三、解答题(共44分)
9. (14分)(2025·浙江)【问题背景】
如图,某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分),点E在对角线BD上.
【数学理解】
(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成的,请写出△ABE≌△CBE的证明过程;
(2)若裁剪过程中满足DE=DA,求“机翼角”∠BAE的度数.

9. (1) 证明: $\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形, 点 $E$ 在对角线 $BD$ 上, $\therefore AB = CB$, $∠ ABE = ∠ CBE$.
又 $\because BE = BE$, $\therefore △ ABE ≌ △ CBE(SAS)$.
(2) 解: $\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,
$\therefore ∠ BAD = 90^{\circ}$, $∠ ADB = 45^{\circ}$.
$\because DE = DA$, $\therefore ∠ DAE = ∠ DEA$,
$\because ∠ DAE + ∠ DEA + ∠ ADE = 180^{\circ}$,
$\therefore ∠ DAE = ∠ DEA = 67.5^{\circ}$,
$\therefore ∠ BAE = ∠ BAD - ∠ DAE = 22.5^{\circ}$.

10. (14分)(2025·宿城新区教学共同体期中)如图,正方形ABCD中,点E,F分别在边AD,AB上,且AE=BF,连接CE,DF,相交于点M.
(1)当∠ADF=35°时,∠DCE=°;
(2)判断CE与DF的关系,并证明.

10. (1) 35
(2) 解: $CE = DF$, $CE ⊥ DF$. 证明:
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,
$\therefore AB = AD = CD$, $∠ A = ∠ ADC = 90^{\circ}$.
$\because AE = BF$, $\therefore AB - BF = AD - AE$, 即 $AF = DE$.
在 $△ ADF$ 和 $△ DCE$ 中, $\{\begin{array}{l}AD = DC,\\ ∠ A = ∠ EDC,\\ AF = DE,\end{array} $
$\therefore △ ADF ≌ △ DCE(SAS)$,
$\therefore CE = DF$, $∠ ADF = ∠ DCE$.
又 $\because ∠ ADF + ∠ CDF = 90^{\circ}$,
$\therefore ∠ DCE + ∠ CDF = 90^{\circ}$,
$\therefore ∠ DMC = 90^{\circ}$, $\therefore CE ⊥ DF$.
综上, $CE = DF$, $CE ⊥ DF$.

11. (16分)(2024·宿迁)如图,在四边形ABCD中,AD//BC,且AD=DC=$ \frac{1}{2} $BC,E是BC的中点.下面是甲、乙两名同学得到的结论:甲:若连接AE,则四边形ADCE是菱形;乙:若连接AC,则△ABC是直角三角形.请选择一名同学的结论并给予证明.

11. 解: 若选择甲: 如答图①, 连接 $AE$.
$\because E$ 是 $BC$ 的中点, $\therefore CE = \frac{1}{2}BC$.
$\because AD = \frac{1}{2}BC$, $\therefore AD = CE$.
$\because AD // BC$,
$\therefore$ 四边形 $AECD$ 是平行四边形.
$\because AD = DC$, $\therefore$ 平行四边形 $AECD$ 是菱形.
若选择乙: 如答图②, 连接 $AC$, $AE$. 由题可知 $AE = EC = \frac{1}{2}BC$,
$\therefore EA = EB$, $EC = EA$.
$\therefore ∠ B = ∠ BAE$, $∠ EAC = ∠ ECA$.
$\because ∠ B + ∠ BAE + ∠ EAC + ∠ ECA = 180^{\circ}$,
$\therefore ∠ BAE + ∠ EAC = ∠ BAC = 90^{\circ}$.
$\therefore △ ABC$ 是直角三角形.