1. 直线与圆的位置关系
(1)直线与圆公共点,这时称这条直线与圆相离.
(2)直线与圆公共点,这时称这条直线与圆相切,这条直线叫作圆的,这个点叫作.
(3)直线与圆有公共点,这时称这条直线与圆相交,这条直线叫作圆的

1. (1)没有 (2)只有一个 切线 切点 (3)两个 割线

2. 直线与圆的位置关系的判定
若圆的半径为 $ r $，圆心到直线的距离为 $ d $，则
(1)直线与圆相离⇨______，
(2)直线与圆相切⇨______，
(3)直线与圆相交⇨______。

(1)$d＞r$ (2)$d=r$ (3)$d＜r$

典例 如图，已知Rt△ABC的斜边AB=8 cm，AC=4 cm.

(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？
(2)以点C为圆心，分别以2 cm和4 cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？
方法归纳 直线与圆的三种位置关系，对应三种数量关系.因此要判断直线与圆的位置关系，可以过圆心作直线的垂线段，根据垂线段的长度d与圆的半径r的数量关系进行判断.另外，也可以根据直线与圆的公共点的个数进行判断.

解：
(1) 过点C作CD⊥AB，垂足为D。
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8 cm，AC=4 cm，
由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = 4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
由三角形面积公式，得：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} · AB · CD$，
因此 $CD = \frac{AC · BC}{AB} = \frac{4 × 4\sqrt{3}}{8} = 2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
当半径长为$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$时，圆心C到直线AB的距离等于半径，直线AB与⊙C相切。
(2) 由(1)可知，圆心C到直线AB的距离$d=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
当半径$r_1=2\ \mathrm{cm}$时，
$\because 2 ＜ 2\sqrt{3}$，即$r_1 ＜ d$，
$\therefore$ 半径为2 cm的⊙C与直线AB相离。
当半径$r_2=4\ \mathrm{cm}$时，
$\because 4 ＞ 2\sqrt{3}$，即$r_2 ＞ d$，
$\therefore$ 半径为4 cm的⊙C与直线AB相交。

举一反三 若$∠ OAB = 30°$，$OA = 10\ \mathrm{cm}$，则以点$O$为圆心，$4\ \mathrm{cm}$为半径的圆与直线$AB$的位置关系是().
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 不能确定
典例解析
典例
解 (1)过点$C$作$CD ⊥ AB$于点$D$，如图所示.
$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边$AB=8\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理，得$BC=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$.
$\because S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · CD = \frac{1}{2}AC · BC$，

$\therefore CD = \frac{AC · BC}{AB} = 2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
则以点$C$为圆心，当半径为$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$时，$AB$与$\odot C$相切.
(2)$\because 2 ＜ 2\sqrt{3} ＜ 4$，
$\therefore$ 以点$C$为圆心，分别以$2\ \mathrm{cm}$和$4\ \mathrm{cm}$为半径作两个圆，这两个圆与直线$AB$分别相离和相交.

举一反三 C