5. (2025 平顶山一模)在平面直角坐标系中，若将一次函数 $ y = x + m + 1 $ 的图象向右平移 $ 3 $ 个单位，得到一个正比例函数图象，则 $ m $ 的值为()

A.-2
B.2
C.-3
D.3

B

一次函数$y = x + m + 1$的图象向右平移3个单位，根据“左加右减”原则，得到的函数解析式为$y=(x - 3)+m + 1=x + m - 2$。因为平移后得到的是正比例函数图象，正比例函数解析式为$y=kx$（$k≠0$），所以常数项$m - 2=0$，解得$m=2$。

6. (2025 郑州模拟)数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法。如图，一次函数 $ y = -x - 1 $ 与 $ y = mx + n(m, n $ 为常数，$ m \neq 0) $ 的图象相交于点 $ (1, -2) $，则不等式 $ -x - 1 ＜ mx + n $ 的解集在数轴上表示正确的是()

A

因为一次函数$y=-x - 1$与$y=mx + n$的图象相交于点$(1, -2)$，观察图象可知，当$x ＞ 1$时，直线$y=mx + n$在直线$y=-x - 1$的上方，即$-x - 1 ＜ mx + n$。所以不等式的解集为$x ＞ 1$，在数轴上表示为从1出发向右的射线，对应选项A。

7. (2025 宁夏)如图，直线 $ l_1: y = k_1x + b_1 $ 与直线 $ l_2: y = k_2x + b_2 $ 交于点 $ A $，则关于 $ x $，$ y $ 的方程组 $ \begin{cases}y = k_1x + b_1, \\ y = k_2x + b_2\end{cases}$ 的解是 ______ 。

$\begin{cases} x=4 \\ y=6 \end{cases}$

因为直线 $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 的交点坐标即为方程组的解，由图可知交点 $ A $ 的坐标为 $ (4, 6) $，所以方程组的解是 $ \begin{cases} x = 4 \\ y = 6 \end{cases} $。

8. (2025 南阳模拟)如图，边长为 $ 2 $ 的正方形 $ OABC $ 的顶点 $ O $ 与原点重合，顶点 $ A $，$ C $ 分别在 $ x $ 轴、$ y $ 轴上，将正方形 $ OABC $ 向右平移，当点 $ B $ 落在函数 $ y = x - 3 $ 的图象上时，点 $ C $ 的对应点 $ C' $ 的坐标为。

(3,-2)

正方形OABC边长为2，顶点O与原点重合，A在x轴，C在y轴，故B点坐标为(-2,-2)。设平移后点B的对应点B'坐标为(-2+a,-2+b)，因是向右平移，故b=0，B'坐标为(-2+a,-2)。点B'在y=x-3上，代入得-2=(-2+a)-3，解得a=3。点C原坐标为(0,-2)，向右平移3个单位后，C'坐标为(3,-2)。

9. （2025 北京）在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，函数 $ y = kx + b(k \neq 0) $ 的图象经过点 $ (1, 3) $ 和 $ (2, 5) $。
(1) 求 $ k $，$ b $ 的值；
(2) 当 $ x ＜ 1 $ 时，对于 $ x $ 的每一个值，函数 $ y = mx(m \neq 0) $ 的值既小于函数 $ y = kx + b $ 的值，也小于函数 $ y = x + k $ 的值，直接写出 $ m $ 的取值范围。

(1) $k=2$，$b=1$；(2) $2≤m≤3$

(1) 将点(1,3)和(2,5)代入y=kx+b，得：
$\begin{cases}k + b = 3 \\2k + b = 5\end{cases}$
解得：$k=2$，$b=1$。
(2) 由(1)知$y=2x+1$，$y=x+k=x+2$。当$x＜1$时，$y=mx$需同时满足$mx＜2x+1$和$mx＜x+2$。
对$mx＜2x+1$：整理得$(m-2)x＜1$，当$m＞2$时，需$m≤3$；当$m=2$时恒成立，故$2≤m≤3$。
对$mx＜x+2$：整理得$(m-1)x＜2$，当$m＞1$时，需$m≤3$；当$m=1$时恒成立，故$1≤m≤3$。
取交集得$2≤m≤3$。