1. [2025 青海中考]如图,$AB$是$\odot O$的直径,$∠ CAB=40°$,则$∠ ADC$的度数是（）

A.$80°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$25°$

1. B $\because AB$ 是$\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ ACB=90°.\therefore ∠ CAB+∠ B=90°.\because ∠ CAB=40°,\therefore ∠ B=50°.\therefore ∠ ADC=∠ B=50°.$

【分析】
解题时首先观察到AB是圆的直径，首先联想到直径对应的圆周角为90°的性质，由此得到△ACB是直角三角形，结合已知的∠CAB=40°，利用直角三角形两锐角互余即可算出∠ABC的度数；接下来观察∠ADC和∠ABC，发现两个角都对应同一段弧AC，根据同弧所对的圆周角相等，就可以直接将∠ADC转化为已求出的∠ABC，快速得到所求角度。
【解析】
解：
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），
在Rt△ABC中，∠CAB + ∠ABC = 90°，
已知∠CAB=40°，代入计算得：
∠ABC = 90° - 40° = 50°，
又
∵ ∠ADC和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，
∴ ∠ADC = ∠ABC = 50°，
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
直径所对圆周角为直角；同弧圆周角相等
【点评】
本题是圆的基础性质经典考题，难度较低，核心考察圆的两个基础圆周角性质，解题的关键是看到直径条件第一时间反应出对应的直角，再通过同弧圆周角相等完成待求角的等价转化，不需要额外构造辅助线，属于圆章节必须熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8

2. 如图,$A B$ 是$\odot O$ 的直径, 点 $C, D, E$ 在 $\odot O$ 上, 连接 $B C, C D, A E, D E$. 若 $∠ A E D=20°$, 则$∠ B C D$ 的度数为（）

A.$100°$
B.$110°$
C.$115°$
D.$120°$

2. B 连接 $AC.\because AB$ 是$\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ ACB=90°.$$\because ∠ ACD = ∠ AED = 20°,\therefore ∠ BCD = ∠ ACB +∠ ACD=90°+20°=110°.$

【分析】
解题思路：首先观察题干给出的条件，AB是圆的直径，已知圆周角∠AED=20°，要求∠BCD的度数。我们首先联想到直径对应的圆周角是直角的性质，因此可以尝试连接辅助线AC，将待求的∠BCD拆分为∠ACB和∠ACD两个角的和：首先根据同弧所对的圆周角相等，∠AED和∠ACD都对应弧AD，因此∠ACD=∠AED=20°；再根据AB是直径，得到直径所对的圆周角∠ACB=90°，两个角相加即可算出∠BCD的度数。
【解析】
解：连接AC，
∵ AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，
∴ ∠ACB = 90°，
又
∵ ∠AED和∠ACD都是弧AD所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，
∴ ∠ACD = ∠AED = 20°，
因此∠BCD = ∠ACB + ∠ACD = 90° + 20° = 110°。
【答案】B
【知识点】
直径所对圆周角为直角；同弧圆周角相等
【点评】
本题是圆的圆周角性质的典型基础题型，核心突破口是构造辅助线AC，将待求角拆分转化为两个可直接利用性质求解的角，整体计算量很小，重点考察学生对圆周角相关定理的灵活运用，引导学生掌握圆内角度转化的常用思路。
【难度系数】
0.7

3. 如图,在$\odot O$中,$AB$为直径,$C,D$为圆上的两点,且$AC=CD$,连接$CB$.若$∠ A=35^{ \circ }$,则$∠ BCD$的度数是$°$.

3. 20 连接 $AD.\because AB$ 是$\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ ACB=90°.$$\because ∠ BAC = 35°,\therefore ∠ ADC = ∠ ABC = 90° - ∠ BAC =90°-35°=55°.\because AC=CD,\therefore ∠ DAC=∠ ADC=55°.$$\therefore ∠ BCD=∠ BAD=∠ DAC-∠ BAC=55°-35°=20°.$

【分析】
这是一道圆内的角度计算问题，解题思路可以按以下步骤推进：
1. 首先观察到AB是圆的直径，立刻联想到直径对应的圆周角为直角的性质，先得到∠ACB=90°，结合已知的∠BAC=35°，就能快速算出∠ABC的度数。
2. 接着利用同弧所对的圆周角相等的性质，得到弧AC对应的两个圆周角∠ADC和∠ABC相等，直接得到∠ADC的度数。
3. 题目给出AC=CD，说明△ACD是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质，就能算出∠DAC的度数。
4. 最后再次利用同弧所对圆周角相等的性质，弧BD对应的圆周角∠BCD和∠BAD相等，用∠DAC减去∠BAC得到∠BAD的度数，也就得到了∠BCD的结果。
【解析】
解：连接AD，
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
$\because ∠ BAC = 35°$，
$\therefore ∠ ABC = 90° - ∠ BAC = 90° - 35° = 55°$，
由同弧AC所对的圆周角相等，可得$∠ ADC = ∠ ABC = 55°$，
又$\because AC=CD$，
$\therefore △ ACD$是等腰三角形，$∠ DAC = ∠ ADC = 55°$，
由同弧BD所对的圆周角相等，可得$∠ BCD = ∠ BAD$，
而$∠ BAD = ∠ DAC - ∠ BAC = 55° - 35° = 20°$，
$\therefore ∠ BCD = 20°$。
【答案】
20
【知识点】
直径对直角；同弧圆周角相等；等腰三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础角度计算题型，核心考察圆周角相关性质的灵活运用，仅需添加辅助线AD即可完成角度的转化，解题逻辑清晰，能有效帮助学生巩固圆周角定理的相关应用。
【难度系数】
0.7

4. 若四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，且$∠ A:∠ B:∠ C=2:1:4$，则$∠ D$的度数为$°$。

4. 150 $\because ∠ A : ∠ B : ∠ C = 2 : 1 : 4,\therefore$ 设$∠ A=2x$,$∠ B=x$,$∠ C=4x.\because$ 四边形 $ABCD$ 是$\odot O$ 的内接四边形,$\therefore ∠ A+∠ C=180°$,即 $2x+4x=180°$,解得 $x=30°.$$\therefore ∠ B=30°.\therefore ∠ D=180°-∠ B=180°-30°=150°.$

【分析】
这道题的核心考点是圆内接四边形的角的性质，解题时首先看到已知三个内角的比值，我们可以先通过比例设未知数，把三个角用含同一个参数的代数式表示出来；接着回忆圆内接四边形的核心性质：对角之和为180°，观察给出比例的∠A和∠C是一组对角，代入就能先解出参数x的值，得到∠B的度数，再利用∠B和∠D是另一组对角，二者和为180°，就能直接算出∠D的度数。
【解析】
解：设∠A=2x，∠B=x，∠C=4x，
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得∠A + ∠C = 180°，
代入得：2x + 4x = 180°，
解得x=30°，
因此∠B = x = 30°，
又
∵ ∠B和∠D是圆内接四边形的另一组对角，满足∠B + ∠D = 180°，
∴ ∠D = 180° - ∠B = 180° - 30° = 150°。
【答案】
150
【知识点】
圆内接四边形对角互补，比例设元
【点评】
本题属于圆内接四边形相关的基础题型，解题的关键是准确识别圆内接四边形的对角对应关系，利用对角互补的性质建立方程求解参数，避免直接按四个角总和360°套用给定比例的错误思路，整体考察对基础性质的掌握程度。
【难度系数】
0.8

5. 如图,在$△ ABC$中,$CA=CB$,以$BC$为直径的半圆$O$与$AB$交于点$D$,与$AC$交于点$E$,连接$DE$.求证:
(1) $D$为$AB$的中点.
(2) $AD=DE$.

5. (1) 连接 $CD.\because BC$ 为半圆$O$ 的直径,$\therefore ∠ BDC=90°.$$\therefore CD⊥ AB.\because CA=CB,\therefore AD=BD$,即 $D$ 为 $AB$ 的中点.
(2) 连接 $BE.\because BC$ 为半圆$O$ 的直径,$\therefore ∠ BEC=90°$,即$∠ BEA=90°.\because AD=BD,\therefore DE=AD=\frac{1}{2}AB$,即 $AD=DE.$

【分析】
这是一道圆与三角形性质结合的基础证明题，解题思路如下：
1. 要证明D是AB的中点，已知CA=CB，△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，只需证明CD垂直AB即可。题目给出BC是半圆O的直径，我们可以联想到直径所对的圆周角为直角，因此连接辅助线CD，就能直接得到∠BDC=90°即CD⊥AB，结合等腰三角形性质即可推出D是AB中点。
2. 要证明AD=DE，第一问已经得到AD=BD，再次利用直径的性质，连接辅助线BE，可得∠BEC=90°，也就是△ABE是直角三角形，D是斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，就能直接得到DE=AD，完成证明。
【解析】
(1) 连接 $CD$.
$\because BC$ 为半圆$O$ 的直径,
$\therefore ∠ BDC=90°$,
$\therefore CD⊥ AB$.
又$\because CA=CB$,等腰三角形底边上的高平分底边,
$\therefore AD=BD$,即 $D$ 为 $AB$ 的中点.
(2) 连接 $BE$.
$\because BC$ 为半圆$O$ 的直径,
$\therefore ∠ BEC=90°$,即$∠ BEA=90°$,△ABE为直角三角形.
由(1)得$AD=BD$,即D是Rt△ABE斜边AB的中点,
根据直角三角形斜边中线的性质可得$DE=AD=\frac{1}{2}AB$,即 $AD=DE$.
【答案】
(1) 证明如上，可证得D为AB的中点；(2) 证明如上，可证得AD=DE。
【知识点】
直径的圆周角性质，等腰三角形三线合一，直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题是圆与三角形综合的入门级证明题，核心考察了“遇到直径构造直角圆周角”的经典辅助线技巧，将圆的基础性质和等腰、直角三角形的常用性质串联，逻辑链条清晰，能帮助学生快速掌握圆与三角形结合题型的基础证明思路，是圆章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.8

6. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,弦$CD$,$AB$的延长线相交于点$E$,$AD$交$BC$于点$F$.若$CD=DE$,则$∠ AFC$的度数为（）

A.$52.5°$
B.$60°$
C.$67.5°$
D.$75°$

6. B 连接 $OC,OD.\because AB$ 是$\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ ACB=90°.$$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,$OA=OB,\therefore OC⊥ AB.\therefore ∠ BOC=90°.$$\because CD=DE,\therefore OD=\frac{1}{2}CE=CD.\therefore OD=CD=OC.$$\therefore △ OCD$ 是等边三角形.$\therefore ∠ COD=60°.\therefore ∠ CAD=\frac{1}{2}∠ COD=30°.\therefore ∠ AFC=90°-∠ CAF=90°-30°=60°.$

【分析】
我们可以按以下思路逐步推导：
1. 首先标记核心已知条件：AB是圆O的直径，优先联想到直径所对的圆周角为直角，直接得到∠ACB=90°；
2. 由$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，结合AB是直径，可推出OC⊥AB，即∠COE=90°，△COE是直角三角形；
3. 已知CD=DE，说明D是Rt△COE斜边CE的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得OD=CD=DE；
4. 由于OC、OD都是圆的半径，因此OC=OD=CD，可判定△OCD是等边三角形，得到圆心角∠COD=60°；
5. 再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得到弧CD对应的圆周角∠CAD=30°，最后在Rt△ACF中利用锐角互余，即可算出∠AFC的度数。
【解析】
解：连接OC、OD，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，O是AB的中点，
∴ OC⊥AB，即∠COE=90°。
在Rt△COE中，CD=DE，即D为斜边CE的中点，
∴ $OD=\frac{1}{2}CE=CD=DE$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
又
∵ OC、OD都是⊙O的半径，
∴ OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，
∴ ∠COD=60°。
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：
$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ COD=30°$。
在Rt△ACF中，∠ACF=90°，
∴ $∠ AFC=90° - ∠ CAF=90° - 30°=60°$。
【答案】B
【知识点】
直径的圆周角性质，圆周角定理，直角三角形斜边中线
【点评】
本题属于圆的性质综合应用题，解题的关键是构造辅助线OC、OD，将弧相等的条件转化为垂直关系，结合斜边中线性质推出等边三角形，对学生的几何逻辑推导能力有一定要求，需要熟练掌握圆的基础性质才能快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.5

7. $[2024$ 济宁中考$]$如图,分别延长$\odot O$的内接四边形$ABCD$的两组对边,延长线相交于点$E,F$.
若$∠ E=54°41',∠ F=43°19'$,则$∠ A$的度数为（）

A.$42°$
B.$41°20'$
C.$41°$
D.$40°20'$

7. C $\because$ 四边形 $ABCD$ 是$\odot O$ 的内接四边形,$\therefore ∠ A+∠ BCD=180°.$$\because ∠ CDF$ 是$△ ADE$ 的外角,$\therefore ∠ CDF=∠ A+∠ E.$$\because ∠ BCD$ 是$△ CDF$ 的外角,$\therefore ∠ BCD=∠ F+∠ CDF.$$\therefore ∠ BCD=∠ F+∠ A+∠ E.$$\therefore ∠ A+∠ BCD=∠ A+∠ F+∠ A+∠ E=180°.$$\therefore 2∠ A+∠ F+∠ E=180°.$$\because ∠ E=54°41',∠ F=43°19',\therefore 2∠ A+43°19'+54°41'=180°.\therefore ∠ A=41°.$

【分析】
我们的解题目标是求∠A的度数，已知∠E和∠F的度数，可按以下思路推导：
1. 首先明确圆内接四边形的核心性质：对角互补，也就是∠A + ∠BCD = 180°，这是建立等式的核心依据。
2. 利用三角形外角的性质，把∠BCD用已知角和∠A表示：先看△ADE，∠CDF是它的外角，根据外角性质可得∠CDF = ∠A + ∠E；再看△CDF，∠BCD是它的外角，同理可得∠BCD = ∠F + ∠CDF，代入前式就能得到∠BCD = ∠F + ∠A + ∠E。
3. 把推导得到的∠BCD代入圆内接四边形的对角互补等式，得到只含∠A的方程，代入已知角度计算即可，本题两个已知角的分相加刚好为60'即1°，可简化运算。
【解析】
解：
∵ 四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ A+∠ BCD=180°$（圆内接四边形对角互补）。
∵ $∠ CDF$是$△ ADE$的外角，
∴ $∠ CDF=∠ A+∠ E$（三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和）。
∵ $∠ BCD$是$△ CDF$的外角，
∴ $∠ BCD=∠ F+∠ CDF$，
将$∠CDF = ∠A + ∠E$代入上式，得：
$∠ BCD=∠ F+∠ A+∠ E$。
将$∠ BCD=∠ F+∠ A+∠ E$代入$∠ A+∠ BCD=180°$，可得：
$∠ A+∠ F+∠ A+∠ E=180°$，
整理得：$2∠ A+∠ F+∠ E=180°$。
代入$∠ E=54°41',∠ F=43°19'$：
$2∠ A+54°41'+43°19'=180°$，
计算得$54°41' + 43°19' = 98°$，
因此$2∠ A=180°-98°=82°$，
解得$∠ A=41°$。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形性质，三角形外角定理，角度运算
【点评】
本题是圆内接四边形的基础综合题，无需添加辅助线，核心是通过两次运用三角形外角性质，将圆内接四边形的对角互补关系转化为仅含∠A的方程，重点考察学生对基础几何性质的综合运用能力，本题已知角的分秒相加刚好凑整，降低了计算出错的概率。
【难度系数】
0.7