23. (12分)如图①,在$△ ABC$中,$∠ A=120^{\circ}$,$AB=AC$,点$P,Q$同时从点$B$出发,以相同的速度分别沿折线$B\to A\to C$、射线$BC$运动,连接$PQ$.当点$P$到达点$C$时,点$P,Q$同时停止运动.设$BQ=x$,$△ BPQ$与$△ ABC$重叠部分的面积为$S$.图②是$S$关于$x$的函数图象(其中$0≤ x≤ 8$,$8＜x≤ m$,$m＜x≤ 16$时,函数的解析式不同).
(1)填空:$m$的值为;
(2)求$S$关于$x$的函数关系式,并写出$x$的取值范围;
(3)请直接写出$△ PCQ$为等腰三角形时$x$的值.

23. 解:(1)图①中,作$AM⊥BC,PN⊥BC$,垂足分别为$M,N$.
由题意$AB=AC=8,∠A=120^{\circ }$,
$\therefore ∠BAM=∠CAM=60^{\circ },∠B=∠C=30^{\circ }$.
$\therefore AM=\frac {1}{2}AB=4,BM=CM=4\sqrt {3}$.
$\therefore BC=8\sqrt {3}$.
$\therefore m=BC=8\sqrt {3}$.
故答案为$8\sqrt {3}$.

(2)①当$0≤x≤8$时,如图①.
在$Rt△PBN$中,$\because ∠PNB=90^{\circ },∠B=30^{\circ },PB=x$,
$\therefore PN=\frac {1}{2}x$.
$S=\frac {1}{2}· BQ· PN=\frac {1}{2}×x×\frac {1}{2}x=\frac {1}{4}x^{2}$.
②当$8＜x≤8\sqrt {3}$时,图②.

在$Rt△PBN$中,$\because PC=16-x,∠PNC=90^{\circ },∠C=30^{\circ }$,
$\therefore PN=\frac {1}{2}PC=8-\frac {1}{2}x$.
$\therefore S=\frac {1}{2}· BQ· PN=\frac {1}{2}×x×(8-\frac {1}{2}x)=-\frac {1}{4}x^{2}+4x$.
③当$8\sqrt {3}＜x≤16$时,
$S=\frac {1}{2}×8\sqrt {3}· (8-\frac {1}{2}x)=-2\sqrt {3}x+32\sqrt {3}$.
综上,当$0≤x≤8$时,$S=\frac {1}{4}x^{2}$;当$8＜x≤8\sqrt {3}$时,$S=-\frac {1}{4}x^{2}+4x$;当$8\sqrt {3}＜x≤16$时,$S=-2\sqrt {3}x+32\sqrt {3}$.
(3)①当点$P$在$AB$上,点$Q$在$BC$上时,$△PQC$不可能是等腰三角形.
②当点$P$在$AC$上,点$Q$在$BC$上时,$PQ=QC$,
$\because PC=\sqrt {3}QC$,
$\therefore 16-x=\sqrt {3}(8\sqrt {3}-x)$.
$\therefore x=4\sqrt {3}+4$.
③当点$P$在$AC$上,点$Q$在$BC$的延长线时,$PC=CQ$,
即$16-x=x-8\sqrt {3}$,
$\therefore x=8+4\sqrt {3}$.
$\therefore △PCQ$为等腰三角形时,$x$的值为$4\sqrt {3}+4$或$8+4\sqrt {3}$.