10. (2024·宿迁沭阳期中) 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=$$∠ C$,点$D,E$分别在$AB,AC$上,且$∠ ADE=$$∠ AED$.$DE$与$BC$平行吗?为什么?

10. 平行.理由如下：
$\because$在$△ ABC$中,$∠B=∠C$,$\therefore ∠B=∠C=\dfrac{180°-∠A}{2}$.
$\because ∠ADE=∠AED$,$\therefore ∠ADE=∠AED=\dfrac{180°-∠A}{2}$,
$\therefore ∠B=∠ADE$,$\therefore DE// BC$.

11. 将$△ ABC$纸片沿$DE$折叠,其中$∠ B=∠ C$.
(1)如图(1),点$C$落在$BC$边上的点$F$处,$AB$与$DF$是否平行? 请说明理由.
(2)如图(2),点$C$落在四边形$ABED$内部的点$G$处,探索$∠ B$与$∠ 1+∠ 2$之间的数量关系,并说明理由.

11. (1)$AB$与$DF$平行.理由如下：
由翻折,得$∠DFC=∠C$.
又$∠B=∠C$,$\therefore ∠B=∠DFC$,$\therefore AB// DF$.
(2)连接$GC$,如图所示.
由翻折,得$∠DGE=∠ACB$.
$\because ∠1=180°-∠CDG=180°-(180°-∠DGC-∠DCG)=∠DGC+∠DCG$,$∠2=180°-∠GEC=180°-(180°-∠CGE-∠GCE)=∠EGC+∠ECG$,
$\therefore ∠1+∠2=∠DGC+∠DCG+∠EGC+∠ECG=(∠DGC+∠EGC)+(∠DCG+∠ECG)=∠DGE+∠DCE=2∠ACB$.
$\because ∠B=∠ACB$,$\therefore ∠1+∠2=2∠B$.

12. 分类讨论思想 如图,已知$∠ ABC=70°,∠ BAC=$$40°$,$AD$平分$∠ CAE$.
(1)求证:$AD// BC$;
(2)若射线$AD$绕点$A$以每秒$1°$的速度顺时针方向旋转得到$AM$,同时,射线$CA$绕点$C$以每秒$2°$的速度顺时针方向旋转得到$CN$,$AM$和$CN$交于点$P$,设旋转时间为$t$秒.
①当$0＜t＜55$时,请写出$∠ APC$与$∠ BAP$之间的数量关系,并说明理由;
②当$0＜t＜70$时,若$\dfrac{1}{5}∠ APC+∠ BCP=$$180°$,请直接写出$t$的值.

精题详解

12. (1)$\because ∠BAC=40°$,$\therefore ∠CAE=180°-∠BAC=140°$.
$\because AD$平分$∠CAE$,$\therefore ∠DAE=\dfrac{1}{2}∠CAE=70°$.
$\because ∠ABC=70°$,$\therefore ∠ABC=∠DAE$,$\therefore AD// BC$.

(2)①$\because ∠DAE=∠DAC=70°$,射线$AD$绕点$A$以每秒$1°$的速度顺时针方向旋转得到$AM$,$\therefore ∠CAM=70°-t$.
$\because ∠BAC=40°$,
$\therefore ∠BAP=∠BAC+∠CAM=40°+(70°-t)=110°-t$.
$\because$射线$CA$绕点$C$以每秒$2°$的速度顺时针方向旋转得到$CN$,$\therefore ∠ACP=2t$,
$\therefore ∠APC=180°-∠CAM-∠ACP=180°-(70°-t)-2t=110°-t$,$\therefore ∠APC=∠BAP$.
②当$0＜t＜55$时,如图(1).
由①,可得$∠APC=110°-t$,$∠ACP=2t$,$\therefore ∠BCP=70°+2t$.
$\because \dfrac{1}{5}∠APC+∠BCP=180°$,$\therefore \dfrac{1}{5}(110°-t)+70°+2t=180°$,解得$t=\dfrac{440}{9}$;
当$55≤ t＜70$时,如图(2).

$\because ∠ACP=2t$,$∠ACB=70°$,
$\therefore ∠BCP=360°-∠ACB-∠ACP=360°-70°-2t=290°-2t$.
$\because ∠APC=110°-t$,$\dfrac{1}{5}∠APC+∠BCP=180°$,
$\therefore \dfrac{1}{5}(110°-t)+(290°-2t)=180°$,解得$t=60$.
综上,$t$的值为$60$或$\dfrac{440}{9}$.