5[2025辽宁沈阳质检,较难]如图,在平面直角坐标系中,直线$l_1:y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$与x轴、y轴分别交于B,D两点,直线$l_2:y=kx+\frac{9}{4}$与x轴交于C,直线$l_1$与直线$l_2$交于点$A(a,3)$.
(1)求点A的坐标及直线$l_2$的表达式.
(2)若点E在直线$l_2$上,且$△ ADE$的面积为$\frac{5}{4}$,求点E的坐标.
(3)在x轴上是否存在点P,使得$∠ ACB = 2∠ APC$?若存在,请求出点P坐标;若不存在,请说明理由.

(1) 将$A(a,3)$代入$l_1:y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$,得$-\frac{1}{2}a+\frac{7}{2}=3$,解得$a=1$,即点$A(1,3)$. 将点$A(1,3)$代入函数$y=kx+\frac{9}{4}$,得$3=k+\frac{9}{4}$,解得$k=\frac{3}{4}$,则直线$l_2$的表达式为$y=\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}$.
(2) $\because$ 直线$l_1:y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$,$\therefore$ 将$x=0$代入得$y=\frac{7}{2}$,$\therefore$ 点$D(0,\frac{7}{2})$. 设直线$l_2$交$y$轴于点$T$. $\because$ 直线$l_2:y=\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}$,$\therefore$ 将$x=0$代入得$y=\frac{9}{4}$,$\therefore$ 点$T(0,\frac{9}{4})$,$\therefore DT=\frac{5}{4}$.
①当点$E$在点$A$右侧时,如图,则$S_{△ DAE}=S_{△ DTE}-S_{△ DTA}=\frac{1}{2}DT · x_E-\frac{1}{2}DT · x_A$,$\therefore \frac{1}{2} × \frac{5}{4}x_E-\frac{1}{2} × \frac{5}{4} × 1=\frac{5}{4}$,解得$x_E=3$,$\therefore y_E=\frac{3}{4}x_E+\frac{9}{4}=\frac{9}{2}$,$\therefore$ 点$E(3,\frac{9}{2})$.
②当点$E$在点$A$左侧时,如图,$\because S_{△ DTA}=\frac{1}{2} × \frac{5}{4} × 1 ＜ \frac{5}{4}$,$\therefore$ 点$E$在$y$轴的左边,$\therefore S_{△ DAE}=S_{△ DTE}+S_{△ DTA}=\frac{1}{2}DT · (-x_E)+\frac{1}{2}DT · x_A$,$\therefore \frac{1}{2} × \frac{5}{4} × (-x_E)+\frac{1}{2} × \frac{5}{4} × 1=\frac{5}{4}$,解得$x_E=-1$,$\therefore y_E=\frac{3}{4}x_E+\frac{9}{4}=\frac{3}{2}$,$\therefore$ 点$E(-1,\frac{3}{2})$. 综上所述,点$E$的坐标为$(-1,\frac{3}{2})$或$(3,\frac{9}{2})$.
易错提示(2)分点$E$在点$A$右侧和点$E$在点$A$左侧两种情况讨论.
(3) 存在. 直线$l_2:y=\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}$中,令$y=0$,则$\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}=0$,解得$x=-3$,$\therefore$ 点$C(-3,0)$. 如图,在$x$轴负半轴上找一点$P$,使得$∠ ACB=2∠ APC$,过点$A$作$AH ⊥ x$轴于点$H$,$\therefore CH=3+1=4$,$AH=3$,$\therefore AC=\sqrt{CH^2+AH^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$. $\because ∠ ACB=2∠ APC$,$∠ ACB=∠ APC+∠ CAP$,$\therefore ∠ APC=∠ CAP$,$\therefore CA=PC$. 又$\because CA=5$,$\therefore PC=5$,$\therefore$ 点$P(-8,0)$. 作点$P$关于$AH$的对称点$P'$,则点$P'$也符合要求. $\because$ 点$P(-8,0)$,$H(1,0)$,$\therefore$ 点$P'(10,0)$. 综上,$P$的坐标为$(-8,0)$或$(10,0)$.

6[2025山西太原调研,较难]综合与探究
如图,平面直角坐标系中,一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+5$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于点$A,B$,点$F$是线段$AB$上的一个动点(不与$A,B$重合),连接$OF$,设点$F$的横坐标为$x$.
(1)求出$A,B$两点的坐标.
(2)求$△ OAF$的面积$S$与$x$之间的函数关系式,并写出自变量$x$的取值范围.
(3)当$△ OAF$的面积$S=\dfrac{1}{2}S_{△ OAB}$时.
①判断此时线段$OF$与$AB$的数量关系并说明理由.
②第一象限内是否存在一点$P$,使$△ APF$是以$AF$为直角边的等腰直角三角形?若存在,请直接写出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.

(1) $\because y=-\frac{1}{2}x+5$,$\therefore$ 当$x=0$时,$y=5$,当$y=0$时,$-\frac{1}{2}x+5=0$,解得$x=10$,$\therefore A(10,0)$,$B(0,5)$.
(2) 过点$F$作$FE ⊥ x$轴于点$E$,如图. $\because$ 点$F$是线段$AB$上的一个动点(不与$A$,$B$重合),点$F$的横坐标为$x$,$\therefore F$点坐标为$(x,-\frac{1}{2}x+5)$,$\therefore △ OAF$的面积$S=\frac{1}{2}OA · EF=\frac{1}{2} × 10 × (-\frac{1}{2}x+5)=-\frac{5}{2}x+25(0＜x＜10)$,$\therefore △ OAF$的面积$S$与$x$之间的函数关系式为$S=-\frac{5}{2}x+25(0＜x＜10)$.
(3) ①$OF=\frac{1}{2}AB$. 理由如下:当$△ OAF$的面积$S=\frac{1}{2}S_{△ OAB}$时,$-\frac{5}{2}x+25=\frac{1}{2} × \frac{1}{2} × 10 × 5$,解得$x=5$,$\therefore F$点坐标为$(5,\frac{5}{2})$. $\because A(10,0)$,$B(0,5)$,$\therefore$ 易知$F$是线段$AB$的中点. 又$\because ∠ BOA=90°$,$\therefore OF=\frac{1}{2}AB$.
②存在. 点$P$的坐标为$(\frac{25}{2},5)$或$(\frac{15}{2},\frac{15}{2})$. 如图,分两种情况:
情况一:当$∠ PAF$为直角时,过点$F$作$FE ⊥ x$轴于点$E$,过点$P$作$PG ⊥ x$轴于点$G$. 由①可知$FE=\frac{5}{2}$,$OE=5$. $\because △ AFP$是等腰直角三角形,$\therefore AF=PA$,$∠ FEA=∠ FAP=∠ PGA=90°$,$\therefore ∠ AFE+∠ FAE=∠ FAE+∠ PAG=90°$,$\therefore ∠ AFE=∠ PAG$. 在$△ FAE$和$△ APG$中,$\begin{cases} ∠ FEA=∠ AGP, \\ ∠ AFE=∠ PAG, \\ AF=PA, \end{cases}$ $\therefore △ AFE ≌ △ PAG(\mathrm{AAS})$,$\therefore FE=AG=\frac{5}{2}$,$AE=PG=OA-OE=5$,$\therefore$ 点$P(\frac{25}{2},5)$.
情况二:当$∠ PFA$为直角,即点$P$位于$P'$位置时,过点$P'$作$P'H ⊥ FE$,交$EF$的延长线于点$H$. $\because △ AFP'$是等腰直角三角形,同理可证$△ P'HF ≌ △ FEA$,$\therefore FH=AE=5$,$HP'=FE=\frac{5}{2}$,$\therefore P'(\frac{15}{2},\frac{15}{2})$. 综上所述,点$P$的坐标为$(\frac{25}{2},5)$或$(\frac{15}{2},\frac{15}{2})$.
易错提示(2)分点$P$与点$D$重合,点$P$在线段$DC$上,点$P$在线段$DC$的延长线上三种情况讨论,不要漏解.
关键点拨熟练掌握"将军饮马"模型是解题的关键.