三、解答题(共40分)
11.(8分)如图,C为线段AD上一点,B为线段CD的中点,且$AD=14$厘米,$BD=3$厘米.
(1)图中共有几条线段?
(2)求AC的长.

11.解:(1)图中共有6条线段,线段AC,线段AB,线段AD,线段BC,线段CD,线段BD.
(2)因为B为线段CD的中点,
所以CD=2BD=2×3=6(厘米),
所以AC=AD-CD=14-6=8(厘米).

12.(10分)如图,C为线段AB上一点,点D在线段AC上,且$AD=\dfrac{2}{3}AC$,E为BC的中点.
(1)若$AC=6$,$BE=1$,求线段AB,DE的长.
(2)试说明:$AB+BD=4DE$.

12.解:(1)因为E为BC的中点,BE=1,
所以BC=2BE=2,CE=BE=1.
因为AC=6,所以AB=AC+BC=6+2=8.
因为$AD=\dfrac{2}{3}AC$,AC=6,所以AD=4,
所以DC=AC-AD=6-4=2,
所以DE=DC+CE=2+1=3.
(2)因为AB=AC+BC,BD=BC+CD,
所以AB+BD=AC+BC+BC+CD.
因为$AD=\dfrac{2}{3}AC$,E为BC的中点,
所以AC=3CD,BC=2CE,
所以AB+BD=3CD+2CE+2CE+CD=4CD+4CE=4(CD+CE)=4DE.

13.(10分)如图,B,C两点把线段AD分成三部分,$AB:BC:CD=2:5:3$,M为AD的中点.
(1)判断线段AB与CM的大小关系,并说明理由;
(2)若$CM=10$,求AD的长.

13.解:(1)AB=CM. 理由:设AB=2x,BC=5x,CD=3x,
则AD=2x+5x+3x=10x.
因为M为AD的中点,所以$MD=\dfrac{1}{2}AD=5x$,
所以CM=MD-CD=5x-3x=2x,
所以AB=CM.
(2)因为CM=10,所以2x=10,解得x=5,
所以AD=10x=10×5=50.

14.(12分)如图,点$C$在线段$AB$上,$AC=6\ \mathrm{cm}$,$CB=4\ \mathrm{cm}$,点$M$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度从点$A$沿线段$AC$向点$C$运动;同时点$N$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度从点$C$出发,在线段$CB$上做往返运动(即沿$C\to B\to C\to B\to···$运动),当点$M$运动到点$C$时,点$M,N$都停止运动,设点$M$运动的时间为$t\ \mathrm{s}$.
(1)当$t=1$时,求$MN$的长.
(2)当$t$为何值时,$C$为线段$MN$的中点?
(3)若$P$是线段$CN$的中点,在整个运动过程中,是否存在某个时间段,使$PM$的长度保持不变? 如果存在,求出$PM$的长度;如果不存在,请说明理由.

14.解:(1)当t=1时,AM=1 cm,CN=2 cm,
所以MC=AC-AM=6-1=5(cm),
所以MN=MC+CN=5+2=7(cm).
(2)由题意,得AM=t cm,MC=(6-t)cm.
因为点M运动到点C时,点M,N都停止运动,
所以0≤t≤6.
①当0≤t≤2时,点N从点C向点B运动,
CN=2t cm.
因为C为线段MN的中点,所以MC=CN,即6-t=2t,
解得t=2;
②当2＜t≤4时,点N从点B向点C运动,
BN=(2t-4)cm,CN=4-(2t-4)=(8-2t)cm.
因为C为线段MN的中点,所以MC=CN,
即6-t=8-2t,
解得t=2(舍去);
③当4＜t≤6时,点N从点C向点B运动,
CN=(2t-8)cm.
因为C为线段MN的中点,所以MC=CN,
即6-t=2t-8,解得$t=\dfrac{14}{3}$.
综上所述,当t的值为2或$\dfrac{14}{3}$时,C为线段MN的中点.
(3)①当0≤t≤2时,点N从点C向点B运动,CN=2t cm.
因为P是线段CN的中点,所以$CP=\dfrac{1}{2}CN=t$ cm,
所以PM=MC+CP=6-t+t=6(cm),此时PM的长度保持不变;
②当2＜t＜4时,点N从点B向点C运动,
CN=(8-2t)cm.
因为P是线段CN的中点,
所以$CP=\dfrac{1}{2}CN=\dfrac{1}{2}(8-2t)=(4-t)$cm,
所以PM=MC+CP=6-t+(4-t)=(10-2t)cm,此时PM的长度随t的变化而变化;
③当4≤t≤6时,点N从点C向点B运动,
CN=(2t-8)cm.
因为P是线段CN的中点,
所以$CP=\dfrac{1}{2}CN=\dfrac{1}{2}(2t-8)=(t-4)$cm,
所以PM=MC+CP=6-t+(t-4)=2(cm),此时PM的长度保持不变.
综上所述,当0≤t≤2或4≤t≤6时,PM的长度保持不变,分别为6 cm和2 cm.