4. 复习课上,李老师以“利用角的对称性构造全等模型”为主题设计了以下问题.
(1)【观察发现】
①如图 1,AP 是△ABC 的角平分线,AB ＜ AC,在 AC 上截取 AQ = AB,连接 PQ,则 PB 与 PQ 的数量关系是;
②如图 2,△ABC 的角平分线 AE,BF 相交于点 P,当∠C = 60°时,线段 PE 与 PF 的数量关系是.
(2)【探究迁移】如图 3,在四边形 ABCD 中,AB = AD + BC,∠DAB 的平分线与∠ABC 的平分线恰好交于 CD 边上的点 P,试判断 PD 与 PC 的数量关系,并说明理由.
(3)【拓展应用】在(2)的条件下,若 AB = 15,tan∠PAB = $\frac{1}{2}$,当△PBC 有一个内角是 45°时,直接写出边 AD 的长.

(1)①PB=PQ；②PE=PF；(2)PD=PC；(3)5或10

(1)①∵AP平分∠BAC，∴∠BAP=∠QAP。∵AQ=AB，AP=AP，∴△ABP≌△AQP(SAS)，∴PB=PQ。
②在AB上截取AG=AF，易证△AFP≌△AGP(SAS)，得PF=PG，∠APF=∠APG。∵∠C=60°，∴∠APB=120°，∴∠GPB=∠EPB。再证△BPG≌△BPE(ASA)，得PG=PE，∴PE=PF。
(2)在AB上截取AM=AD，BM=BC。∵AP平分∠DAB，∴△ADP≌△AMP(SAS)，得PD=PM。∵BP平分∠ABC，∴△CBP≌△MBP(SAS)，得PC=PM，∴PD=PC。
(3)设AD=x，则BC=15-x。由tan∠PAB=1/2，设PN=h，AN=2h，BN=15-2h。若∠PBC=45°，则tan∠PBC=1=h/(15-2h)，得h=5，BN=5，BC=BM=10或5，∴AD=5或10。