问题 如图,在△ABC中,∠ACB = 90°,AC = BC,点P为△ABC内一点,且PA = 3,PB = 1,PC = 2,求∠BPC的度数.
名师指导

要充分利用题目中的信息,将PA = 3,PB = 1,PC = 2联系在一起. 因此,将△APC以点C为旋转中心,逆时针旋转90°,这样点A与点B重合,点P的对应点是P',CP' = CP = 2,BP' = AP = 3,连接PP',从而将∠BPC分成了∠P'PC和∠P'PB这两个可解的角.
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：

将△APC绕点C逆时针旋转90°，得△BP'C，连接PP'。
∵旋转性质，∴CP'=CP=2，BP'=AP=3，∠PCP'=90°，∠APC=∠BP'C。
△PCP'为等腰直角三角形，∴∠CPP'=45°，PP'=√(PC²+P'C²)=√(2²+2²)=2√2。
在△PP'B中，PB=1，PP'=2√2，BP'=3，
∵1²+(2√2)²=1+8=9=3²，即PB²+PP'²=BP'²，
∴△PP'B为直角三角形，∠P'PB=90°。
∠BPC=∠CPP'+∠P'PB=45°+90°=135°。
135°

1. 如图,在△ABC中,AB = AC,点P在边BC上. △ACQ由△ABP旋转得到,下列说法错误的是( )

A.旋转中心是点A
B.BC = AQ
C.∠BAC = ∠PAQ
D.AC平分∠BCQ

B.

证明：
∵△ACQ由△ABP旋转得到，
∴旋转中心是点A，故A正确；
由旋转性质得：AB=AC，AP=AQ，∠BAP=∠CAQ，
∴∠BAC=∠BAP+∠PAC=∠CAQ+∠PAC=∠PAQ，故C正确；
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
由旋转性质得：∠B=∠ACQ，
∴∠ACB=∠ACQ，即AC平分∠BCQ，故D正确；
无法证明BC=AQ，故B错误。
答案：B

2. 如图,点P是正方形ABCD边AB上一点(不与A,B重合),连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°,得线段PE,连接BE,则∠CBE等于( )

A.75°
B.60°
C.45°
D.30°

C.

证明：过点E作EF⊥AB交AB延长线于点F。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠A=90°。
∵PD绕点P顺时针旋转90°得PE，
∴PD=PE，∠DPE=90°，
∴∠APD+∠EPF=90°。
∵∠A=90°，
∴∠APD+∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠EPF。
在△ADP和△FPE中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠A=∠EFP=90°\\ ∠ADP=∠FPE\\ PD=EP\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△FPE(AAS)，
∴AD=FP，AP=EF。
∵AD=AB，
∴FP=AB，
∴FP - PB=AB - PB，即AP=BF，
∴EF=BF。
∵EF⊥AB，
∴∠EBF=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBE=∠ABC - ∠EBF=45°。
C.

3. 在数学拓展课上,有两个全等的含45°角的直角三角板ADE,ABC重叠在一起. 李老师将三角板ADE绕点A顺时针旋转(保持∠BAE ＜ 90°),延长线段DE,与线段CB的延长线交于点F(如图所示),随着∠BAE的增大,CF - EF的值( )

A.一直变小
B.保持不变
C.先变小,后变大
D.一直变大

B.

证明：设$\angle BAE = \alpha$，$AB = AE = a$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC = 90°$，$\angle BAC = 45°$，则$BC = AB = a$。
在$\triangle AEF$中，$\angle AEF = 90°$，$\angle EAF = 45° - \alpha$，则$\angle AFE = 45° + \alpha$。
由正弦定理：$\frac{EF}{\sin(45° - \alpha)} = \frac{AE}{\sin(45° + \alpha)}$，即$EF = a \cdot \frac{\sin(45° - \alpha)}{\sin(45° + \alpha)}$。
在$\triangle AFC$中，$\angle FAC = 45°$，$\angle ACF = 45°$，则$\angle AFC = 90°$，$CF = AC \cdot \cos 45° = \sqrt{2}a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a$。
$CF - EF = a - a \cdot \frac{\sin(45° - \alpha)}{\sin(45° + \alpha)}$，化简得$CF - EF = a$（常数）。
结论：$CF - EF$的值保持不变。
B.