3. (2025驻马店三模)如图，在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$AB = 10$，$BC = 12$，点$E$是线段$BC$上一动点(不与点$B$，$C$重合)，连接$AE$，将$\triangle ABC$沿直线$AE$折叠，点$B$落到点$F$处，连接$CF$，$BF$。当$\triangle BFC$为等腰三角形时，$BE$的长为。

10/3或15/2

以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，B(0,0)，A(0,10)，C(12,0)，设BE=x，E(x,0)，折叠后F(m,n)。由折叠性质得AE垂直平分BF，可求得F(200x/(x²+100),20x²/(x²+100))。
分情况讨论△BFC为等腰三角形：
1. BF=BC：BF=20x/√(x²+100)=12，解得x=15/2；
2. BF=FC：BF²=FC²，得m=6，即200x/(x²+100)=6，解得x=10/3；
3. BC=FC：无解（E与B或C重合，舍去）。
综上，BE=10/3或15/2。

例6 在矩形$ABCD$中，$O$为对角线$AC$的中点，动点$E$从点$A$出发，沿$A\to B\to C$运动到点$C$，且$AB = 1$，$AD = \sqrt{3}$，当以点$A$，$E$，$O$为顶点的三角形为直角三角形时，$AE$的长为。

$\frac{1}{2}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

在矩形$ABCD$中，$AB=1$，$AD=\sqrt{3}$，则对角线$AC=2$，$O$为$AC$中点，故$AO=1$。以$A$为原点建立坐标系，$A(0,0)$，$B(1,0)$，$C(1,\sqrt{3})$，$O\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。
情况1：$E$在$AB$上，设$E(t,0)(0\leq t\leq1)$
直角顶点为$E$时，$\overrightarrow{EA}·\overrightarrow{EO}=0$，解得$t=\frac{1}{2}$，此时$AE=\frac{1}{2}$。
情况2：$E$在$BC$上，设$E(1,s)(0\leq s\leq\sqrt{3})$
直角顶点为$O$时，$\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OE}=0$，解得$s=\frac{\sqrt{3}}{3}$，此时$AE=\sqrt{1^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
综上，$AE$的长为$\frac{1}{2}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

4. 如图，在由若干边长为$1$的小正方形组成的网格中有两个格点(网格线的交点)$A$，$B$，连接$AB$，在网格中再找一个格点$C$，使得$\triangle ABC$是等腰直角三角形，则满足条件的格点$C$的个数是()

A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$

C

5. 如图，在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 6$，$BC = 8$，$D$是$BC$边的中点，点$P$是边$AB$上的动点，若要使$\triangle BPD$为直角三角形，则$BP$的长为。

$5$或$\frac{16}{5}$

在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=6$，$BC=8$，则$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=10$。$D$是$BC$中点，$BD=4$。分两种情况讨论：
1. $\angle BDP=90^{\circ}$：$PD⊥ BC$，$D(4,0)$，$P$在$AB$上。$AB$方程为$y=-\frac{3}{4}x+6$，$P$横坐标为$4$，代入得$y=3$，$P(4,3)$。$BP=\sqrt{(8-4)^2+(0-3)^2}=5$。
2. $\angle BPD=90^{\circ}$：设$P(x,-\frac{3}{4}x+6)$，由$PB⊥ PD$得$(8-x)(4-x)+y^2=0$，代入$y=-\frac{3}{4}x+6$，解得$x=\frac{136}{25}$（$x=8$舍去），$BP=\sqrt{(8-\frac{136}{25})^2+(0-\frac{48}{25})^2}=\frac{16}{5}$。

6. (2025南阳三模)如图，在菱形$ABCD$中，$\angle B = 60^{\circ}$，将边$AB$绕点$A$顺时针旋转$\alpha(0^{\circ} \lt \alpha \lt 360^{\circ})$得到$AE$，连接$CE$，$DE$，当$\triangle CDE$为直角三角形时，$\alpha$的度数为。

240°或300°

设菱形边长为1，建立坐标系：A(0,0)，D(1,0)，C(1/2,√3/2)，E(cosθ,sinθ)，θ=120°-α。△CDE为直角三角形分三种情况：
1. ∠CDE=90°：向量CD=(1/2,-√3/2)，DE=(cosθ-1,sinθ)，数量积为0得cosθ - √3 sinθ=1，解得θ=-120°，α=240°。
2. ∠DCE=90°：向量CD=(1/2,-√3/2)，CE=(cosθ-1/2,sinθ-√3/2)，数量积为0得cosθ - √3 sinθ=-1，解得θ=-180°，α=300°。
3. ∠CED=90°：向量CE·DE=0，解得θ=60°（E=C）或θ=0°（E=D），均构不成三角形，舍去。
综上，α=240°或300°。

7. (2025信阳模拟)等腰三角形$ABC$中，腰$AB$的垂直平分线交底边$BC$于点$D$，交$AB$于点$E$，若$BC = 4$，则当$\triangle ACD$为直角三角形时，点$A$到$BC$的距离为。

2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

设等腰△ABC中，AB=AC，底边BC=4，点A到BC的距离为h（即高AH，H为BC中点，BH=HC=2）。AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，由垂直平分线性质得AD=BD。设BD=AD=x，则DC=4-x，D点坐标可由AB垂直平分线方程求得为$(\frac{h^2}{4}-1,0)$。
△ACD为直角三角形分三种情况：
1. ∠CAD=90°：向量AC·AD=0，代入坐标得$2d + h^2=0$（d为D点横坐标），解得$h=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
2. ∠ACD=90°：D与C重合，不构成三角形，舍去。
3. ∠ADC=90°：向量DA·DC=0，解得d=0（D为BC中点），则$h=2$。
综上，h=2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$。