5. 在平面直角坐标系$xOy$中，点$(2, m)$和点$(6, n)$在抛物线$y = ax^{2} + bx(a ＜ 0)$上。
（1）若$m = 4$，$n = -12$，求抛物线的对称轴和顶点坐标。
（2）已知点$A(1, y_{1})$，$B(4, y_{2})$在该抛物线上，且$mn = 0$。
①比较$y_{1}$，$y_{2}$，$0$的大小，并说明理由；
②将线段$AB$沿水平方向平移得到线段$A'B'$，若线段$A'B'$与抛物线有交点，直接写出点$A'$的横坐标$x$的取值范围。
（1）若$m = 4$，$n = -12$，求抛物线的对称轴和顶点坐标。
（2）已知点$A(1, y_{1})$，$B(4, y_{2})$在该抛物线上，且$mn = 0$。
①比较$y_{1}$，$y_{2}$，$0$的大小，并说明理由；
②将线段$AB$沿水平方向平移得到线段$A'B'$，若线段$A'B'$与抛物线有交点，直接写出点$A'$的横坐标$x$的取值范围。
答案
（1）$x=2$，$(2,4)$；（2）①当$m=0$时，$y_2\lt0\lt y_1$；当$n=0$时，$y_2\gt y_1\gt0$；②当$m=0$时，$-5\leq x\leq1$；当$n=0$时，$-1\leq x\leq5$。
解析
（1）已知点$(2,4)$，$(6,-1$（原题$n=-12$（这里假设原题n修正为题目中的正确值（根据常见题设推测可能为-1？但按原描述用n=-12计算）实际若m=4,将(2,4)代入得：
$4=4a+2b$，
将$(6,-12)$代入得：
$-12=36a+6b$，
$\begin{cases}4=4a+2b,\\-12=36a+6b.\end{cases}$
由$4=4a+2b$可得$b=2-2a$，代入$-12=36a+6b$中：
$-12=36a+6×(2-2a)$
$-12=36a+12-12a$
$-12-12=24a$
$24a=-24$
$a=-1$
将$a=-1$代入$b=2-2a$中，可得：
$b=2-2×(-1)=4$
所以，$y=-x^2+4x$，
根据抛物线的对称轴公式，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$，$b=4$，得到对称轴为$x=2$。
将$x=2$代入抛物线方程，得到顶点坐标为$(2,4)$。
（2）①因为$mn=0$，
所以$m=0$或$n=0$，
当$m=0$时，即$4a+2b=0$，
得$b=-2a$，
所以$y=ax^2-2ax$，
因为$a\lt0$，
当$n=0$时，即$36a+6b=0$，
得$b=-6a$，
所以$y=ax^2-6a=a(x^2-6x)$，
因为$a\lt0$，
对于点$A(1,y_1)$，$B(4,y_2)$，
当$m=0$时，代入$x=1$，$x=4$，得到$y_1=a-2a=-a\gt0$，$y_2=16a-8a=8a\lt0$，
所以$y_2\lt0\lt y_1$，
当$n=0$时，代入$x=1$，$x=4$，得到$y_1=a-6a=-5a\gt0$，$y_2=16a-24a=-8a\gt0$，
因为$A$到对称轴$x=3$的距离为2，$B$到对称轴$x=3$的距离为1，
所以$y_2\gt y_1\gt0$，
②因为线段$AB$的两个端点坐标分别为$A(1,y_1)$，$B(4,y_2)$，将其沿水平方向平移得到线段$A'B'$，
设点$A'$的横坐标为$x$，则点$B'$的横坐标为$x+3$，
因为线段$A'B'$与抛物线有交点，
所以当$m=0$时，即$b=-2a$时，
令$x=x$，则$y=ax^2-2ax$，
令$x=x+3$，则$y=a(x+3)^2-2a(x+3)$，
若交点为$A'$，则$ax^2-2ax=y_1$，
因为$y_1=-a$，
所以$ax^2-2ax=-a$，
$ax^2-2ax+a=0$
$a(x-1)^2=0$
解得$x=1$，
若交点为$B'$，则$a(x+3)^2-2a(x+3)=y_2$，
因为$y_2=8a$，
所以$a(x+3)^2-2a(x+3)=8a$，
$a(x+3)^2-2a(x+3)-8a=0$
$a[(x+3)^2-2(x+3)-8]=0$
$(x+3)^2-2(x+3)-8=0$
$(x+3-4)(x+3+2)=0$
$(x-1)(x+5)=0$
解得$x=1$（舍）或$x=-5$，
所以$-5\leq x\leq1$，
当$n=0$时，即$b=-6a$时，
若交点为$A'$，则$ax^2-6ax=y_1$，
因为$y_1=-5a$，
所以$ax^2-6ax=-5a$，
$ax^2-6ax+5a=0$
$a(x-5)(x-1)=0$
解得$x=1$或$x=5$，
若交点为$B'$，则$a(x+3)^2-6a(x+3)=y_2$，
因为$y_2=-8a$，
所以$a(x+3)^2-6a(x+3)=-8a$，
$a(x+3)^2-6a(x+3)+8a=0$
$a[(x+3)^2-6(x+3)+8]=0$
$(x+3)^2-6(x+3)+8=0$
$(x+3-2)(x+3-4)=0$
$(x+1)(x-1)=0$
解得$x=1$或$x=-1$，
所以$-1\leq x\leq5$，
综上，当$m=0$时，$-5\leq x\leq1$；当$n=0$时，$-1\leq x\leq5$。
$4=4a+2b$，
将$(6,-12)$代入得：
$-12=36a+6b$，
$\begin{cases}4=4a+2b,\\-12=36a+6b.\end{cases}$
由$4=4a+2b$可得$b=2-2a$，代入$-12=36a+6b$中：
$-12=36a+6×(2-2a)$
$-12=36a+12-12a$
$-12-12=24a$
$24a=-24$
$a=-1$
将$a=-1$代入$b=2-2a$中，可得：
$b=2-2×(-1)=4$
所以，$y=-x^2+4x$，
根据抛物线的对称轴公式，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$，$b=4$，得到对称轴为$x=2$。
将$x=2$代入抛物线方程，得到顶点坐标为$(2,4)$。
（2）①因为$mn=0$，
所以$m=0$或$n=0$，
当$m=0$时，即$4a+2b=0$，
得$b=-2a$，
所以$y=ax^2-2ax$，
因为$a\lt0$，
当$n=0$时，即$36a+6b=0$，
得$b=-6a$，
所以$y=ax^2-6a=a(x^2-6x)$，
因为$a\lt0$，
对于点$A(1,y_1)$，$B(4,y_2)$，
当$m=0$时，代入$x=1$，$x=4$，得到$y_1=a-2a=-a\gt0$，$y_2=16a-8a=8a\lt0$，
所以$y_2\lt0\lt y_1$，
当$n=0$时，代入$x=1$，$x=4$，得到$y_1=a-6a=-5a\gt0$，$y_2=16a-24a=-8a\gt0$，
因为$A$到对称轴$x=3$的距离为2，$B$到对称轴$x=3$的距离为1，
所以$y_2\gt y_1\gt0$，
②因为线段$AB$的两个端点坐标分别为$A(1,y_1)$，$B(4,y_2)$，将其沿水平方向平移得到线段$A'B'$，
设点$A'$的横坐标为$x$，则点$B'$的横坐标为$x+3$，
因为线段$A'B'$与抛物线有交点，
所以当$m=0$时，即$b=-2a$时，
令$x=x$，则$y=ax^2-2ax$，
令$x=x+3$，则$y=a(x+3)^2-2a(x+3)$，
若交点为$A'$，则$ax^2-2ax=y_1$，
因为$y_1=-a$，
所以$ax^2-2ax=-a$，
$ax^2-2ax+a=0$
$a(x-1)^2=0$
解得$x=1$，
若交点为$B'$，则$a(x+3)^2-2a(x+3)=y_2$，
因为$y_2=8a$，
所以$a(x+3)^2-2a(x+3)=8a$，
$a(x+3)^2-2a(x+3)-8a=0$
$a[(x+3)^2-2(x+3)-8]=0$
$(x+3)^2-2(x+3)-8=0$
$(x+3-4)(x+3+2)=0$
$(x-1)(x+5)=0$
解得$x=1$（舍）或$x=-5$，
所以$-5\leq x\leq1$，
当$n=0$时，即$b=-6a$时，
若交点为$A'$，则$ax^2-6ax=y_1$，
因为$y_1=-5a$，
所以$ax^2-6ax=-5a$，
$ax^2-6ax+5a=0$
$a(x-5)(x-1)=0$
解得$x=1$或$x=5$，
若交点为$B'$，则$a(x+3)^2-6a(x+3)=y_2$，
因为$y_2=-8a$，
所以$a(x+3)^2-6a(x+3)=-8a$，
$a(x+3)^2-6a(x+3)+8a=0$
$a[(x+3)^2-6(x+3)+8]=0$
$(x+3)^2-6(x+3)+8=0$
$(x+3-2)(x+3-4)=0$
$(x+1)(x-1)=0$
解得$x=1$或$x=-1$，
所以$-1\leq x\leq5$，
综上，当$m=0$时，$-5\leq x\leq1$；当$n=0$时，$-1\leq x\leq5$。
