(2)如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC,CD⊥ AB$于点$D$,$BE⊥ AC$于点$E$.求证:$BE=CD$.

解：
因为$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle ACB$。
因为$CD⊥ AB$，$BE⊥ AC$，所以$\angle BDC = \angle BEC=90^{\circ}$。
在$\triangle BEC$和$\triangle CDB$中，
$\begin{cases}\angle BEC=\angle BDC\\\angle ECB=\angle DBC\\BC = CB\end{cases}$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）可得$\triangle BEC\cong\triangle CDB$。
因为全等三角形的对应边相等，所以$BE = CD$。

(3)如图,在四边形$ABCD$中,对角线$AC,BD$相交于点$O$,$AB=AC$,点$E$是$BD$上一点,且$\angle ABD=\angle ACD,\angle BAC=\angle EAD=50°$.求$\angle ADC$的度数.

1. 首先，证明$\triangle ABE\cong\triangle ACD$：
已知$\angle BAC = \angle EAD = 50^{\circ}$，根据等式的性质，$\angle BAC+\angle CAE=\angle EAD+\angle CAE$。
即$\angle BAE=\angle CAD$。
又因为$AB = AC$，$\angle ABD=\angle ACD$。
根据角 - 边 - 角（$ASA$）全等判定定理（在$\triangle ABE$和$\triangle ACD$中，$\{\begin{array}{l}\angle BAE=\angle CAD\\AB = AC\\\angle ABD=\angle ACD\end{array} $），所以$\triangle ABE\cong\triangle ACD$。
2. 然后，求$\angle ADC$的度数：
因为$AB = AC$，$\angle BAC = 50^{\circ}$，根据等腰三角形的性质（等腰三角形两底角相等，三角形内角和为$180^{\circ}$），在$\triangle ABC$中，$\angle ABC=\angle ACB=\frac{180^{\circ}-\angle BAC}{2}$。
把$\angle BAC = 50^{\circ}$代入$\frac{180^{\circ}-\angle BAC}{2}$，可得$\angle ABC=\angle ACB=\frac{180 - 50}{2}=65^{\circ}$。
由于$\triangle ABE\cong\triangle ACD$，所以$AD = AE$。
又因为$\angle EAD = 50^{\circ}$，在$\triangle AED$中，$\angle AED=\angle ADE=\frac{180^{\circ}-\angle EAD}{2}$（等腰三角形两底角相等）。
把$\angle EAD = 50^{\circ}$代入$\frac{180^{\circ}-\angle EAD}{2}$，得$\angle AED=\angle ADE = 65^{\circ}$。
所以$\angle ADC = 65^{\circ}$。

1. (2025 苏州改编)如图,点$A,C,B$在同一直线上,$\triangle DAC\cong\triangle ECB$,连接$DE$,若$AB=16$,则$DE$的长为()


A.6
B.8
C.10
D.12

B

2. (2025 驻马店三模)如图,已知$\triangle AOB\cong\triangle COD$,$AB$与$CD$交于点$P$,若$\angle AOD=82°,\angle COB=142°$,则$\angle BPC$的度数为()


A.140°
B.138°
C.148°
D.150°

D

3. 【易错题】如图,在$\triangle ABC$中,点$A$的坐标为$(0,1)$,点$B$的坐标为$(4,1)$,点$C$的坐标为$(3,4)$,点$D$在第四象限,且$\triangle ABD$与$\triangle ABC$全等,点$D$的坐标是.

(3,-2)

已知点A(0,1)，B(4,1)，C(3,4)，△ABD与△ABC全等且D在第四象限。
1. 计算△ABC的边长：AB=4（A、B纵坐标相同，横坐标差为4），AC=√[(3-0)²+(4-1)²]=3√2，BC=√[(3-4)²+(4-1)²]=√10。
2. 分析全等对应关系：△ABD≌△ABC，对应顶点A→A，B→B，D→C。AB为公共边，D与C关于AB对称（AB在y=1上，C在AB上方，D在AB下方）。
3. 求D坐标：C(3,4)关于AB（y=1）对称，纵坐标为1-(4-1)=-2，横坐标不变，即D(3,-2)。

4. (2025 郑州三模)如图,$\angle 1=\angle 2$,要使$\triangle ABE\cong\triangle ACE$,还需添加的一个条件是.

BE=CE

已知∠1=∠2，可得∠AEB=∠AEC（等角的补角相等），且AE为公共边。若添加条件BE=CE，在△ABE和△ACE中，AE=AE，∠AEB=∠AEC，BE=CE，根据SAS可证△ABE≌△ACE。