直线 CE 的对称点A''(2,1),此时 AD=A'D,AC=A''C,则 △ACD 的周长 =AD+AC+CD=A'D+A''C+CD,由两点之间线段最短可知,当 A',C,D,A''四点共线时,△ACD 的周长最小,最小值为线段A'A''的长度,点 C为直线A'A''与 GE 的交点.设直线 A'A''为 y=kx+b,
∴ $\begin{cases} -k+b=0,\\ 2k+b=1, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=\frac{1}{3},\\ b=\frac{1}{3}, \end{cases}$
∴ 直线 A'A'' 为 $y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}$, 联立 $\begin{cases} y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{3},\\ y=-x+2, \end{cases}$得$\begin{cases} x=\frac{5}{4},\\ y=\frac{3}{4}, \end{cases}$
∴ $C( \frac{5}{4},\frac{3}{4} )$.