8. 「2025山西朔州期中」如图,若AB⊥MN,CB⊥MN,则点A,B,C在同一条直线上,推理的依据是.

8. 答案 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

9. 「2025福建福州台江期中,★☆」如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD,OF平分∠BOD,∠AOE=26°,则∠COF的度数是 ()

A.135°
B.138°
C.146°
D.148°

9. D 因为 $ OE ⊥ CD $，所以 $ ∠ EOC = ∠ EOD = 90° $，因为 $ ∠ AOE = 26° $，所以 $ ∠ AOC = ∠ EOC - ∠ AOE = 90° - 26° = 64° $，$ ∠ AOD = ∠ AOE + ∠ DOE = 26° + 90° = 116° $. 因为 $ ∠ BOD = ∠ AOC $，所以 $ ∠ BOD = 64° $，因为 OF 平分 $ ∠ BOD $，所以 $ ∠ BOF = \frac{1}{2} ∠ BOD = 32° $. 因为 $ ∠ BOC = ∠ AOD $，所以 $ ∠ BOC = 116° $，因为 $ ∠ COF = ∠ BOC + ∠ BOF $，所以 $ ∠ COF = 116° + 32° = 148° $. 故选 D.

10. 「2025重庆渝北期末,★☆」如图,AB,CD相交于点O,OE为∠DOB的平分线,FO⊥DO,GO⊥EO,O为垂足,∠AOC=38°,则∠FOG的度数是 ()

A.160°
B.161°
C.162°
D.151°

10. B 因为 $ FO ⊥ DO $，$ GO ⊥ EO $，所以 $ ∠ EOG = ∠ DOF = 90° $. 因为 $ ∠ AOC = 38° $，所以 $ ∠ BOD = ∠ AOC = 38° $. 因为 OE 为 $ ∠ DOB $的平分线，所以 $ ∠ DOE = \frac{1}{2} ∠ BOD = 19° $. 所以 $ ∠ FOG = ∠ EOG + ∠ DOF - ∠ DOE = 90° + 90° - 19° = 161° $，故选 B.

11. 「2025四川泸州龙马潭期末,★☆」如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB,OF平分∠BOC,∠1=30°,则下列结论不正确的是 ()


A.OF⊥CD
B.∠EOF=15°
C.∠1=∠2
D.∠BOC与∠1互为补角

11. A 因为 $ ∠ 1 = 30° $，所以 $ ∠ BOC = 180° - 30° = 150° $，$ ∠ 2 = ∠ 1 = 30° $，故选项 C 结论正确；因为 OF 平分 $ ∠ BOC $，所以 $ ∠ BOF = ∠ COF = \frac{1}{2} ∠ BOC = 75° $，故选项 A 结论错误；因为 $ OE ⊥ AB $，所以 $ ∠ AOE = ∠ BOE = 90° $，所以 $ ∠ COE = ∠ AOE - ∠ 1 = 60° $，所以 $ ∠ EOF = ∠ COF - ∠ COE = 15° $，故选项 B 结论正确；由题图可知 $ ∠ BOC $与 $ ∠ 1 $互为补角，故选项 D 结论正确. 故选 A.

12. 学科 分类讨 论思想 「2025山东济宁曲阜期中,★☆」在同一平面内,已知直线AB,CD相交于点O,∠AOC=60°,OE⊥AB,则∠EOC的度数为.

12. 答案 $ 150° $或 $ 30° $ 解析 如图 1，当 OE 在 AB 的上方时，因为 $ OE ⊥ AB $，所以 $ ∠ EOA = 90° $，因为 $ ∠ AOC = 60° $，所以 $ ∠ COE = 90° + 60° = 150° $；

如图 2，当 OE 在 AB 的下方时，因为 $ OE ⊥ AB $，所以 $ ∠ EOA = 90° $，因为 $ ∠ AOC = 60° $，所以 $ ∠ COE = 90° - 60° = 30° $. 综上，$ ∠ COE $的度数为 $ 150° $或 $ 30° $.

13. 「2025江苏盐城东台期末,★☆」如图,已知OC⊥AB于O,∠AOD:∠COD=1:2,射线OE在∠BOC的内部.
(1)若OE平分∠BOC,求∠DOE的度数.
(2)若∠AOE的度数比∠COE的度数的3倍多30°,试判断OD与OE的位置关系,并说明理由.

13. 解析 （1）因为 $ OC ⊥ AB $，所以 $ ∠ AOC = ∠ BOC = 90° $. 因为 $ ∠ AOD : ∠ COD = 1 : 2 $，所以 $ ∠ DOC = \frac{2}{3} ∠ AOC = 60° $. 因为 OE 平分 $ ∠ BOC $，所以 $ ∠ COE = \frac{1}{2} ∠ BOC = 45° $，所以 $ ∠ DOE = ∠ DOC + ∠ COE = 60° + 45° = 105° $. （2）$ OD ⊥ OE $. 理由如下：由（1）知 $ ∠ AOC = ∠ BOC = 90° $，$ ∠ DOC = 60° $，由题意得 $ ∠ AOE = 3 ∠ COE + 30° $，即 $ ∠ AOE - ∠ COE = 2 ∠ COE + 30° $，因为 $ ∠ AOE = ∠ AOC + ∠ COE $，所以 $ ∠ AOE - ∠ COE = ∠ AOC = 90° $，所以 $ 2 ∠ COE + 30° = 90° $，所以 $ ∠ COE = 30° $，所以 $ ∠ DOE = ∠ DOC + ∠ COE = 60° + 30° = 90° $，所以 $ OD ⊥ OE $.

14. 新课标 推理能力 「2025江西南昌月考」如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥OF,且OC平分∠AOE.
(1)【探究发现】若∠BOF=2∠BOE,则∠DOF的度数是.
(2)【类比延伸】若∠DOF=20°,求∠BOE的度数.
(3)【联想拓展】从(1)(2)的结果中猜想∠BOE和∠DOF有何数量关系,并给予证明.

14. 解析 （1）因为 $ OE ⊥ OF $，所以 $ ∠ EOF = ∠ BOF + ∠ BOE = 90° $，因为 $ ∠ BOF = 2 ∠ BOE $，所以 $ ∠ BOE = 30° $，$ ∠ BOF = 60° $，因为 $ ∠ AOE + ∠ BOE = 180° $，所以 $ ∠ AOE = 150° $. 因为 OC 平分 $ ∠ AOE $，所以 $ ∠ BOD = ∠ AOC = \frac{1}{2} ∠ AOE = 75° $，所以 $ ∠ DOF = ∠ BOD - ∠ BOF = 75° - 60° = 15° $. （2）设 $ ∠ BOE = x $，因为 $ OE ⊥ OF $，所以 $ ∠ BOF = 90° - ∠ BOE = 90° - x $，因为 $ ∠ AOE + ∠ BOE = 180° $，所以 $ ∠ AOE = 180° - ∠ BOE = 180° - x $，因为 OC 平分 $ ∠ AOE $，所以 $ ∠ AOC = ∠ BOD = \frac{1}{2} ∠ AOE = \frac{1}{2} (180° - x) = 90° - \frac{1}{2} x $，因为 $ ∠ BOD = ∠ DOF + ∠ BOF $，$ ∠ DOF = 20° $，所以 $ 20° + 90° - x = 90° - \frac{1}{2} x $，解得 $ x = 40° $，即 $ ∠ BOE = 40° $. （3）猜想：$ ∠ BOE = 2 ∠ DOF $. 证明：设 $ ∠ BOE = m $，因为 $ OE ⊥ OF $，所以 $ ∠ BOF = 90° - ∠ BOE = 90° - m $，因为 $ ∠ AOE + ∠ BOE = 180° $，所以 $ ∠ AOE = 180° - m $，因为 OC 平分 $ ∠ AOE $，所以 $ ∠ AOC = ∠ BOD = \frac{1}{2} ∠ AOE = \frac{1}{2} (180° - m) = 90° - \frac{1}{2} m $，因为 $ ∠ BOD = ∠ DOF + ∠ BOF $，所以 $ ∠ DOF + 90° - m = 90° - \frac{1}{2} m $，所以 $ ∠ DOF = \frac{1}{2} m $，即 $ ∠ BOE = 2 ∠ DOF $.