1. 一个数可以被 6 和 15 整除,这个数最小是()
A.1
B.6
C.30
D.90

C

需要找到能同时被6和15整除的最小数，即求6和15的最小公倍数。
6的质因数分解为 $2 × 3$，15的质因数分解为 $3 × 5$。
取各质因数的最高次幂相乘：$2 × 3 × 5 = 30$，所以最小公倍数为30。

2. 已知线段 $a,b,m$,求作 $\triangle ABC$,使 $BC = a,AC = b,BC$ 边上的中线 $AD = m$,作法合理的顺序为()
①延长 $CD$ 到点 $B$,使 $BD = CD$;②连接 $AB$;③作 $\triangle ADC$,使 $CD= \frac{a}{2},AC = b,AD = m$.
A.③①②
B.①②③
C.②③①
D.③②①

A

要作出满足条件的三角形，首先需要构造包含中线一半长度的三角形。步骤如下：
1. ③先作$\triangle ADC$，使$CD=\frac{a}{2}$，$AC=b$，$AD=m$，确定点$D$和$C$、$A$的位置。
2. ①延长$CD$到$B$，使$BD=CD$，从而确定点$B$的位置，保证$D$为$BC$中点。
3. ②连接$AB$，完成$\triangle ABC$的构造。
合理顺序为③①②。

3. 有一堆贝壳,若 4 个 4 个地数,则剩 1 个;若 5 个 5 个地数,则剩 2 个;若 6 个 6 个地数,则剩 3 个,这堆贝壳至少有()
A.56 个
B.57 个
C.58 个
D.59 个

B

设这堆贝壳有 $x$ 个，根据题意可得：
$x \equiv 1 \pmod{4}$，
$x \equiv 2 \pmod{5}$，
$x \equiv 3 \pmod{6}$。
观察这些同余式，可以发现，如果 $x$ 再加 3，即 $x+3$，则能被 4，5，6 整除。
即 $x+3$ 是 4，5，6 的公倍数。
由于 $4=2×2$，$5=5$，$6=2×3$，
所以 $4$，$5$，$6$ 的最小公倍数为 $2×2×3×5=60$。
因此，$x+3=60$，
解得$x=57$。

4. 如图,已知钝角三角形 $ABC$,以点 $C$ 为圆心,$AC$ 长为半径画弧,再以点 $B$ 为圆心,$AB$ 长为半径画弧,交前弧于点 $D$;连接 $AD$,交 $BC$ 的延长线于点 $H$. 下列叙述正确的是. (填序号)
①$BH$ 垂直平分线段 $AD$;②$AC$ 平分 $\angle BAD$;③$AH$ 是 $\triangle ABC$ 的高;④点 $A$ 与点 $D$ 关于直线 $BC$ 对称.

①③④

由题意得：$CD=AC$，$BD=AB$。在$\triangle ABC$和$\triangle DBC$中，$\left\{\begin{array}{l} AB=BD\\ AC=CD\\ BC=BC\end{array}\right.$，$\therefore \triangle ABC≌\triangle DBC(SSS)$，$\therefore \angle ABC=\angle DBC$。$\because AB=BD$，$\therefore \triangle ABD$为等腰三角形，$BC$平分$\angle ABD$，由等腰三角形三线合一知：$BC$垂直平分$AD$，即$BH$垂直平分$AD$，故①正确；$\because BH\perp AD$，$H$在$BC$延长线上，$\therefore AH\perp BC$，故$AH$是$\triangle ABC$的高，③正确；$\because BC$垂直平分$AD$，$\therefore$点$A$与点$D$关于直线$BC$对称，④正确；无法证明$AC$平分$\angle BAD$，②错误。

5. 一筐桔子,七七数少六,八八数少七,九九数余三,则这筐橘子至少有个.

57

设桔子数量为x。
“七七数少六”即x≡1 mod 7；“八八数少七”即x≡1 mod 8，故x-1是7和8的公倍数，最小公倍数为56，得x=56k+1（k为正整数）。
“九九数余三”即x≡3 mod 9，代入x=56k+1得56k+1≡3 mod 9。56≡2 mod 9，故2k+1≡3 mod 9，解得2k≡2 mod 9，k≡1 mod 9。取k=1，x=56×1+1=57。57÷9=6余3，满足条件。

6. 大年三十彩灯悬,彩灯齐明光灿灿,三三数时能数尽,五五数时剩一盏,七七数时刚刚好,八八数时还缺三. 猜一猜,彩灯至少有盏.

21

设彩灯数量为$x$。根据题意：
1. $x$是3的倍数：$x=3a$；
2. $x$除以5余1：$x=5b+1$；
3. $x$是7的倍数：$x=7c$；
4. $x$加3是8的倍数：$x=8d-3$。
从7的倍数入手（$x=7c$），结合“除以5余1”，$x$个位为1或6，最小数为21。
验证21：
3的倍数：$21÷3=7$，满足；
5余1：$21÷5=4\cdots\cdots1$，满足；
7的倍数：$21÷7=3$，满足；
8d-3：$21=8×3-3$，满足。

7. 有一桶铅笔(铅笔支数大于 2),若 3 支 3 支地数,最后余 2 支;若 4 支 4 支地数,最后余 2 支;若 5 支 5 支地数,最后余 2 支. 则桶中至少有多少支铅笔?

设桶中铅笔支数为$x$。
由题意得：$x-2$能同时被3，4，5整除。
因为3，4，5两两互质，所以它们的最小公倍数为$3×4×5 = 60$。
则$x-2 = 60k$（$k$为正整数），即$x = 60k + 2$。
当$k = 1$时，$x = 60×1 + 2 = 62$。
答：桶中至少有62支铅笔。

8. 如图,某小区居民计划在梯形花坛 $ABCD$ 上种植花木,其中 $AB = CD,AD = 10$ 米,$BC = 20$ 米,请你设计一种花坛图案,即在梯形内找一点 $P$,使得 $\triangle APB\cong\triangle DPC$,且 $S_{\triangle APD}= S_{\triangle BPC}$,并说明理由.

设计方案：
1. 确定梯形性质：梯形 $ABCD$ 为等腰梯形（$AB=CD$），$AD // BC$，$AD=10$ 米，$BC=20$ 米。
2. 作对称轴：取 $AD$ 中点 $M$，$BC$ 中点 $N$，连接 $MN$，则 $MN$ 为梯形 $ABCD$ 的对称轴（垂直平分 $AD$ 和 $BC$）。
3. 确定点 $P$：在对称轴 $MN$ 上取点 $P$，使 $PM:PN=2:1$（即 $P$ 到 $AD$ 的距离与到 $BC$ 的距离之比为 $2:1$）。
理由：
△APB≌△DPC：
因 $MN$ 是对称轴，故 $AP=DP$，$BP=CP$。又 $AB=CD$（等腰梯形两腰相等），由 $SSS$ 判定可得 $\triangle APB \cong \triangle DPC$。
$S_{\triangle APD}=S_{\triangle BPC}$：
设梯形高为 $h$，则 $PM=\frac{2}{3}h$，$PN=\frac{1}{3}h$。
$S_{\triangle APD}=\frac{1}{2} × AD × PM=\frac{1}{2} × 10 × \frac{2}{3}h=\frac{10}{3}h$，
$S_{\triangle BPC}=\frac{1}{2} × BC × PN=\frac{1}{2} × 20 × \frac{1}{3}h=\frac{10}{3}h$，
故 $S_{\triangle APD}=S_{\triangle BPC}$。
结论：点 $P$ 为梯形对称轴 $MN$ 上满足 $PM:PN=2:1$ 的点。