登录
22.(本题8分)根据以下素材,探索完成任务。
智能农业种植基地设计
背景 随着科技的日益更新,利用智能化设备和技术,可以有效提高农业种植的生产效率,提升农产品的质量。
素材1 如图,某智能农业种植基地计划搭建一座矩形温室大棚用于高效种植作物。已知大棚的种植面积为1 200平方米,且矩形的长AD比宽AB多10米。
素材2 基地想在矩形中心引入智能光照控制系统P(视为一个点),当系统P到矩形内任意一点(包括边上)的距离不超过28米时视为达标,以确保光照均匀覆盖;否则视为不达标并需要重新改进系统。
素材3 为了更智能地对农作物浇水,在基地内部安装了一个矩形智能灌注设备,要求设备四周预留相同宽度的空间,已知该矩形灌注设备的面积为24平方米。
任务1 设矩形大棚的宽为x米,则长为
任务2 根据素材2的要求,请问:该设计是否达标?如果达标,请说明理由;如果不达标,请给出改进方案。
任务3 设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米,求a的值。
智能农业种植基地设计
背景 随着科技的日益更新,利用智能化设备和技术,可以有效提高农业种植的生产效率,提升农产品的质量。
素材1 如图,某智能农业种植基地计划搭建一座矩形温室大棚用于高效种植作物。已知大棚的种植面积为1 200平方米,且矩形的长AD比宽AB多10米。
素材2 基地想在矩形中心引入智能光照控制系统P(视为一个点),当系统P到矩形内任意一点(包括边上)的距离不超过28米时视为达标,以确保光照均匀覆盖;否则视为不达标并需要重新改进系统。
素材3 为了更智能地对农作物浇水,在基地内部安装了一个矩形智能灌注设备,要求设备四周预留相同宽度的空间,已知该矩形灌注设备的面积为24平方米。
任务1 设矩形大棚的宽为x米,则长为
$(x+10)$
米,根据素材1的信息可列方程:$x(x+10)=1200$
。任务2 根据素材2的要求,请问:该设计是否达标?如果达标,请说明理由;如果不达标,请给出改进方案。
任务3 设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米,求a的值。
答案
任务1:$(x+10)$ $x(x+10)=1200$
任务2:$x(x+10)=1200$,解得$x_1=30$,$x_2=-40$(舍去),所以$AB=30$米,$AD=40$米,所以$BD=50$米,所以点P到矩形内任意点的最大距离即为$BP=\frac{1}{2}BD=25$米。因为$25＜28$,所以达标。
任务3:$(30-2a)(40-2a)=24$,解得$a_1=14$,$a_2=21$(舍去),即$a$的值为14。
任务2:$x(x+10)=1200$,解得$x_1=30$,$x_2=-40$(舍去),所以$AB=30$米,$AD=40$米,所以$BD=50$米,所以点P到矩形内任意点的最大距离即为$BP=\frac{1}{2}BD=25$米。因为$25＜28$,所以达标。
任务3:$(30-2a)(40-2a)=24$,解得$a_1=14$,$a_2=21$(舍去),即$a$的值为14。
解析
【分析】
首先处理任务1：已知矩形大棚宽为x米，长比宽多10米，可直接表示长；结合矩形面积公式和种植面积，列出对应方程。任务2：先解任务1的一元二次方程，舍去负根得到大棚的长和宽；利用矩形对角线性质，计算中心到任意点的最大距离，与28米比较判断是否达标。任务3：根据灌注设备四周预留宽度为a，得出设备的长和宽，结合设备面积列方程，舍去不符合实际的解，得到a的值。
【解析】
任务1：
已知宽为x米，长比宽多10米，故长为$(x+10)$米；
矩形面积=长×宽，种植面积为1200平方米，因此列方程：$x(x+10)=1200$。
任务2：
解方程$x(x+10)=1200$，整理得$x^2+10x-1200=0$，
因式分解得$(x+40)(x-30)=0$，解得$x_1=30$，$x_2=-40$（长度不能为负，舍去）；
因此矩形大棚的宽$AB=30$米，长$AD=30+10=40$米；
矩形对角线$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{30^2+40^2}=50$米，
中心P到矩形内任意点的最大距离为对角线的一半，即$\frac{1}{2}BD=25$米；
因为$25＜28$，所以该设计达标。
任务3：
灌注设备四周预留宽度为a米，则设备的宽为$(30-2a)$米，长为$(40-2a)$米，
设备面积为24平方米，列方程：$(30-2a)(40-2a)=24$，
展开整理得$a^2-35a+294=0$，因式分解得$(a-14)(a-21)=0$，解得$a_1=14$，$a_2=21$；
当$a=21$时，$30-2a=-12＜0$，不符合实际，舍去，故$a=14$。
【答案】
任务1：$(x+10)$，$x(x+10)=1200$；任务2：达标；任务3：14
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形的性质
【点评】
本题结合智能农业场景考查一元二次方程的实际应用，需注意解的实际意义（舍去不符合实际的解），同时利用矩形对角线性质判断光照是否达标，侧重知识的灵活运用，难度适中。
【难度系数】
0.6
首先处理任务1：已知矩形大棚宽为x米，长比宽多10米，可直接表示长；结合矩形面积公式和种植面积，列出对应方程。任务2：先解任务1的一元二次方程，舍去负根得到大棚的长和宽；利用矩形对角线性质，计算中心到任意点的最大距离，与28米比较判断是否达标。任务3：根据灌注设备四周预留宽度为a，得出设备的长和宽，结合设备面积列方程，舍去不符合实际的解，得到a的值。
【解析】
任务1：
已知宽为x米，长比宽多10米，故长为$(x+10)$米；
矩形面积=长×宽，种植面积为1200平方米，因此列方程：$x(x+10)=1200$。
任务2：
解方程$x(x+10)=1200$，整理得$x^2+10x-1200=0$，
因式分解得$(x+40)(x-30)=0$，解得$x_1=30$，$x_2=-40$（长度不能为负，舍去）；
因此矩形大棚的宽$AB=30$米，长$AD=30+10=40$米；
矩形对角线$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{30^2+40^2}=50$米，
中心P到矩形内任意点的最大距离为对角线的一半，即$\frac{1}{2}BD=25$米；
因为$25＜28$，所以该设计达标。
任务3：
灌注设备四周预留宽度为a米，则设备的宽为$(30-2a)$米，长为$(40-2a)$米，
设备面积为24平方米，列方程：$(30-2a)(40-2a)=24$，
展开整理得$a^2-35a+294=0$，因式分解得$(a-14)(a-21)=0$，解得$a_1=14$，$a_2=21$；
当$a=21$时，$30-2a=-12＜0$，不符合实际，舍去，故$a=14$。
【答案】
任务1：$(x+10)$，$x(x+10)=1200$；任务2：达标；任务3：14
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形的性质
【点评】
本题结合智能农业场景考查一元二次方程的实际应用，需注意解的实际意义（舍去不符合实际的解），同时利用矩形对角线性质判断光照是否达标，侧重知识的灵活运用，难度适中。
【难度系数】
0.6
