1. 如图,一次函数 $ y = -\frac{2}{3}x + 2 $ 的图象分别与 $ x $ 轴、$ y $ 轴交于点 $ A $, $ B $, 以线段 $ AB $ 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形 $ ABC $, $ \angle BAC = 90^{\circ} $.
(1) 点 $ A $ 的坐标是, 点 $ B $ 的坐标是______;
(2) 求点 $ C $ 的坐标.

(1)
对于一次函数$y = -\frac{2}{3}x + 2$，
当$y = 0$时，$0=-\frac{2}{3}x + 2$，$\frac{2}{3}x=2$，解得$x = 3$，所以$A(3,0)$；
当$x = 0$时，$y = 2$，所以$B(0,2)$。
(2)
过点$C$作$CD\perp x$轴于点$D$。
因为$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$\angle BAC = 90^{\circ}$，所以$\angle BAO+\angle CAD = 90^{\circ}$，
又因为$\angle ABO+\angle BAO = 90^{\circ}$，所以$\angle ABO=\angle CAD$。
在$\triangle ABO$和$\triangle CAD$中，
$\begin{cases}\angle ABO=\angle CAD\\\angle AOB=\angle CDA = 90^{\circ}\\AB = AC\end{cases}$
所以$\triangle ABO\cong\triangle CAD(AAS)$。
由$A(3,0)$，$B(0,2)$可知$OA = 3$，$OB = 2$。
因为$\triangle ABO\cong\triangle CAD$，所以$AD = OB = 2$，$CD = OA = 3$。
则$OD=OA + AD=3 + 2 = 5$。
所以点$C$的坐标为$(5,3)$。
综上，答案依次为：(1)$A(3,0)$；$B(0,2)$；(2)$C(5,3)$。

2. 如图, 在平面直角坐标系中, 直线 $ AB $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A(8,0) $, 与 $ y $ 轴交于点 $ B(0,8) $, 点 $ D $ 为 $ OA $ 延长线上的一动点, 以 $ BD $ 为直角边在其上方作等腰直角三角形 $ BDE $, $ \angle BDE = 90^{\circ} $, 连接 $ EA $.
(1) 求证: $ \angle EAD = \angle OAB $;
(2) 求直线 $ EA $ 与 $ y $ 轴交点 $ F $ 的坐标.

(1) 证明见上；(2) $ F(0,-8) $。

(1) 设点$ D(t,0) $（$ t＞8 $），过点$ E $作$ EH \perp x $轴于点$ H $。
∵ $ B(0,8) $，$ D(t,0) $，$ \triangle BDE $为等腰直角三角形，$ \angle BDE=90° $，
∴ $ BD=DE $，$ \angle BDO + \angle EDH=90° $。
∵ $ \angle BDO + \angle OBD=90° $，∴ $ \angle OBD=\angle EDH $。
在$ \triangle OBD $和$ \triangle HDE $中，
$ \begin{cases} \angle BOD=\angle DHE=90° \\ \angle OBD=\angle EDH \\ BD=DE \end{cases} $，
∴ $ \triangle OBD \cong \triangle HDE $（AAS）。
∴ $ DH=OB=8 $，$ EH=OD=t $。
∴ $ H(t+8,0) $，$ E(t+8,t) $。
在$ Rt\triangle EHA $中，$ A(8,0) $，$ H(t+8,0) $，$ E(t+8,t) $，
∴ $ AH=(t+8)-8=t $，$ EH=t $，∴ $ AH=EH $。
∴ $ \angle EAD=45° $。
∵ $ A(8,0) $，$ B(0,8) $，$ OA=OB=8 $，$ \angle AOB=90° $，
∴ $ \triangle AOB $为等腰直角三角形，$ \angle OAB=45° $。
∴ $ \angle EAD=\angle OAB $。
(2) 设直线$ EA $的解析式为$ y=kx+b $。
将$ A(8,0) $，$ E(t+8,t) $代入，得：
$ \begin{cases} 8k + b=0 \\ (t+8)k + b=t \end{cases} $。
两式相减：$ t=kt $，解得$ k=1 $。
将$ k=1 $代入$ 8k + b=0 $，得$ b=-8 $。
∴ 直线$ EA $：$ y=x - 8 $。
令$ x=0 $，则$ y=-8 $。
∴ $ F(0,-8) $。

3. 如图, 在平面直角坐标系中, 直线 $ AE:y = \frac{2}{3}x + 8 $ 交 $ x $ 轴于点 $ E $, 交 $ y $ 轴于点 $ A $, 直线 $ BD:y = -2x - 4 $ 交 $ x $ 轴于点 $ D $, 交 $ y $ 轴于点 $ B $, 交直线 $ AE $ 于点 $ C $.
(1) 求点 $ D $, $ E $, $ C $ 的坐标;
(2) 求 $ \triangle CDE $ 的面积;
(3) 若在直线 $ AE $ 上存在点 $ F $, 使 $ BA $ 是 $ \triangle BCF $ 的中线, 求点 $ F $ 的坐标.

(1) $D(-2, 0)$，$E(-12, 0)$，$C(-\frac{9}{2}, 5)$；(2) 25；(3) $F(\frac{9}{2}, 11)$。

(1) 求点D，E，C的坐标：
对于点E：直线AE交x轴于E，令y=0，得$0 = \frac{2}{3}x + 8$，解得$x = -12$，则$E(-12, 0)$。
对于点D：直线BD交x轴于D，令y=0，得$0 = -2x - 4$，解得$x = -2$，则$D(-2, 0)$。
对于点C：联立直线AE与BD方程$\begin{cases}y = \frac{2}{3}x + 8 \\ y = -2x - 4\end{cases}$，解得$\frac{2}{3}x + 8 = -2x - 4$，$\frac{8}{3}x = -12$，$x = -\frac{9}{2}$，代入$y = -2x - 4$得$y = 5$，则$C(-\frac{9}{2}, 5)$。
(2) 求$\triangle CDE$的面积：
$DE$长为$|-2 - (-12)| = 10$，C到x轴距离（高）为5，面积$S = \frac{1}{2} × 10 × 5 = 25$。
(3) 求点F的坐标：
直线AE交y轴于$A(0, 8)$，直线BD交y轴于$B(0, -4)$。
因BA是$\triangle BCF$中线，故A为CF中点。设$F(x, y)$，C$(-\frac{9}{2}, 5)$，由中点公式：
$\frac{-\frac{9}{2} + x}{2} = 0$，解得$x = \frac{9}{2}$；
$\frac{5 + y}{2} = 8$，解得$y = 11$。
验证$F(\frac{9}{2}, 11)$在直线AE上：$y = \frac{2}{3} × \frac{9}{2} + 8 = 3 + 8 = 11$，成立。